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Richiami Calcolo Vettoriale
Spazio vettoriale = ℝ
base (i, j, k) → sistema di riferimento (O, x, y, z)
Vettore ente matematico:
- Intensità - Modulo
- Direzione
- Verso
Componente di un vettore rispetto {i, j, k}
v = vxi + vyj + vzk
oppure v = {vx}/{vy}/{vz}
√(vx2 + vy2 + vz2) Modulo di v
Operazioni:
(1) Vettore somma o risultante: dati i vettori a e b, si definisce il vettore somma s = a + b, il vettore ottenuto costruendo la diagonale del parallelogramma individuato da a e b.
s = {ax + bx}/{ay + by}/{az + bz}
Proprietà della somma
- a + b = b + a Commutativa
- (a + b) + c = a + (b + c) Associativa
- Vettore nullo 0, v + 0 = v
- Vettore opposto di v -v, v + (-v) = 0
(2) Prodotto scalare
a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ ℝ
Proprietà del pr. sc.
-a ⋅ b = |a| |b| cosθ
- Se a e b sono ortogonali o = 90° -> a·b = 0
α ∈ R α(a, b) = (αa)·b = α(a·b)
a·b = b·a
-(a ± c)·b = a·b ± c·b
- a·a ≥ 0 a ≠ 0 → |a| = √(a·a)
(3) Prodotto vettoriale
a, b, e ∈ R³ (e un vettore)
Proprietà del Pr. Vet.
- Componenti di c
Modulo |e| = |a x b| = |a||b|sinθ
Se a e b sono paralleli (θ = 0) e = 0 → a x b = 0
Direzione e verso
c = a x b
c = a x b
Regola mano destra: pollice (a), indice (b) → medio (e)
- c = b x a → prod. vett. non commutativo
Regola cavatappi: con mano destra, sovrappongo a con b → e verso del pollice
i x j = k
j x k = i
k x i = j
VINCOLI ESTERNI PER SPOSTAMENTI PIANI
(4) VINCOLI SEMPLICI (Ve = 1)
- CARRELLO o APPOGGIO SCORREVOLE
- Il carrello blocca uno spostamento lungo la retta efficace
- Eq. di vincolo: v(A) = 0
- PENDOLO
- Stesse perturbazioni cinematiche del carrello
- Eq. di vincolo: e la rotazione
- DOPPIO BIPENDOLO
- Blocca la rotazione
- Eq. di vincolo: θ = 0
(2) VINCOLI DOPPI (Ve = 2)
- CERNIERA FISSA
- Blocca 2 traslazioni, concede la rotazione attorno al centro di rotazione (o perno) della cerniera
- Eq. di vincolo:
- u(A) = 0
- v(A) = 0
- CERNIERA INNOCUALE
- Sostituisce comminando e pendoli
le aste si attraggono a vicenda nella propria rotazione
esempio:
CASO DEI:
VINCOLI MALPOSTI
sono allineati → non isostatici
carattere cinematico
2) TRAVE SEMPLICEMENTE APPOGGIATA
L = 3
V = 2 + 1 = 3
Se la retta efficace dei carrelli non passa per il centro di rotazione della cerniera, la trave risulta isostatica.
esempio:
VINCOLI MALPOSTI
L = V = 3
Retta passante per C. cerniera → non isostatica
3) MENSOLA
L = 3
V = 3
4) ANELLO CHIUSO ISOSTATICO
nodi vanno inseriti opportunamente
STATICA DEI CORPI RIGIDI
La FORZA agisce a DISTANZA
Tipi:
- CONCENTRATE in un solo punto
- DISTRIBUITE su tutto il corpo
È una grandezza vettoriale vettore applicato.
F = |Fx| |Fy| |Fz| Applicata in P (Xp, Yp, Zp)
Caso Piano:
vettore di posizione
P (Xp, Yp)
F = |Fx| |Fy|
MOMENTO DI UNA FORZA RISPETTO AD UN POLO
Mo = (P-O) x F = det│i j k│
xp-xo yp-yo zp-zo Fx Fy FzCaso Piano:
Mo = (P-O) x F = det │i j k│
xp-xo yp-yo 0 Fx Fy 0= k[(Xp-Xo)Fy - (Yp-Yo)Fx]
Mo = | Mo | = | F | d = BRACCIO
regola mano destra
Sistema di forze i = 1, N
RISULTANTE: R = Σ Fi
MOMENTO RISULTANTE (rispetto al O) Mo = Σ (P-O) x Fi
| Rx = Σ Fx |
| Ry = Σ Fy |
| Rz = Σ Fz |
Riepilogo
- Riconoscere le forze (trave e corpi separati)
- Disegnare i modelli
Esempio: Trave appoggiata con carico concentrato
Rette di azione passano per x di polo di A
Per comodità si sostituisce il carico distribuito con un carico concentrato staticamente equivalente (produce
reazioni vincolari identiche ed ha la stessa parte di moria).
Va applicato nel baricentro del diagramma di carico – nel rettangolo è il punto di intersezione delle diagonali.
Carico concentrato di modulo pari all'area del diagramma di carico (bxh).
2) CARICO TRIANGOLARE (triangolare)
Per comodità sostituire il carico distribuito con un
per via dell'area del
inviato a
3) CARICO TRAPEZOIDALE
Per il calcolo delle reazioni vincolari, ci si sostituisce il carico distribuito con una forza concentrata di intensità pari all'area del diagramma di carico e posta nel baricentro del diagramma stessa.
Questa soluzione è lecita:
- solo per il calcolo delle reazioni vincolari.
- per quali agenti se caricano parte della struttura.
Travi Rigide
Trave: solido generato dalla traslazione di una figura piana, detta sezione
a sezione piana retta, che si muove nello spazio mantenendo
ortogonale alla traiettoria descritta dal suo baricentro (asse della trave).
- 1) Azioni esternamente variabili
- 2) Lunghezza dell’asse della trave molto maggiore di uno dei diametri max della sezione
Trave snella
Approssimabile corpo monodimensionale
Azioni interne
Obbiettivo: determinare le forze e i momenti che si generano all’interno della trave a causa dei carichi esterni
Reazioni vincolari
Consideriamo trave in equilibrio
Esecuzione in stato generico,
Separiamo i 2 conci
Per generare l’equilibrio di ciascuna parte nella sezione di taglio devono essere:
- R(S), M(S), R(S): Azioni interne
Caratteristiche della sollecitazione interna
Sx
N(z)=0
T(z) = Fb
G(z)
M(z) = Fb z
A z=0 -> M=0
C z=∞ -> M=Fb a
∆z
Trozo C.B.: (Taglio alzila della foresa)
Disaggiorni:
- N
- T
- M (1 z)
A C B
Disudolinta o Scalto
Fb F (1-a)
Cuspide o Punto annualoso
2) TRAVE APPOGGE CON CARIRO DISTRIBUITO UNIFORME
A B
P (p/L)
Sx
p/L T(1)
M(z)=p/2 z
Proprietà
- I valori delle azioni interne alle estremità sono pari alle forze concentrante applicate (caso cerniera).
NB = q
TB = p
Mi = f
MNi = p
(2) (2) (3) (4)
Nel pto in cui T=0 il momento assume un pto di stazionario (max/min)
Regola del file
Ribaltamento al nodo
- T=0 in tutto un tratto ➔ M cost. in tutto il tratto
- p=0 ➔ T cost. ➔ M è lineare
- p≠0 ➔ T è lineare ➔ M è parabolico
Geometria delle Masse
Def. Sistema discreto di masse
è un insieme di pti Pi, i = 1, ..., N nello spazio a cui viene associato un numero positivo m (massa).
Def. Sistema continuo di massa
una regione V dello spazio su cui è definita una funzione μ: V ➔ R+ t.c. dm = μ dV
- μ densità volumetrica di massa
M = ∫V μ dV
Massa Totale
Caso piano
Figura piana
μ=1 M=∫A dA
Area
asse trasverso dell'equilibrio sul piano (valori misurati su asse) si supponga μ=1
Momenti statici
- (c.d. i silenzio) ➔ sono proprietà geometriche
- Sy = ∫A xj dA
- Sz = ∫A yj dA
➔ il momento statico rispetto retta I
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