Limiti (proprietà, teoremi ed esercizi)

Funzioni e limiti

Se D ⊂ R, f: D → R

Se x₀ ∈ D si suppone che ∃ r ≠ 0 tale che {x₀ − r; x₀ + r} ∩ {x} si continui a...

es. D = {a,b} con ∀x₀ ∃ a,b D

semiretta D = ]a,b[,..., D = R

Limite

In questo punto si può sempre definire f: D → R

Se ∀ ε > 0 ∃ δ (ε) tale che ∀ x ∈ D\{x₀} , |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − R| < ε

Limite

e) f(x) x₀ ∈ D ⇒ x → x₀

cerco {x₀ − δ, x₀ + δ} tale che ∀ ε > 0 ∃ δ con la proprietà ad x − x₀ | δ ⇒

|x² − x₀| ≤ ε (ε ∈ R)

provo con R: x²− f(x₀)

|x² − x₀| = |(x − x₀)(x + x₀)|

|x + x₀| = |x − x₀ + 2x₀| ≤ |x − x₀| + 2|x₀|

|x² − x₀| ≤ |x − x₀| (|x − x₀| + 2|x₀|)

Se |x − x₀| < δ ⇒ |x² − x₀²| < δ (|x + x₀| < ε ⇒

δ = 1−|x₀| + |x₀|

ε = √{|•x₀| + √δε}

es. f(x) = sin(x) D− ]−• e ]0

e

lim x^-0-?

lim

∃ R detto perché ∀ x > 0; ∃ x,x ∈ [−R; ∅[ ∈ D

essendo un limite notevole:

∀ ε > 0 ∃ δ tale che 0 < |x| < δ

|_{sin(x) - 1}/^x| < ε ⇔ ε > |_{sin(x) - 1}/^x| < δ < ε

Visto che per 0 < |x| < 1/2

|_{cos(x) - 1}/^x| ≤ |_sin(x)/^x| ≤ 1

cos(x) ≥ 1/2 per x

Fi x ε > 0 e ε circa δ tale che -ε < cos(x) - 1

ex: f(x): [x] D R ≥ 0

lim _x↦0 |x| > 0 candidato naturale per ε limite ε [x] = 0

∀ ε > 0 |?

δ tale che 0 < |x| < δ ⇒ |[x]| < ε

Per δ la 1

{_-1 x < 1

{₀ x ∈ [-1,0[

0 < x ≤ 1

lim _x↦x0 f(x) = m ∀ ε > 0 δ

lim _x↦0 f(x) = [x₀] = 0

x ∈ D δ(e) tale che

∀ x ∈ D, 0 < x - x₀ < δ(ε) ⇒ |f(x) - l| < ε

lim _x↦x0 istnie

lim _x↦x0 f(x) ≠ m ∀ ε > 0

V(x ε d)

∀x ε d

lim _x↦x0 f(x) = m

LIMITI +∞

f: D ↦ R x₀ ε R ε; t ∞

tale che 1(x₀ - r, x₀ + r) [x - x₀] ∩ D

allora lim _x↦x0 f(x) ≠ +∞ se ∀ x₀ δ R > 0 tale che

0 < |x - x₀| < δ ⇒ f(x) > M

LIMITI -∞

allora lim _x↦x0 f(x) = m

0 < |x - x₀| > δ ⇒ f(x) < M

Limiti notevoli:

1. lim_x→0 (sin(x)/x) = 1

2. lim_x→0 ((1 - cos(x))/x²) = 1/2

   lim_x→0 (1 - cos(x))/x²

   lim_x→0 (sin²(x)/x²) = 1

   lim_x→0 (7/x) 1/cos(x)

   (1 + cos(dx))/2

3. lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e

   log(1 + 1/x) ⇒ lim_x→∞ x log(1 + 1/x) = 1

4. lim_x→0 (log(1 + x)/x) = 1

5. lim_x→0 ((e^x - 1)/x) = 1

   lim_x→0 (log(1 + y)/y)

Composizione:

f: D ⊂ ℝ

g: E ⊂ ℝ

f(x₀)=y₀ ∈ E

lim_x→x₀ g(f(x)) = l

t = -1/x

x = -1/t

y = -2x + 5

e^-1 = 5

3 + 2 lim e^1/x

x→0

a.ri.noto

obliquo

lim g(x) + lim

x→0 x→0

lim (3 - 2x) e^{e1/y = 0}

e^-2

lim e^1/x + ∞

x→0

lim (3 - 2x) e^1/x

x→0

z = 1/x

lim (cos(x))^1/2

x→0

e^1/x log(cos(x))

coe.cose

lim ^{log (cos x)}

x→0 _x

lim ^{log (1 + cos(x) - 1)}

= lim _{cos(x) - 1}

x→0

1/2 lim ¹

x→0 _{(cos(x) - 1)}

xⁿ→ 1/2

y = cos(x) - 1

→ 0

1/2 lim ^{log(1 + y)}

y→0 _(y)

→ 1

= -1/2

lim = e^-1/2

x→0