Logaritmi e disequazioni

Logaritmi e disequazioni

Logaritmi

x = log_ab ↔ a^x = b (a>0, a≠1, b>0)

log_ab = c ↔ a^c = b con le condizioni a>0, a≠1, b>0

a^log_ab = b a>0, a≠1, b>0

log_ac = c a>0, a≠1

log_a1 = 0 a>0, a≠1

log_aa = 1 a>0, a≠1

log_aa^x = x

log_am + log_an = log_a(m · n)

log_a(m · n) = log_am + log_an a∈ℝ⁺; a≠1; m∈ℝ⁺; n∈ℝ⁺

log_a(m/n) = log_am - log_an

log_amⁿ = n log_am m∈ℝ⁺ n∈ℝ

log_aⁿ√b = 1/n log_ab b∈ℝ⁺

Disequazioni logaritmiche

log_ab > 0

log_a (f(x)) ≤ b

log_a (f(x)) ≥ log_a (g(x))

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti l’incognita, mentre b è numero reale.

Stabilire le condizioni di esistenza

Per esistere, deve avere argomento strettamente maggiore di zero. Le c.e. vanno sempre confrontate con le soluzioni che troviamo. Mettiamole a sistema con la disequazione.

• 1° {
  • f(x) > 0
  • log_af(x) ≠ 0
• 2° {
  • f(x) > 0
  • log_a (f(x)) ≤ b
• 3° {
  • f(x) > 0
  • g(x) > 0
  • log_a (f(x)) ≥ log_a (g(x))

Caso 1

f(x) > 0

log_a(f(x)) ≥ 0

Possibile disequazione (con log_a(1) se f(x) > 0 log_a(f(x))= log_a(1))

Per definizione di logaritmo, sappiamo che qualunque sia la base (purché positiva) si ha che log_a(1)=0, quindi riscriviamo il sistema lasciando invariata la prima disequazione e cambiando la seconda in modo da ottenere sia a sinistra che a destra dei logaritmi in base a,

f(x) > 0

log_a(f(x)) ≥ log_a 1

A questo punto dobbiamo distinguere due casi a seconda che la base del logaritmo sia maggiore di 1 oppure compresa tra 0 e 1.

• Se a > 1 risolvere la disequazione logaritmica equivale a risolvere una disequazione in cui i membri sono gli argomenti dei logaritmi e anche lo stesso verso di quello di partenza
  • f(x) > 0
  • f(x) > 1
• Se 0 < a < 1
  • f(x) > 0
  • f(x) < 1

Caso 2

f(x) > 0

log_a(f(x)) ≥ b

Specifichiamo come seconda disequazione quella con >. Notiamo che è possibile scrivere la seconda disequazione come:

f(x) > 0

log_a(f(x)) ≥ b:1 → f(x) > b:log_a(x) → log_a(f(x)) ≥ b:1

Per la proprietà dei logaritmi, sappiamo che vale b:log_a(a)= log_a^b, quindi abbiamo

f(x) > 0

(log_a(f(x)) > log_a (a^b))

Ora possiamo confrontare gli argomenti dei logaritmi, sempre prestando attenzione alla base (ricordare che a^b è un numero!)

• Se a > 1
  • f(x) > 0
  • f(x) > a^b
• Se 0 < a < 1
  • f(x) > 0
  • f(x) < a^b

Caso 3

Risolvere le disequazioni logaritmiche con >

f(x) > 0

g(x) > 0

log_af(x) > log_b g(x)

Notare che le condizioni di esistenza sono due, dobbiamo assicurarci che gli argomenti dei logaritmi siano strettamente positivi e li mettiamo a sistema.

Abbiamo due logaritmi con basi diverse e sappiamo cambiare le basi dei logaritmi con la proprietà seguente: log_b(c) = log_a(c) / log_a(b)

Nel nostro caso c = g(x) quindi si ha

log_a g(x) = log_a g(x) / log_a b

Sostituiamo nel sistema:

• f(x) > 0
• g(x) > 0
• (log_a f(x) / log_a b > log_a g(x)) / log_a b

Ora log_a(b) è soltanto un numero, quindi possiamo portarlo all'esponente dell'argomento del logaritmo:

• f(x) > 0
• g(x) > 0
• (log_a(f(x)) > log_a g(x)) ^{log₂ (b)}