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Limiti notevoli logaritmi ed esponenziali

Numero di Nepero

Siamo in presenza della forma indeterminata 1∞. Non dimostriamo questo limite, ma ci limitiamo a ricordare che e rappresenta il numero di Nepero, che è un numero irrazionale di valore compreso fra 2 e 3. Anche da questo limite notevole possiamo dedurne altri, che sono nella forma indeterminata 0⁄0.

Limite notevole

  • Limx→0 (ln(1+x)/x) = 1

Applicando le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere:

ln(1+x)/x = (1/x) ln(1+x) = ln(1+x)1/x

e quindi, per la continuità della funzione logaritmica:

limx→0 ln(1+x)1/x = ln(limx→0 (1+x)1/x).

Poniamo ora y = 1/x, allora x = 1/y e per x → 0 abbiamo y → ±∞.

Effettuando la sostituzione di variabile nel limite precedente, otteniamo:

limx→0 (ln(1+x)/x) = ln(limy→±∞(1 + 1/y)y) = ln e = 1.

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università del Salento o del prof Scienze matematiche Prof.
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