Limiti e proprietà

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Allora, ∃ ∀x ∈]a,1) lim f (x) = sup f (x), b),0−x→x ]a,x [00∃ ∀x ∈2) lim f (x) = inf f (x), (a, b[.0+ ]x ,b[x→x 00Dim. Proviamo la 1). Posto sup f (x) = l proviamo che lim f (x) = l. Ricordiamo le−]a,x [ x→x0 0proprietà caratterizzanti l’ estremo superiore:≤ ∀x ∈]a,f (x) l x [;0∀ε ∃x ∈]a, −> 0 : x [ : l ε < f (x ).ε 0 εPer la monotonia si ha: − ≤ ≤ ∀x ∈]a,l ε < f (x ) f (x) l < l + ε, x [ε 0da cui la tesi. La 2) si prova in modo analogo. Ovviamente un teorema simile vale per le funzionidecrescenti.

Esempio 2.5 α αlim x = x , x > 0.00x→x0Supponiamo in un primo tempo che x = 1. Proviamo quindi che0 α 6lim x = 1, α = 0.x→1 αSupponiamo α > 0. La funzione risulta crescente e quindi basterà provare che sup{x : 0 < x <1} = 1. Ma ciò

segue immediatamente dalla definizione di potenza ad esponente reale. Infatti, α ∈ sup{x : 0 < x < 1} = sup{q : 0 < q < 1, q = 1 = 1Q}α α Proviamo adesso che lim x → x , x > 0. Si ha: x → x 0 0 α x α α α α α x = lim y x = x . lim x = lim 0 0 0 x → x x → x y → 100 0 Usando la monotonia si può dimostrare inoltre che, α α lim x = 0, α > 0, lim x = +∞, α < 0. x → 0 x → 0 α α lim x = +∞, α > 0, lim x = 0, α < 0. x → +∞ x → +∞ Esempio 2.6 In modo simile si può provare che: x x 6 lim a = a , a > 0, a = 10 x → x 04 Appunti di Analisi Matematica I e anche x lim a = 0, α > 1, lim a = +∞, 0 < α < 1. x → -∞ x → -∞ x lim a = +∞, α > 1, lim a = 0, 0 < α < 1. x → +∞ x → +∞ Esercizio 2.1 Studiare i limiti relativi

alla funzione log x.

Esercizio 2.2 Calcolare i seguenti limiti:

1. lim ^{tang 3x 1α}₁ x→0
2. lim ^{x sen}_{α > 0} x→+∞
3. lim ^{n(x−1) a +a x+···+a x 6}₃ x→1
4. lim ^{n mmsen πx b +b x+···+b x0}₁ x→+∞

1.3 Infinitesimi. Confronti asintotici.

Definizione 3.1 Siano f, g : X due infinitesimi al tendere di x ad x cioè lim f (x) =R R 0 x→x0

Teorema 3.1 Siano f, g : X due infinitesimi al tendere di x ad x . Allora f = o(g) se eR R 0f (x)solo se lim = 0.x→x g(x)0

Dim. ovvia.

Teorema 3.2 (principio di sostituzione) Siano f = o(f ), g = o(g).

Allora esiste il limite ₁ ^{1f + f1lim ,g + gx→x 10se e solo se esiste il limite flim ,gx→x0ed in tal caso sono uguali.}

Dim. ovvia.

Definizione 3.2 Siano f, g due infinitesimi al tendere di x ad x . Diciamo che f e g sono asintotiche0− ∼al tendere di x ad x se f g = o(g) e scriviamo f g.0 f (x)∼

Teorema 3.3 f g se e solo se lim = 1.x→x g(x)0∼

Proposizione 3.1 La relazione è una relazione di equivalenza.∼

Esempio 3.1 sen x x al tendere di x a zero. ∃λ 6 ∼

Definizione 3.3 Diciamo che due infinitesimi f e g sono dello stesso ordine se = 0 : f λg 5G.Di Faziof (x) 6 = 0.

Teorema 3.4 f e g sono dello stesso ordine se e solo se limx→x g(x)02

Esempio 3.2 Le funzioni 1−cos x e x sono dello stesso ordine. Ciò si può esprimere anche dicendoche 2x 2−cos x = 1 + o(x )2in un intorno dell’ origine.

Come esempio di applicazione del concetto di infinitesimo studiamo gli asintoti ad un diagrammacartesiano. ∈

3.4 Sia data una funzione f : (α, +∞[→ Se esistono a, b tali cheR. R→f (x) = ax + b + o(1), x +∞allora la retta di equazione r : y = ax+b si dice asintoto destro per la funzione f. Se a = 0 l’asintotodi dice orizzontale altrimenti si dice obliquo.

Teorema 3.5 La retta y = ax + b è asintoto destro per la funzione f se e solo se la distanza tra ildiagramma della funzione e la retta asintoto è infinitesima al tendere di x a +∞.

Teorema 3.6 La retta r : y = ax + b è asintoto per f se e solo sef (x) −∃ = a, lim f (x) ax = blim x x→+∞x→+∞e sono entrambi finiti.

Esempio 3.3 x 1−f (x) = =1 = 1 + o(1)x +1 x +1quindi la retta y = 1 è asintoto orizzontale.

Esempio 3.4 p 2f (x) = 1 + x = x + o(1),quindi y = x è asintoto obliquo.

Esercizio 3.3 Determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:√ 3x x +1 x + 1, ,3 3 2−x +1 x x x + x + 11.4 Successioni6Appunti di Analisi Matematica I →

ⁿ∈Definizione 4.1 Sia f : Per brevità poniamo a = f (n), Una tale funzione siN R. N.n {a }.chiama successione a termini reali di termine generale a e, per comodità si suole scriveren n˜∅ ∈Osserviamo che si ha: DN = ma, pensando immerso in abbiamo che +∞ DN e quindiN R, →l'unico limite che ha senso prendere in considerazione è quello per n +∞. Per questa ragione,quando si vuole indicare lim a è sufficiente scrivere lim a .n→+∞ n nI teoremi sui limiti visti per le funzioni restano validi per le successioni in quanto queste sonoanche funzioni. Tuttavia, vale la pena di sottolineare che - per le successioni - qualche risultato puòessere enunciato in modo più preciso.Dimostriamo ad esempio il seguente risultato:Teorema 4.1 Ogni successione convergente è limitata.{a }Dim. Siccome è una funzione sappiamo già che essa è localmente limitata ovvero chen∃k ≥ ∃ν ∈ ∀n |a | ≤0, :

> ν si ha: k. Per provare che la successione è limitata è sufficienteN nnotare che |a | ≤ |, |a |, |a |, ∀n ∈max(|a . . . , k), N.n 1 2 ν√Esempio 4.1 lim a = 1.n a−1n ≥ −1Utilizziamo la disuguaglianza di Bernoulli - (1 + x) 1 + nx, x > - scegliendo x = . Sinottiene immediatamente n −a 1 ≥ ∀n ∈1+ a, N,nda cui (supponiamo a > 1) √ −a 1≤ ∀n ∈n1 < a 1+ , N,n √ 1√e quindi la tesi passando al limite. Se 0 < a < 1, osserviamo che a = .n n 1a√Esempio 4.2 lim n = 1.n√ √Poiché n > 1 possiamo scrivere n = 1 + δ con δ > 0. Si ottiene quindi:n n n nn −n n n(n 1) Xn 2k n 2· · · δn = (1 + δ ) = δ = 1 + nδ + + δ > δ =n n nn n nk 2 2k=0da cui r 20 < δ <n −n 1e quindi √ →n n = 1 + δ 1.n 7G.Di Fazio√n α ∀α

_∈Esempio 4.3 lim _{n → 1} R. Immediato dal precedente. _kn ∀k Esempio 4.4 lim _{> 0} n! _kn Posto a = si ha: n n! k a 1 1 n+1 →= 1+ 0 a k n +1 ne quindi ∃ν ∈ ∀n: 0 < a < a > ν N n+1 n da cui si ricava l’esistenza del limite per monotonia. La successione inoltre è convergente perché è anche limitata. Passando al limite nella relazione k 1 1 a = a 1 +n+1 n k n +1 segue che il limite è zero. In modo simile si prova che k ∀k ∈= 0, Esempio 4.5 lim _R.n!√n _∀k Esempio 4.6 n! = +∞, R. Dobbiamo provare che √n∀k ∃ν ∈ ∀n> 0, : n! > k, > ν Novvero nk ∀n∀k ∃ν ∈ < 1, > ν> 0, :N n! ma ciò è evidentemente vero per quanto affermato nell’esempio precedente. _{→ ∈}Teorema 4.2 (di passaggio tra le successioni e le funzioni) Sia f : X x DX. Allora R R, 0˜∃ ∈ ∃ Condizione necessaria e suficienteaffinché lim f(x) = l, è necessario che per ogni successione di elementi di X tale che lim x_n = x, si abbia lim f(x_n) = l. Dim. La condizione è necessaria. Sia una successione di cui all'enunciato. Per ipotesi abbiamo: ∀ε ∃δ |f(x) - l| < ε per ogni x ∈ X, x ≠ x_0, x < δ. Siccome x_n → x, è lecito sostituire x con x_n ottenendo ∀ε ∃ν ∈ N |f(x_n) - l| < ε per ogni n ≥ ν, il che è quanto si voleva dimostrare. La condizione è sufficiente. Proviamolo ragionando per assurdo: Supponiamo quindi che esista ε̄ ∀δ ∃x ∈ X, x ≠ x_0, x < δ |f(x) - l| ≥ ε̄. Per ipotesi abbiamo che, per ogni successione di cui all'enunciato si ha: ∀ε ∃ν ∈ N |f(x_n) - l| < ε per ogni n ≥ ν.

l| < εN nma ciò è in palese contrasto con la precedente affermazione e - per rendersene conto - basta scegliereδ = n.

Appunti di Analisi Matematica I

Utilizzando il teorema precedente si può dimostrare in modo semplice che nessuno dei seguenti limiti esiste: 1 x[x], lim sen x, lim cos x, lim (−1) .lim sen x x +1x→+∞ x→+∞ x→+∞x→0 n{q }

Servendoci del teorema precedente possiamo determinare gli estremi della successione al vari