Limite di una funzione: teoria ed esercizi

2) f(1) = 8

f(0) = -3

f per x₀ appartenente ad E: f(x₀) = 1

Sì,

perché per il T. dei valori intermedi 1 è in f([0,1])

deve assumere tutti i valori compresi fra -3 e 8

Definizione di LIMITE per una funzione

Consideriamo l'intervallo oppure l'int. forato

(I è un int. forato se I contenuto in R tale che I unione {c}(c è un intervallo))

Def. di intorno di +∞ e -∞

Sia a appartenente a R

diciamo che [a, +∞[ è un intorno di +∞

], a[ è un intorno di -∞

DEFINIZIONE DI LIMITE per una FUNZIONE

f: I contenuto in R → R l'intervallo oppure int. forato

Sia x₀ appartenente a [inf I, sup I]

Diciamo che f limite per x → x₀ di f(x) è uguale ad l appartenente a R

e scriviamo

∀(aₙ)ₙ appartenente in I\{x₀} con aₙ → x₀

abbiamo lim f(aₙ) = l

ₙ→+∞

OSS: x₀ ∈ [inf I, sup I]

I = ] -2, 3 [ {0} [inf I, sup I] = [-2, 3]

I = [2, +∞[, 5 } [inf I, sup I] = [2, +∞]

f : &realrarr; &real

f(x) = {   1   x ≠ 0   0   x = 0

∃ lim f(x) x→0

∀ m ∈ &real {0} a_n → 0

f(a_m) = 1 ∀m m → ∞

∃ lim f(x) = 1 x→0

f(x) = {   1   x ≠ 0   0   x = 0

lim f(x) = 1 x→0

a_n ∧ b_m ⇒ a_n - b_m → 0

Scegliamo a_n = Mπ + π/2

f(am) = f_n(Mπ + π/2) =

• 1 n pari oppure n = 0
• -1 n dispari

⇒ ∃ lim f(a_m)

M→±∞

⇒ lim f(a_m)

⇒ lim sin_x

M→±∞ (cos)

Teorema dei 2 Carabinieri:

Siano f, g, h: I → ℝ I è int. oppure int. forato

x_o ∈ I (inf. I e sup. I)

Tali che f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ I, \ {x_o}

se lim f(x) = l ed lim g(x) = l e sono uguali

x→x_o

⇒ lim h(x) = lim f(x)

x→x_o

Dimostrazione:

(TH) ∀(am) am ∈ I \ {0} am → x_o, m → ±∞

se x = am

f(a_m) ≤ h(am) ≤ g(am) per il teorema dei due carabinieri per succ.

↓     ↓     ↓

l     l     l

⇒ lim f(a_m) → l

m→±∞

(RS) se am ∩ ℕ bm m → ±∞ p→ a_m - b_m → 0

FALSE!

cerco a_m, b_m → ±∞

m→±∞

a_n = M + 1 b_m = M

8M

5M

M + 1

M

Teorema permanenza del segno

f: I → ℝ I int. o int. forato

x₀ ∈ [inf I, sup I]

1) f(x₀) ≠ 0 →

x → x₀

• 1) se f(x₀) > 0 ∃ U intorno di x₀: f(x) > 0 ∀ x ∈ U ∩ I \ {x₀}
• 2) se f(x₀) < 0 ∃ U intorno di x₀: f(x) < 0 ∀ x ∈ U ∩ I \ {x₀}

Def. di o piccolo

Siano f, g: I → ℝ I int. o int. forato e x₀ ∈ [inf I, sup I]

g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I \ {x₀}

Diciamo che f(x) = o(g(x)) per x → x₀ se

x → x₀

lim

x → x₀ f(x)/g(x) = 0

Diciamo che f ∼ g per x → x₀ se ∃ h: I → ℝ

1. tale che 1) f, g, h in I \ {x₀}

2. 2) lim h(x) = 1

Osservazioni:

Se g ≠ 0 → f ∼ g ↔ f/g → 1

x → x₀ x → x₀

4)

lim_x→0 (e^x - 1) / x = 1

Poniamo y = e^x

x → 0 ⇔ y → 1

y - 1 ≈ log y

log y = x

Oss

e^x - 1 ≈ x per x → 0

lim_x→0 (e^x - 1) / x = 0 ⇔ lim_x→0 (e^x - x) / x = 0

e^x - 1 - x = o(x) x → 0

e^x = 1 + x + o(x) per x → 0

[ ] sono equivalenti

5)

lim_x→0 sen x / x = 1

Area del △ = 1/2 sen x ≤ 1/2 x ≤ 1/2 tg x

è vero se x > 0

se x < 0 bisogna prendere tutti i valori assoluti!

|x sen x| ≤ |x| ≤ |tg(x)| x < 0 (♯)

la formula vale solo per gli x nell'interv. x ∈ ]-π/2, π/2[

a) divido per |sin x| x ≠ 0

⇒ 1 ≤ |x| / |sin x| ⇒ |sin x| / |cos x| ⇔ 1 / |cos x| ≤ |sin x| / |cos x| ≤ 1

x → 0 ⇒ cosx → cos 0 = 1 > 0

Se x₀ ∈ ]inf. I , sup. I] allora

se f ↗

lim x→x₀ f(x) = sup. f([a, x₀[)

se f ↘

lim x→x₀ f(x) = inf. f(]x₀, b])

Se la funzione è discontinua ⇒ lim dx ≠ lim sx

es.

1. lim x→+∞ a^x = sup. a^x = +∞

2. lim x→-∞ a^x = inf. a^x = 0

(a>1)

Imm: ]0, +∞[

es.

lim x→+∞ log x = +∞

lim x→0 log x = -∞

Im: ℝ

es.

lim x→+∞ arctg x = π/2

lim x→-∞ arctg x = -π/2

Im = ]-π/2 , π/2[

lim_x→0 (cos²x - 1) / x²

lim_x→0 log(1 + x³) / x²

lim_x→1 log((x² - 2x + 2) / (x-1)²)

log(x² - 2x + 2) / (x-1)²

log(1 + 2(x-1) + (x-1)²) = log(1 + (x-1)²)

(x-1)² / (x-1)² → 1

ES lim_x→0 e^cos2x-1 / x²

=-1% forma indeterminata

NN cos²x -1 = (cos x - 1)(cos x + 1) N

log(x + 3 / x + 2)

log(x + 3) / x + 2 → 1

x log(x + 3 / x + 2)