Macchine T

A-B) BILANCIO PER UNA MACCHINA OPERATRICE

Si determinano tre equazioni fondamentali:

Espressione del lavoro energie cinetiche”:

1) “alle si integra fra la sezione 1 d’ingresso e la sezione

2 d’uscita della girante (organo che scambia energia con il fluido) il bilancio:

2 2 2 2 2 2

c − c W − W u − u

2 1 1 2 2 1

L = + + [J/kg] PER UNA MACCHINA OPERATRICE

2 2 2

2 2 2 2 2 2

c − c W − W u − u

1 2 2 1 1 2

L = + + [J/kg] PER UNA MACCHINA MOTRICE

2 2 2

Il primo termine corrisponde al lavoro per azione, il secondo a quello per reazione ed il terzo

a quello del campo di forze centrifughe.

Osservazione: nelle macchine motrici si inverte il segno del lavoro (scambio dei pedici) poiché il lavoro

positivo è quello di compressione ovvero quello delle macchine operatrici.

Tali espressione riflettono tre modalità di scambio energetico:

- Modalità per azione: associato alla variazione del momento angolare della velocità assoluta e

coincide con la variazione della componente tangenziale della velocità assoluta in ingresso e in

uscita dei condotti statorici

- Modalità per reazione: avviene sempre in concomitanza di un altra modalità, solitamente quella

per azione, può essere nullo adottando condotti di sezione costante e fa capo alla conversione tra

energia cinetica relativa e energia in pressione che avviene all’interno dei condotti rotorici della

girante

- Modalità per variazione dell’energia potenziale centrifuga: esiste solo nelle macchine a flusso

radiale, è ottenuto dalla variazione dell’energia centrifuga cioè dalla variazione della velocità radiale

17 Espressione del lavoro di Eulero:

2) considerando un triangolo di velocità e applicando il teorema di

L eu = μ c cosα − u c cosα

Carnot si ottiene la seguente relazione: che è una forma analoga al

2 2 2 1 1 1

lavoro alle energie cinetiche, in particolare:

L = u c , − u c ,

M.M. flusso radiale

E 2 2 t 1 1 t

L = μ(c , − c , ) flusso assiale

E 2 t 1 t

L = μ c , − μ ,

M.O. flusso radiale

E 1 1 t 2 t

L = μ(c , − c , ) flusso assiale

E 1 t 2 t

La componente tangenziale determina lo scambio di lavoro per cui in una macchina operatrice,

quando il lavoro viene ceduto al fluido, la componente tangenziale della velocità assoluta Si

incremento per cui anche se la radiale rimane fissa, il risultato finale sarà l’incremento di energia

cinetica

Espressione del lavoro del campo di forze centrifughe:

3) P = m * L

la componente radiale è responsabile della portata: P = M * ω

Analizzando la macchina motrice:

L m m

M = m = (Mc , − Mc , ) = (ωr c , − ωr c , t) = m (r c , − r c , )

1 t 2 t 1 1 t 2 2 1 1 t 2 2 t

ω ω ω

18

Trasformazione dell’energia negli impianti termici

- Compressione

Idealmente, i rendimenti fluidodinamici del compressore e della turbina sono circa uguali tra loro ed

uguali a 0,8 dunque entrambi sprecano circa il 20% del lavoro teorico e quindi sono soggette a perdite

simili.

Nella realtà invece il rendimento della turbina è maggiore di quello del compressore per effetto legato

η > η

alla trasformazione: T C β = rapporto di compressione (per il compressore) o rapporto

di espansione (per la turbina); tiene conto della trasformazione

che la macchina deve eseguire.

P P

2 1

β = β =

;

c e

P P

1 2

La stessa perdita applicata alle due macchine da effetti molto

diversi che sono legati alla trasformazione e non alla macchina

stessa dipendendo dal tipo di lavoro fatto.

Trasformazione politropica: è una trasformazione reversibile di un gas ideale caratterizzata dal calore

specifico costante. dQr e v = dQ + dQ = cd t

Generalizzata per trasformazioni irreversibili: w

c = quantità totale di calore che occorre per aumentare la temperatura dell’unità di massa di 1 K

Lavoro politropico: - manifestare le perdite andando ad aggiungere il calore emesso a quello che si

fornirà al fluido reversibilmente

- togliere al lavoro reale il calore che le perdite hanno introdotto nel sistema

assumendolo ceduto in maniera reversibile

Td s = dQ + dQ = dU + p d v dQ + dQ = cd T cd T = c d T + p d v

w w v

dU + p d v = c d T + p d v

v

c = capacità termica costante che va a definire la trasformazione

c = capacità termica a volume costante (si considerano gas ideali)

v dv dv dT R dv R

cv − c

cd T = c d T + R T 0 = (c − c)d T + R T 0 = + T * v = cos t

—> —> —>

v v

v v T c − c v

v

c − c c − c

R p v p

= = − 1= m − 1

Ponendo: c − c c − c c − c

v v v

m

T * v . = cos t

Si ottiene: m

p * v = cos t

d s = 0

Trasformazione isoentropica: c − c c

p p

m = = = k

Td s = dQ + dQ = cd T = 0 c =0

—> —>

w c − c c

v v

19 d p = 0

Trasformazione isobara:

Td s = dQ + dQ = cd T cd T = c d T − vd p c = c m = 0

—> —>

w p p

Td s = d h − vd p = c d T − vd p

p d v = 0

Trasformazione isocora:

Td s = cd T cd T = c d T + p d v c = c m = ∞

—> —>

v v

Td s = d h − vd p = c d T + p d v

v trasformazione di compressione:

Focalizzazione su una macchine in cui il volume specifico

diminuisce mentre la pressione aumenta. Nella compressione il rendimento politropico del compressore

è molto maggiore di quello isoentropico.

Si vuole definire il lavoro isoentropico L , reale L e politropico L : si applica al compressore un bilancio

IS R P

energetico per un sistema aperto in forma termica considerando una trasformazione infinitesima; il

sistema è adiabatico è il fluido un gas ideale.

d L + dQ = d h + gd z + cd c − μ d μ dL = dh

In una trasformazione isoentropica si ha:

2 2 T

∫ ∫ 2

Lis = dh = c d T = c (T − T ) = c T ( − 1)

p p 2 1 p 1 T

1

1 1 c k

p

c = R + c c = R

c =

Dato che: e allora:

p v p

v k − 1

k

lavoro isoentropico

Il si esprime come:

k k − 1

Lis = R T (β − 1)

k

1

k − 1

Graficamente, è l’area sottesa ad una qualsiasi isobara tra le isoterme T e T = 12ABC1

1 2

lavoro reale

Il invece si esprime come:

k m − 1

L = R T (β − 1)

m

R 1

k − 1

Graficamente, è l’area sottesa ad una qualsiasi isobara

tra le isoterme T e T = 2’ABD2’

1 2’ 2

∫

Q = Td s

Sottraendo L a L si ottiene:

IS R w 1

L − L i s = Q + ΔQ

R w w

ΔQw = controrecupero: è responsabile della differenza di

prestazione rispetto alla turbina ed è l’ulteriore perdita di lavoro

generata dalla perdita stessa che aggrava il lavoro speso dalla

macchina per portare il liquido dalla pressione p alla p .

1 2

Quando si generano delle perdite, esse vengono dissipate in

calore causando un aumento di temperatura nel fluido e quindi un aumento di volume. In un

compressore dunque, questo incremento di volume va contro la compressione facendo aumentare il

lavoro che deve compiere la macchina.

20

In un compressore, maggiore è il salto di pressione, maggiore è l’effetto del controrecupero sulla

prestazione generale della macchina e quindi minore sarà il rendimento della macchina; in una turbina

invece, maggiore sarà il salto, maggiore sarà il rendimento.

L’effetto della perdita risulta quindi doppiamente negativo: la macchina perde circa il 20% di energia

rispetto a quella necessaria a causa degli attriti interni ed inoltre l’energia sottratta si dissipa in calore

che viene ceduto al fluido aumentandone la temperatura rispetto a quella di riferimento nel caso ideale;

nel caso reale la macchina lavora con un volume maggiore e quindi un compressore spende più lavoro

di una turbina.

lavoro politropico

Il sarà uguale a:

2 2 2

∫ ∫ ∫

L = c d T − cd T = (c − c) d T = (c − c)(T − T )

P p p p 2 1

1 1 1

T

m m m − 1

2

L = R T ( − 1) = R T (β − 1)

m

P 1 1 C

m − 1 T m − 1

1

Permette di togliere l’effetto negativo delle perdite e valutare solo la

bontà della macchina considerando le perdite reversibilmente restituite.

L reale > L politropico > L isoentropico

Rendimenti per una compressione:

Lis

ηi s, c = RENDIMENTO MACCHINA + TRASFORMAZIONE:

L

R permette di sapere quanto è efficiente la trasformazione ed è importante poiché

valuta la macchina in una certa condizione di lavoro. È qui che il termine del

controrecupero entra in azione peggiorando l’efficienza globale della

trasformazione. Questo rendimento dipende però dal tipo di trasformazione per

cui è difficile valutare oggettivamente il lavoro di una macchina = rendimento

politropico. k − 1

k R T (β − 1)

k 1

α − 1 k − 1 k − 1

m − 1

1 c η ,

k − 1 c p c

η p, c = = α = β β = β ,

k m

con —> k

c c c

c

η

α − 1

m − 1

k c

R T (β − 1)

m

1 c

k − 1

L

P

η p, c = RENDIMENTO MACCHINA:

L

R consente di svincolare il rendimento della macchina dal lavoro che essa compie.

Non considera l’isoentropica che è l’ideale, ma considera una serie di stati fisici

reali in cui il calore dovuto alle perdite viene ceduto reversibilmente, prescindendo

quindi dal problema dell’incremento di volume specifico. In altre parole, non si

tiene conto del controrecupero. Questo rendimento è un indice della bontà della

macchina. m − 1

m R T (β − 1)

m

L L − Qw

L i s + ΔR m k − 1

1 c

m − 1

P R

η p, c = = = = =

L L L m − 1 k

m − 1

k

R R R R T (β − 1)

m

1 c

k − 1

21

- Espansione P

3

β =

Per un fluido comprimibile, si ha per P < P e v > v :

4 3 4 3 e P

4 dQ < < d L , d h

Applicando il primo principio della termodinamica ad un sistema euleriano termico: ,

cd c < < d L , d h gd z < < d L , d h

, T P k − 1

k − 1

3 3

= ( ) = β k

In una trasformazione isoentrop