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Appunti di Analisi Matematica I ∃

lim f (x) = l e lim g(x) = m. Allora lim (f + g)(x) = l + m.

x→x x→x x→x

0 0 0 −∞.

Nel caso che l, m non sono finiti, l’unica eccezione è data dal caso l = +∞, m =

⊂ → ∈

Teorema 2.2 (del prodotto) Siano f, g : X e sia x DX. Supponiamo che esistono

R R 0

∃ · ·

lim f (x) = l e lim g(x) = m. Allora lim (f g)(x) = l m.

x→x x→x x→x

0 0 0 ∞,

Nel caso che l, m non sono finiti, l’unica eccezione è data dal caso l = m = 0.

1 1 1 1 1 1

− − − −∞;

Esempio 2.1 a) lim = 0; b) lim = +∞; c) lim = d)

+ + +

x→0 x→0 x→0

2 2

x x x x x x

1 1 1

lim + sen non esiste;

+

x→0 x x x 1 1 1 1 1

−∞;

Esempio 2.2 a) lim x = 1; b) lim x = +∞; c) lim (−x) = d) lim x sen

+ + + +

x→0 x→0 x→0 x→0

2 2

x x x x x

1 1

non esiste; e) lim x sen non esiste e la funzione non è limitata.

+

x→0 2

x x ⊂ → ∈

Teorema 2.3 (del reciproco) Sia f : X e sia x DX. Supponiamo che lim f (x) = 0.

R R 0 x→x

0

1

Allora lim = +∞.

x→x |f (x)|

0 ⊂ → ∈ |f

Teorema 2.4 (del reciproco) Sia f : X e sia x DX. Supponiamo che lim (x)| =

R R 0 x→x

0

1

∃ = 0.

+∞. Allora lim

x→x f (x)

0 ⊂ → ∈

Teorema 2.5 (del reciproco) Sia f : X e sia x DX. Supponiamo che lim f (x) =

R R 0 x→x

0

1 1

6 ∃

l = 0. Allora lim = .

x→x f (x) l

0 ⊂ → ∈

Teorema 2.6 (del rapporto) Siano f, g : X e sia x DX. Supponiamo che esistono

R R 0

f (x) l

6 ∃

lim f (x) = l, lim g(x) = m = 0. Allora lim = .

x→x x→x x→x g(x) m

0 0 0

0 (oppure .)

L’unica eccezione è data dal caso ∞

0

N.B.: Da ora in poi le eccezioni saranno chiamate ”forme indeterminate.”

⊂ → ∈

Teorema 2.7 (cambio di variabili nei limiti) Sia f : X e sia x DX. Sia inoltre

R R 0

→ ∈

ϕ : Y X, y DY una funzione inettiva e suriettiva tale che lim ϕ(y) = x . Allora esiste il

0 y→y 0

0

limite lim f (x) = l se e soltanto se esiste lim f (ϕ(y)) = l.

x→x y→y

0 0

Esempio 2.3 1 =1

lim x sen x

x→+∞

Esempio 2.4 lim sen x = sen x

0

x→x

0

e lim cos x = cos x .

0

x→x

0

Infatti, − − −

sen x = sen((x x ) + x ) = sen(x x ) cos x + cos(x x ) sen x

0 0 0 0 0 0 3

G.Di Fazio

e si procede analogamente per il coseno. →

Teorema 2.8 (limiti delle funzioni monotone) Sia f : (a, b) una funzione crescente in (a, b).

R

Allora, ∃ ∀x ∈]a,

1) lim f (x) = sup f (x), b),

0

x→x ]a,x [

0

0

∃ ∀x ∈

2) lim f (x) = inf f (x), (a, b[.

0

+ ]x ,b[

x→x 0

0

Dim. Proviamo la 1). Posto sup f (x) = l proviamo che lim f (x) = l. Ricordiamo le

]a,x [ x→x

0 0

proprietà caratterizzanti l’ estremo superiore:

≤ ∀x ∈]a,

f (x) l x [;

0

∀ε ∃x ∈]a, −

> 0 : x [ : l ε < f (x ).

ε 0 ε

Per la monotonia si ha: − ≤ ≤ ∀x ∈]a,

l ε < f (x ) f (x) l < l + ε, x [

ε 0

da cui la tesi. La 2) si prova in modo analogo. Ovviamente un teorema simile vale per le funzioni

decrescenti.

Esempio 2.5 α α

lim x = x , x > 0.

0

0

x→x

0

Supponiamo in un primo tempo che x = 1. Proviamo quindi che

0 α 6

lim x = 1, α = 0.

x→1 α

Supponiamo α > 0. La funzione risulta crescente e quindi basterà provare che sup{x : 0 < x <

1} = 1. Ma ciò segue immediatamente dalla definizione di potenza ad esponente reale. Infatti,

α α α

sup{x : 0 < x < 1} = sup{q : 0 < q < 1, q = 1 = 1

Q}

α α

Proviamo adesso che lim x = x , x > 0. Si ha:

x→x 0

0

0 α

x α α α α

α x = lim y x = x .

lim x = lim 0 0 0

x

x→x x→x y→1

0

0 0

Usando la monotonia si può dimostrare inoltre che,

α α

lim x = 0, α > 0, lim x = +∞, α < 0.

+

+

x→0 x→0

α α

lim x = +∞, α > 0, lim x = 0, α < 0.

x→+∞ x→+∞

Esempio 2.6 In modo simile si può provare che:

x x 6

lim a = a , a > 0, a = 1

0

x→x

0

4

Appunti di Analisi Matematica I

e anche x x

lim a = 0, α > 1, lim a = +∞, 0 < α < 1.

x→−∞ x→−∞

x x

lim a = +∞, α > 1, lim a = 0, 0 < α < 1.

x→+∞ x→+∞

Esercizio 2.1 Studiare i limiti relativi alla funzione log x.

a

Esercizio 2.2 Calcolare i seguenti limiti:

tang 3x 1

α

1) lim , 2) lim x sen , α > 0.

x→0 x→+∞

sen 2x x

2 n

(x−1) a +a x+···+a x 6

3) lim , 4) lim , a , b = 0,

0 1 n

x→1 x→+∞ n m

m

sen πx b +b x+···+b x

0 1 m

1.3 Infinitesimi. Confronti asintotici.

⊂ →

Definizione 3.1 Siano f, g : X due infinitesimi al tendere di x ad x cioè lim f (x) =

R R 0 x→x

0

⊂ →

0, lim g(x) = 0. Supponiamo che esista una terza funzione σ : X - infinitesima

R R,

x→x

0

anch’essa - tale che f (x) = σ(x)g(x) in un intorno del punto x . In tal caso diremo che la funzione

0

f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla funzione g e scriveremo f = o(g).

⊂ →

Teorema 3.1 Siano f, g : X due infinitesimi al tendere di x ad x . Allora f = o(g) se e

R R 0

f (x)

solo se lim = 0.

x→x g(x)

0

Dim. ovvia.

Teorema 3.2 (principio di sostituzione) Siano f = o(f ), g = o(g). Allora esiste il limite

1 1

f + f

1

lim ,

g + g

x→x 1

0

se e solo se esiste il limite f

lim ,

g

x→x

0

ed in tal caso sono uguali.

Dim. ovvia.

Definizione 3.2 Siano f, g due infinitesimi al tendere di x ad x . Diciamo che f e g sono asintotiche

0

− ∼

al tendere di x ad x se f g = o(g) e scriviamo f g.

0 f (x)

Teorema 3.3 f g se e solo se lim = 1.

x→x g(x)

0

Proposizione 3.1 La relazione è una relazione di equivalenza.

Esempio 3.1 sen x x al tendere di x a zero. ∃λ 6 ∼

Definizione 3.3 Diciamo che due infinitesimi f e g sono dello stesso ordine se = 0 : f λg 5

G.Di Fazio

f (x) 6 = 0.

Teorema 3.4 f e g sono dello stesso ordine se e solo se lim

x→x g(x)

0

2

Esempio 3.2 Le funzioni 1−cos x e x sono dello stesso ordine. Ciò si può esprimere anche dicendo

che 2

x 2

cos x = 1 + o(x )

2

in un intorno dell’ origine.

Come esempio di applicazione del concetto di infinitesimo studiamo gli asintoti ad un diagramma

cartesiano. ∈

Definizione 3.4 Sia data una funzione f : (α, +∞[→ Se esistono a, b tali che

R. R

f (x) = ax + b + o(1), x +∞

allora la retta di equazione r : y = ax+b si dice asintoto destro per la funzione f. Se a = 0 l’asintoto

di dice orizzontale altrimenti si dice obliquo.

Teorema 3.5 La retta y = ax + b è asintoto destro per la funzione f se e solo se la distanza tra il

diagramma della funzione e la retta asintoto è infinitesima al tendere di x a +∞.

Teorema 3.6 La retta r : y = ax + b è asintoto per f se e solo se

f (x) −

∃ = a, lim f (x) ax = b

lim x x→+∞

x→+∞

e sono entrambi finiti.

Esempio 3.3 x 1

f (x) = =1 = 1 + o(1)

x +1 x +1

quindi la retta y = 1 è asintoto orizzontale.

Esempio 3.4 p 2

f (x) = 1 + x = x + o(1),

quindi y = x è asintoto obliquo.

Esercizio 3.3 Determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:

√ 3

x x +1 x + 1

, ,

3 3 2

x +1 x x x + x + 1

1.4 Successioni

6

Appunti di Analisi Matematica I → ∀n ∈

Definizione 4.1 Sia f : Per brevità poniamo a = f (n), Una tale funzione si

N R. N.

n {a }.

chiama successione a termini reali di termine generale a e, per comodità si suole scrivere

n n

˜

∅ ∈

Osserviamo che si ha: DN = ma, pensando immerso in abbiamo che +∞ DN e quindi

N R, →

l’unico limite che ha senso prendere in considerazione è quello per n +∞. Per questa ragione,

quando si vuole indicare lim a è sufficiente scrivere lim a .

n→+∞ n n

I teoremi sui limiti visti per le funzioni restano validi per le successioni in quanto queste sono

anche funzioni. Tuttavia, vale la pena di sottolineare che - per le successioni - qualche risultato può

essere enunciato in modo più preciso.

Dimostriamo ad esempio il seguente risultato:

Teorema 4.1 Ogni successione convergente è limitata.

{a }

Dim. Siccome è una funzione sappiamo già che essa è localmente limitata ovvero che

n

∃k ≥ ∃ν ∈ ∀n |a | ≤

0, : > ν si ha: k. Per provare che la successione è limitata è sufficiente

N n

notare che |a | ≤ |, |a |, |a |, ∀n ∈

max(|a . . . , k), N.

n 1 2 ν

Esempio 4.1 lim a = 1.

n a−1

n ≥ −1

Utilizziamo la disuguaglianza di Bernoulli - (1 + x) 1 + nx, x > - scegliendo x = . Si

n

ottiene immediatamente n

a 1 ≥ ∀n ∈

1+ a, N,

n

da cui (supponiamo a > 1) √ −

a 1

≤ ∀n ∈

n

1 < a 1+ , N,

n √ 1

e quindi la tesi passando al limite. Se 0 < a < 1, osserviamo che a = .

n n 1

a

Esempio 4.2 lim n = 1.

n

√ √

Poiché n > 1 possiamo scrivere n = 1 + δ con δ > 0. Si ottiene quindi:

n n n n

n −

n n n(n 1)

X

n 2

k n 2

· · · δ

n = (1 + δ ) = δ = 1 + nδ + + δ > δ =

n n n

n n n

k 2 2

k=0

da cui r 2

0 < δ <

n −

n 1

e quindi √ →

n n = 1 + δ 1.

n 7


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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Di Fazio Giuseppe Natale.

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