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Limiti e funzioni complesse
Limiti complessi
λ ∈ ℂ, λ = z→z₀ lim f(z) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |z - z₀|. λ = |z| → +∞ lim f(z) ∀ ε > 0 ∃ H > 0 |z| > H |f(z) - λ|.
Funzione continua
f(z) = z→z₀ lim f(z) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |z - z₀|. f(z) è continua in z₀ se e solamente se u(x,y), v(x,y) sono continue in (x₀,y₀).
Esempio
- g(z) = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi
- g(z) = 1/z = 1/x + iy = x - iy/(x + iy)(x - iy) = x - iy/x2 + y2 = x/x2 + y2 + i-y/x2 + y2
Argomento di z
A = {|z|⁰}. Dalla x = ρ cos Θ, y = ρ sin Θ, ρ = √(x2 + y2), Θ = g(x, y). Più elle esterne, Θ = Arg z : {ℂ\{0}} → ℝ ⊆ ℂ. Arg z definito in {|z|⁰}. Arg z è continuo in {|z|⁰}.
Limiti complessi (ripetizione)
λ ∈ ℂ, λ = limz→z0 f(z) ∀ ε>0, ∃ δ > 0. |z|>H |f(z) - λ|.
Funzione continua (ripetizione)
f(z) = limz→z0 f(z) ∀ ε>0, ∃ δ > 0 |z-z0|.
Valori particolari dell'argomento
- π/2 se x=0 e y>0
- -π/2 se x=0
- 2quardarctg y/x - π se x>0
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Scienze matematiche e informatiche
MAT/05 Analisi matematica
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5 Luglio 2022
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