Limiti e proprietà

Limiti delle funzioni di una variabile reale

Definizione 0.1

Sia f : X una funzione e siano x DX, l. Diciamo che l è il limite della funzione f al tendere di x al punto x₀ quando per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x in X, se x appartiene a B_δ(x₀) allora f(x) appartiene a B_ε(l). In tal caso si suole scrivere:

lim f(x) = l quando x tende a x₀.

Esempio 0.1

La funzione f definita mediante la legge f(x) = k, con k reale, ha:

lim f(x) = k per ogni x in ℝ quando x tende a x₀.

Esempio 0.2

La funzione f definita mediante la legge:

• f(x) = 1 se x = 0;
• f(x) = 60 se x ≠ 0.

Ha: lim f(x) = 0 quando x tende a 0.

Esempio 0.3

La funzione f definita mediante la legge:

• f(x) = 1 se x ≥ 0;
• f(x) = 0 se x < 0.

In questo caso il limite lim f(x) quando x tende a 0 non esiste.

Esempio 0.4

La funzione f definita mediante la legge f(x) = 1/|x| per ogni x ≠ 0 ha:

lim f(x) = +∞ quando x tende a 0.

Prime proprietà dei limiti

Teorema 1.1 (Di unicità)

Sia f : X e siano x DX, l. Se esiste lim f(x) quando x tende a x₀, allora questo è unico.

Teorema 1.2

Sia f : X e siano x DX, l. Supponiamo che esista lim f(x) = l quando x tende a x₀. Siano h, k tali che h < l < k. Allora esiste δ > 0 tale che h < f(x) < k in B_δ(x₀).

Teorema 1.3

Sia f : X e siano x DX, l. Supponiamo che esista lim f(x) = l quando x tende a x₀. Allora lim |f(x)| = |l| quando x tende a x₀. Il viceversa è falso tranne che nel caso l = 0.

Esempio 1.1

Per f(x) = |x|, il teorema si applica.

Teorema 1.4 (Di confronto)

Siano f, g : X e sia x DX. Supponiamo che esistano lim f(x) = l e lim g(x) = m quando x tende a x₀. Allora |l| ≤ |m|.

Esempio 1.2

lim sin x = 0 segue dalla disuguaglianza |sin x| e dai teoremi precedenti quando x tende a 0.

Esempio 1.3

lim cos x = 1 segue dalle disuguaglianze e dai teoremi precedenti quando x tende a 0.

Esempio 1.4

lim (sin x/x) = 1 quando x tende a 0.

Esempio 1.5

lim (1 - cos x)/(2x) = 1 quando x tende a 0.

Teorema 1.5

Sia f : X e siano x DX, l. Supponiamo che lim f(x) = l quando x tende a x₀. Allora esiste δ > 0 tale che |f(x)| ≤ k per ogni x in B_δ(x₀).

Operazioni con i limiti

Teorema 2.1 (Della somma)

Siano f, g : X e sia x DX. Supponiamo che esistano lim f(x) = l e lim g(x) = m quando x tende a x₀. Allora:

lim (f + g)(x) = l + m quando x tende a x₀.

Nel caso che l, m non siano finiti, l'unica eccezione è data dal caso l = +∞ e m = -∞.

Teorema 2.2 (Del prodotto)

Siano f, g : X e sia x DX. Supponiamo che esistano lim f(x) = l e lim g(x) = m quando x tende a x₀. Allora:

lim (f g)(x) = l m quando x tende a x₀.

Nel caso che l, m non siano finiti, l'unica eccezione è data dal caso l = 0 e m = ±∞.

Esempio 2.1

• a) lim (1/x) = 0 quando x tende a 0;
• b) lim (1/x²) = +∞ quando x tende a 0;
• c) lim (1/x) = 0 quando x tende a 0;
• d) lim (1/x + sin x) non esiste quando x tende a 0;

Esempio 2.2

• a) lim x = 1 quando x tende a 0;
• b) lim x = +∞ quando x tende a 0;
• c) lim (-x) = 0 quando x tende a 0;
• d) lim x sin x non esiste quando x tende a 0;
• e) lim x sin(1/x) non esiste e la funzione non è limitata.

Teorema 2.3 (Del reciproco)

Sia f : X e sia x DX. Supponiamo che lim f(x) = 0 quando x tende a x₀. Allora:

lim 1/|f(x)| = +∞ quando x tende a x₀.

Teorema 2.4 (Del reciproco)

Sia f : X e sia x DX. Supponiamo che lim |f(x)| = +∞ quando x tende a x₀. Allora:

lim 1/f(x) = 0 quando x tende a x₀.

Teorema 2.5 (Del reciproco)

Sia f : X e sia x DX. Supponiamo che lim f(x) = l ≠ 0 quando x tende a x₀. Allora:

lim 1/f(x) = 1/l quando x tende a x₀.

Teorema 2.6 (Del rapporto)

Siano f, g : X e sia x DX. Supponiamo che esistano lim f(x) = l e lim g(x) = m ≠ 0 quando x tende a x₀. Allora:

lim f(x)/g(x) = l/m quando x tende a x₀.

L'unica eccezione è data dal caso di forme indeterminate come 0/0 o ±∞/±∞.

Teorema 2.7 (Cambio di variabili nei limiti)

Sia f : X e sia x DX. Sia inoltre ϕ : Y → X, y DY una funzione iniettiva e suriettiva tale che lim ϕ(y) = x₀ quando y tende a y₀. Allora esiste il limite lim f(x) = l se e soltanto se esiste lim f(ϕ(y)) = l quando y tende a y₀.

Esempio 2.3

lim (x sin x) = 1 quando x tende a +∞.

Esempio 2.4

lim sin x = sin x₀ e lim cos x = cos x₀ quando x tende a x₀.