Appunti delle lezioni, Scienza delle costruzioni

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Tutti gli appunti presi durante le lezioni del corso di Scienza delle costruzioni tenuto dal professor Michele Serpilli.Presenti gli appunti di tutte le lezioni, nessuna esclusa. Utilissimi per …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Serpilli Michele

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2012-2013

120 pagine

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Estratto del documento

Richiami Calcolo Vettoriale

Spazio vettoriale = R³

base i, j, k → sistema di riferimento (O, x, y, z) Vettore entità matematica

Intensità, Modulo
Direzione
Verso

Componenti di un vettore rispetto i, j, k v = v₁i + v₂j + v₃k

opposto -v =

[-v₁]
[-v₂]
[-v₃]

|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) Modulo di v

Operazioni

(1) Vettore somma o risultante

Dati i vettori a e b si definisce il vettore somma s = a + b il vettore ottenuto costruendo la diagonale del parallelogramma individuato da a e b

s = a + b =

[a₁ + b₁]
[a₂ + b₂]
[a₃ + b₃]

Proprietà della somma

a + b = b + a Commutativa
(a + b) + c = a + (b + c) Associativa

- Vettore nullo 0 v + 0 = v - Vettore opposto di v w, w + v = 0 → w - v = v

(2) Prodotto scalare

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ∈ R

Proprietà del pr. sc

- a ⋅ b = |a| |b| cosθ

Richiami Calcolo Vettoriale

Spazio vettoriale = R³

base {i, j, k} -> sistema di riferimento (0, x, y, z)

VETTORE: ente matematico

INTENSITA' - MODULO
DIREZIONE
VERSO

Componenti di un vettore rispetto {i, j, k}

a = a₁ i + a₂ j + a₃ k

oppure a = |a₁|

|a₂|

|a₃|

|a| = √ (a₁² + a₂² + a₃²) MODULO di a

Operazioni:

(1) VETTORE SOMMA o RISULTANTE: dati i vettori a e b si definisce il vettoresomma s = a + b il vettore ottenuto costruendo la diagonale del parallelogrammaindividuato da a e b

s = a + b = |a₁ + b₁|

|a₂ + b₂|

|a₃ + b₃|

Proprietà della somma

a + b = b + a COMMMUTATIVA
(a + b) + c = a + (b + c) ASSOCIATIVA
VETTORE NULLO 0 a + 0 = a
VETTORE OPPOSTO di a ω a + ω = 0 -> a - a = 0

(2) PRODOTTO SCALARE

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ ∈ R

Proprietà del pr.sc.

a · b = |a||b|cosθ

-Se a × b sono ortogonali θ=90° → a · b = 0

(Condiz. di ortogonalità)

-α ∈ ℝ α(a,b) = (α a) · b = a · (α b)

-a · b = b · a (Commutativa)

-(a + c) · b = a · b + c · b e (a + b) · c = a · c + b · c (Distributiva)

-a · a = |a|² → |a| = √(a · a)

(3) Prodotto Vettoriale

a × b = c ∈ ℝ³ (vettore)

Proprietà del Pr. Vet.

-Componenti di c → c = a × b

c = det

i j k

a₁ a₂

b₁ b₂

= +i (a₂b₃ − a₃b₂) − j (a₁b₃ − a₃b₁) + k (a₁b₂ − a₂b₁)

-Modulo |c| = |a × b| = |a||b|sinθ

-Se a e b sono paralleli (θ = 0) → c = 0 → a × b = 0

-Direzione e Verso

c = c × a

c = c × b

Regola Mano Destra: pollice (a), indice (b) → medio (c)

-c ≠ b × a → prod. vett. non commutativo

Regola Cavatappi (con mano destra: sovrappongo a con b → c verso del pollice

-i × j = k

j × k = i

k × i = j

Cinematica del Corpo Rigido

Parte della meccanica che studia spostamenti e

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