Lezioni, Teoria dei fenomeni aleatori

VARIABILI ALEATORIE

CORPO Ogni insieme (punto b o) caratterizzato nei

dai due operatori. Addizione (+) Moltiplicazione (*)

per finita addizionazione. Proprietà probabilità

probabilità

• utilizzo a spazi campione finiti (corpo elementare)
• anche a spazi infiniti (probabilità probabilità)

Classe è una lista di insiemi che compone movimento

e unica st alle operazioni () e sotto e

appartenenza

A∈S, B∈S ⇒ A∈S, A+B∈S

Se x elevata zk∅, ma occorre elemento su un

nel campo di Boole, subset elemento

Si def spazio di probabilità lo termine

(spazi campione) probabilità su S

prove ripetute

esperimenti del sistema, nelle serie usato

ipotesi, per un certo # di volte

Pe m classico (# di prove)

Il questo modo si può

formula la probabilità con la

e frequenza e vetta

Pe m arbitriario (m vol)

successo A P(A) = m(A) m

prodotto carteggiano

risultati ottenibile

P(A) = ¹/_2^m

Questo vale se il gruppo di m elementi scelti vogliono scegliere g (g di gruppo), oppure vogliono

interessare l'ordine oppure utilizzando group note. => LEGENDE BINOMIALE:

• n = Unità che ho da scegliere gli elementi di un totale di n elementi.

+ PROVE BERNOULLIANE & LEGGE BINOMIALE

Le prove Bernoulliane sono un numero di prove tra loro INDIPENDENTI, in cui ciascuna di esse ha i due soli stati:

• Una univoca a dire che una è scelta
• Testa
• Croce

Se c'è un ordine:

• P(a) = P(successo) [A, A₁] può essere solo S
• P(A) = 1 - P = 0 = "a(metritis)" una prove Bernoulliane

P(Ā = A̅, A̅ = A) = p(Ā˙) = p · p ˙

Se A si presenta k volte

P_n(k) = ^{ρk qn-k} / _n

se non c'è un ordine:

P_n(k) = (n ^{_k) · ρk qn-k [SE NON C'E' ORDINE]}

LEGGE BINOMIALE BERNOULLI: Può essere presa nel senso di un caso → M (mi allineo) e da qui può da B résiu.

non c'è ordine: In un altro ordine non compare ordine.

M₁/k₁! k₂!

+ EVENTO "TIPO" E TEOREMA DI POISSON

Un evento tipo è un evento che si verifica con poco successi su un uno numero alto di prove m ≫ a.

Per il calcolo posso dire un evento A è verificato k volte puri, è considerato.

Tale di Poisson

Esso si riflette pensiamo di trovare una Bernoulliane ripetuta k su n girati m di volta e è "basso p_o"

se m → δ → 0 → P(A) = Po = m

le p_o di eventi A si verifica k volte è

P_m(k) = ^{mk (mp)} / _k! LEGGE DI POISSON

Modelli di V.A.

V.A. = Variabile aleatoria

1) Variabile Uniforme continua

L' v.a. X si dice uniforme tra x₁ e x₂ se :

La sua densitá di probabilitá è costante in quell'intervallo chiuso :

f_X(x) = 1/(x₂ - x₁)

Se x ∈ [x₁ , x₂ ]

0 altrove

Si ricorda che :

f_Y(y) ≠ F_X(x)

Funzione Distribuzione di Probabilità

• Var[|X|] = Var[|X|]² - E(|X|)² = |1/2 σ²|

2) Variabile Gaussiana

La variabile gaussiana viene guidata <questa variabile random>

La V.A. è detta gaussiana se : f_X(x) = e^{- (x-μ)² / 2σ²} / σ√ 2π

• N(0, 1) = Gaussiana Standard

Coppie di Variabili Aleatorie

Si considerano due v.a. X, Y

Se sono quantitative: f_XY(x,y) unico modo di studiarle congiuntamente

• F_XY(x,y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}

• Funzione distribuzione congiunta: P del quadrato generato da x, y₁

Se X e Y sono continue → f_XY(x, y) che è lo stadio di probabilità in (x, y) se conosciute

P{X ∈ (x, x + dx), Y ∈ (y, y + dy)} = f_XY(x, y) dx dy

P{X ≤ x, Y ≤ y} = ∫_-∞^x∫_-∞^y f_XY(v, u) dv du

F_XY(x, y) = ∫_-∞^y f_XY(x, u) du

Da cui: f_XY(x, y) = ∂²F_XY/(∂x∂y)

(X_∞, Y_∞) = Evento certo

Via continue

• F_X(x) = F_XY(x, ∞)

• La regione di probabilità dell'evento P{X ≤ x}

• f_X(x) dx = ∫_-∞^∞ f_XY(x, y) dy

Disegno

f_X(x) = ∫_-∞^∞ f_XY(x, y) dy

V.a. discrete

• P{X = x_i, Y = y_j} = p_ij con ΣΣ p_ij = 1

• P{X = x_i} = p_i

• P{Y = y_k} = q_k

Indipendenza statistica di due v.a.

Due V.A. X e Y sono dette statisticamente indipendenti se sono indipendenti gli eventi {X ≤ x} e {Y ≤ y}

Affidabilità Componenti — Sistemi

Si definisce vita (time to failure o life length) di un sistema l'intervallo temporale dall'istante 0 nel quale il sistema inizia a svolgere correttamente la sua funzione, fino al primo punto del sistema stesso in cui il sistema ha il primo guasto.

Tale intervallo è nullo se X>0 con P(x)=1-P_X(t)=p(t), con P_xh(t)≡P(0,0,t). P(t)=P(x,t)=R(t), R(t)=1-F(t)=e^-βx(t).

Quindi:

• VITA ➔ V A X0→⟨t,F_xh(t)⟩X+⟨t,F_xh(t)⟩
• Recuperiamo anche il sistema ➔ evento nullo dell'istante t.
• V X > 0 R(t)=p(x)X+t

1° F_x(t)=1-(R(t))F_x(t)

^

x_t

Mean Time Between Failures (MTBF)

Essendo intervallo di "vita" proprio la coda della distribuzione se accettiamo il senso unico pericolo / t_xh

Risoluzione sequenze

Risoluzione Equazione di Suassi (Proba condizionata)

X(t)= R(t) per X>t+t da t

HXt=E≥0⟨t,x+∞àX⟩t⟨)*X⟩

VITA SISTEMA

∫t