Limite di una funzione: teoria ed esercizi

2) f(1) = 8

f(0) = -3

f:D ⟶ X: EA: f(x0) = 1 SI,

perché per il T. dei valori intermedi 1 ∈ f([0,1])

deve assumere tutti i valori compresi fra -3 e 8

Definizione di LIMITE per una funzione

Consideriamo l'intervallo oppure l'int. forato (I è un int. forato se I ⊆ ℝ[R] ma che I ∪ {x} y è un intervallo)

Def. di intorno di +∞ e -∞

sia a ∈ ℝ

diciamo che [a, +∞[ è un intorno di +∞

] -∞, a[ è un intorno di -∞

DEFINIZIONE DI LIMITE per una FUNZIONE

f: I ⊆ ℝ ⟶ ℝ l'intervallo oppure int. forato

Sia x₀ ∈ [inf I, sup I]

Diciamo che f limite per x ⟶ x₀ di f è uguale ad l ∈ ℝ e scriveremo

∀{∃ lim_x⟶x₀ f(x) = l ∀(an)n an ∈ I | x₂y an ⟶ x₀ M⟶+∞}

allora ∃ lim_M⟶+∞ f(an) = l

2) f(1)=8

f(0)=-3

f D 7 xo c:a : f(xo) = 1 S I,

perché per il teorema dei valori intermedi 1 ∈ f[0,1]

deve assumere tutti i valori compresi tra -3 e 8

Definizione di LIMITE per una funzione

Consideriamo l'intervallo oppure l'intervallo forato

(I è un intervallo forato se I ⊆ ℝ\ ℚ ma che I ∪ {x} è un intervallo)

Def. di intorno di +∞ e -∞

sia a∈ℝ

diciamo che [a,+∞[ è un intorno di +∞

] -∞ ,a[ è un intorno di -∞

DEFINIZIONE DI LIMITE per una FUNZIONE

f: I⊆ℝ→ℝ l'intervallo oppure int. forato

sia xo ∈ I\{inf I, sup I}

Diciamo che f limite per x→xo di f e l è uguale ad l ∈ ℝ e scriveremo

∀(an)n∈I\{inf I, sup I} an → xo

allora lim _M→+∞ f(an) = l

OSS: x₀ ∈ [inf I, sup I]

• I = ] -2, 3 [ \ {0} [inf I, sup I ] = [-2, 3]
• I = [ 2, +∞ [ \ {5} [inf I, sup I ] = [2, +∞]

es: f : ↠ ↠

f(x) = { 1 x ≠ 0

0 x = 0

⇼ lim f(x)

x→0

Sia a_n ∈ &R \ {0} a_n → 0

f(a_n) = 1 ∀

∀ → ∞

lim f(x) = 1

x→0

es: f(x) = { 1 x ≠ 0

7 x = 0

lim f(x) = 1

x→0

a_n ∧ b_n → 0 a_n - b_n → 0

Relazione tra continuità in un punto ed il lim per x → x₀

Teorema

f: I → ℝI: Intervallo x₀ ∈ I

Allora

f è continua in x₀ ⇔ ∃ lim f(x) = f(x₀)x → x₀

f è continua in x₀ ⇔ ∀{a_n}_n ∈ I con a_n → x₀ n → ±∞allora f(a_n) → f(x₀)M → ±∞

lim f(x) = f(x₀) ⇔ ∀ {a_n}_n ∈ I ∖ {x₀} a_n → x₀ n → ±∞allora f(a_n) → f(x₀)M → ±∞

f cont

lim f(x) = f(x₀)x → x₀

|f(a_n) - f(x₀)| ≤ ε ∀ ε > 0 definitivamente

Es: f: [1,2[ → ℝ continua→? lim f(x)x → 2

x₀ ∈ [inf I, sup I] = [1,2]

f è continua in [1,2[ ma 2 ∉ [1,2[→ FALSO!

lim f(x)x → 2

3. f:[1,2[ -> IR continua

3/2 ∈ [1,2[ f è continua in 3/2

Teorema UNICITÀ del LIMITE

Sia f: I ⊆ IR -> IR

I int. o int. forato

x_o ∈ [inf.I , sup.I]

se ∃ lim f(x) = l ∈ IR ->

Dimostrazione:

- supponiamo per assurdo ∃ l, m l ≠ m e

lim f(x) = l e lim f(x) = m

∀(a_n)n ∈ I |x_o > an -> x_o

suc. = f(an) -> l

∀(b_m )m ∈ I |x_o bm -> x_o

suc. = f(b_m ) -> m

unicità del lim ->

- f(x) = 1/x

∃ lim f(x)

∀(a_n) n ∈ IR | 0 > an -> 0

? f(an)->?

a_n = 1/m f(an) = 1/m - m -> ∞

b_m = -1/m f(b_m ) = 1/-m -> ∞

≠ ∃ lim f(x)

(Es)

f(x) = ¹/_x²

∃ ? lim f(x)_{x → 0}

∀ (a_n)_n a_n → 0

f(a_n) → +∞

(Es)

f(x) = sin x

f : ℝ → ℝ

I = ℝ

[inf I, sup I] = [-∞, +∞]

∀ x₀ ∈ ℝ

lim sin x = sin x_{x → x0}

x₀ = +∞

x₀ = -∞

lim_{x → +∞} sin x ?

lim_{x → -∞} sin x ?

lim_{n → +∞} f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ (a_n)_n ∈ ℝ

a_n →