Logica proposizionale e del primo ordine

Consiglio per lo studio della materia

Consiglio un'attenta ripetizione dopo aver affrontato lo studio completo della materia.

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UNITÀ A: A and A T equivale A

ASSORBIMENTO O ZERO: A T equivale T and A F equivale F

IDEMPOTENZA: A and A equivale A or A equivale A

COMMUTATIVA: A and B equivale B A or A B equivale B A

ASSOCIATIVA: (B C) equivale (A B) C or (B C) equivale (A B) C

DISTRIBUTIVA: (B C) equivale (A B) (A C) and (B C) equivale (A B) (A C)

NEGAZIONE: not not T equivale T

F¬F ≡ T

DOPPIA NEGAZIONE / AFFERMAZIONE ¬¬¬¬A ≡ A

¬¬F ≡ F

¬¬T ≡ T

CONTRADDIZIONE O TERZO ESCLUSO∨ ∨A ¬A ≡ T [T F ≡ T]

∧ ∧A ¬A ≡ F [T F ≡ F]

DE MORAGN∨ ∧¬(A B) ≡ ¬A ¬B∧ ∨¬(A B) ≡ ¬A ¬B

ELIMINAZIONE EQUIVALENZA ≡⇒ ∧ ⇒(A ≡ B) ≡ (A B) (B A)

Note: L'equivalenza è uguale a due membri che si implicano a vincenda

ELIMINAZIONE EQUIVALENZA BIS ≡∧ ∨ ∧(A ≡ B) ≡ (A B) (¬ A ¬ B) ⇒

ELIMINAZIONE IMPLICAZIONI⇐ ⇒(A B) ≡ (B A)

⇒ ∨A B ≡ ¬A B ⇒

NEGAZIONE IMPLICAZIONE ¬⇒ ∧¬(A B) ≡ A ¬B∨ ∧poichè: ¬(¬ A B) ≡ A ¬B

NEGAZIONE EQUIVALENZA ¬≡¬(A ≡ B) ≡ (A ≡ ¬B)

Note: Cambio solo la Parte Destra ma mantengo l'equivalenza

stessa◊ COMPLEMENTO∨ ∧ ∨A (¬A B) ≡ A B∧ ∨ ∧A (¬A B) ≡ A B

ASSORBIMENTO∨ ∧A (A B) ≡ A∧ ∨A (A B) ≡ A

MODUS PONENS / CONTRONOMINALE⇒ ⇒(A B) ≡ (¬A ¬B)⇒ ∧ ⇒(A B) A B ∧

SEMPLIFICAZIONE∧ ⇒(A B) ANote: Posso semplificare eliminando segno e uno dei due membri a mia scelta∨

INTRODUZIONE⇒ ∨A (A B)Note: Informati meglio riguardo sta cosa che è molto strana.⇒

TRANSITIVITA'⇒ ∧ ⇒ ⇒ ⇒(A B) (B C) (A C)

RISOLUZIONE∨ ∧ ∨ ⇒ ∨(A B) (¬B C) (A C)

CONTROPOSITIVAR (Q S) ¬(Q S) ¬R⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒

TRADUZIONE DI FRASI⇒• If... then... / Se... allora... = ⇒• Possiamo concludere che = ∧• While... / Mentre... / ...And... / ...e... =∨• Or... / Oppure... / O... =

APPROFONDIMENTI: DOMANDE∨ ∨¬A B ≡ ¬A Bè una Tautologia?

Sì,

• TAUTOLOGIA
• CONTRADDIZIONE
• SODDISFACIBILE

QUANTIFICATORE UNIVERSALE

∀ x, A(x)

Note: Il quantificatore si dice essere Positivo in questo caso

Per ogni X vale la proprietà A

oppure

Tutte le X godono della priprietà A

QUANTIFICATORE UNIVERSALE

∀ x, ¬A(x)

Note: Il quantificatore si dice essere Negativo in questo caso.

Nessuna X gode della proprietà A

QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

∃ x | A(x)

Nota: Caso Positivo

Esiste almeno una X che gode della proprietà A

QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

∃ x | ¬A(x)

Nota: Caso Negativo

Esiste almeno una X che non gode della proprietà A