Lezioni di Meccanica applicata

ESERCIZIO PANIERE

Lezione 46

PROPORZIONAMENTO MODULARE

Proporzionamento dei denti

Si distinguono:

• ruote normali, nelle quali la sporgenza e la rientranza dei denti, uguali per le due ruote

coniugate, hanno valori normalizzati;

• ruote corrette, nelle quali la sporgenza e la rientranza sono in generale diverse per le due

ruote coniugate e comunque non hanno valori normalizzati.

Ruote normali o modulari

Passando a considerare le ruote normali, il loro dimensionamento è basato su una grandezza

chiamata modulo m della dentatura:

l’unità di misura del modulo sono i millimetri

Il proporzionamento modulare bilancia le opposte esigenze di avere denti alti per la continuità della

trasmissione e bassi per ridurre gli strisciamenti; pertanto assume:

Addendum � = �; Dedendum d= 1.25�

Raggio al piede �� = 0.25m

La larghezza di dentatura B varia solitamente tra 5 m e 40 m.

L’angolo di pressione è correlato al minimo numero di denti (per cui sarebbe opportuno

assumesse valori elevati) ed agli sforzi radiali sui cuscinetti (per cui sarebbero preferibili valori bassi):

esso vale solitamente 20°.

Affinché si abbia continuità nella trasmissione, occorre che l’arco d’azione sia maggiore del passo

(condizione sempre verificata). Le condizioni di non interferenza impongono restrizioni maggiori;

infatti, porre un limite superiore alla lunghezza del raggio di testa significa limitare il modulo e

quindi, fissata la circonferenza primitiva, porre un limite inferiore al numero di denti.

Nel caso di proporzionamento modulare di ruote esterne, si ottiene:

che nel caso di accoppiamento con dentiera (il caso più sfavorevole) diventa:

Lezione 47

RUOTE DENTATE CILINDRICHE ELICOIDALI, RUOTE CONICHE, RUOTE CON ASSI SGHEMBI

Ruote dentare cilindriche elicoidali

Questo tipo di ruote si usa per i loro pregi:

Silenziosità e dolcezza di funzionamento

- Maggiore rigidezza dei denti

- Possibilità di ridurre l’arco di azione senza compromettere la continuità della trasmissione

-

Oltre al profilo trasversale, vengono introdotti i profili normale ed assiale, definiti rispetto alle

proiezioni sui piani corrispondenti.co La superficie attiva dei denti diritti può essere generata dalla

linea l rappresentata in figura, durante il rotolamento del

piano m sul cilindro base o fondamentale di raggio rb

Se si considera, invece, la retta l1 inclinata di β sulla

generatrice di contatto, il luogo l dei punti di tangenza

appartenenti a tale linea descrive un’elica chiamata elica base

o fondamentale: la superficie attiva delle dentature elicoidali

S risulta essere la superficie rigata luogo delle tangenti

all’elica del cilindro rb di inclinazione β. Pertanto, come per le

ruote a denti dritti, anche per le ruote cilindriche elicoidali il

contatto tra i denti è lineare. Anche in questo caso la

superficie della dentiera è piana.

Il passo pz dell’elica fondamentale è legato all’inclinazione β di tale elica dalla relazione:

Il punto dell’asse di simmetria del profilo normale, che

appartiene al cilindro primitivo, si avvolge lungo un’elica

che è chiamata asse-dente: il passo pz di tale elica è lo

stesso dell’elica fondamentale ed è legato alla sua

inclinazione α (detta anche angolo d’elica) sulle generatrici

del cilindro primitivo dalla:

INGRANAGGI AD ASSI CONCORRENTI

Se gli assi delle due ruote sono concorrenti ed i relativi coni hanno vertice comune O, tale punto

rimane fisso durante il moto relativo di una ruota rispetto all’altra, generando un moto sferico la cui

legge è: Dove P, O1 sono punti generici, mentre O è un punto fisso.

Se si indica con B il sistema solidale al sistema di riferimento del moto, il luogo delle rette di B che

nei successivi istanti diventano asse della rotazione istantanea è un cono fisso nel moto relativo a B,

che prende il nome di cono polare fisso, mentre il luogo delle rette del membro mobile A, che nei

successivi istanti vanno a coincidere con le generatrici del cono fisso, che sono assi di istantanea

rotazione, è un cono mobile, che prende il nome di cono polare mobile; i due coni polari, fisso e

mobile, si toccano in ogni istante lungo la generatrice, che è asse della rotazione istantanea, ed il

cono mobile rotola senza strisciare sopra quello fisso

L’intersezione del cono polare fisso con la sfera del moto è chiamata erpoloide, mentre

l’intersezione del cono polare mobile è la cosiddetta poloide: anche poloide ed erpoloide sono

tangenti tra loro in C e la poloide rotola senza strisciare sull’erpoloide.

Ruote coniche a denti dritti

Le definizioni geometriche relative alle ruote coniche sono evidenti dai disegni seguenti. La

circonferenza primitiva è l’intersezione del cono primitivo con il cono complementare (esterno): il

suo diametro è chiamato diametro primitivo D.

Analogamente sono definite la circonferenza di testa e quella di piede ed i loro diametri. Anche

l’addendum (ha) ed il dedendum (hf) (e quindi l’altezza h dei denti) sono misurati lungo una

generatrice del cono complementare: sono definiti anche l’angolo di addendum e quello di

dedendum Anche per le ruote coniche sono definiti l’angolo di

pressione (fra la tangente al profilo e la normale al

cono primitivo di riferimento nel punto di intersezione

con la circonferenza primitiva), il passo p, il modulo

m, ecc. Se l’angolo primitivo (di riferimento) è pari

a π/2, la ruota si dice piano-conica; se poi gli angoli di

testa e di piede sono anch’essi pari a π/2, la ruota si

dice frontale.

La legge del moto trasmessa dalla ruota 1 alla ruota 2,

cioè il rapporto di trasmissione, è definita dalla

relazione:

dove sono le semiaperture dei coni relativi

alle superfici primitive.

il rapporto di trasmissione nelle ruote coniche a denti dritti non

N.B mail del docente:

è costante al variare del numero dei denti, dato che dipende dal rapporto di z1 e z2.

Il numero dei denti può anche variare, ma il loro rapporto deve rimanere lo stesso

affinché il rapporto di trasmissione resti invariato. Per dire, entrambe le ruote

possono avere il doppio dei denti.

INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI

Se gli assi delle due ruote sono sghembi, le ruote possono presentare varie realizzazioni costruttive,

tra cui le più comuni sono:

gli ingranaggi a vite

- quelli ipoidi

-

In queste condizioni il moto relativo di una ruota rispetto all’altra è un moto generale, le cui

primitive sono iperboloidi rigati.

Legge del moto: Dove P, O1 sono punti generici.

Ingranaggio ipoidale L'ingranaggio ipoidale presenta numerosi vantaggi rispetto all'ingranaggio

conico a denti obliqui, che lo fanno preferire a quest'ultimo, specie quando i

carichi sono notevoli e le velocità elevate.

Vantaggi:

Maggiore libertà per il progettista, esso infatti non è più vincolato

-

alla condizione di complanarità degli assi delle ruote.

Possibilità di sostenere entrambe le ruote su due appoggi collocati

-

da parti opposte rispetto alle ruote stesse

Minore ingombro di un ingranaggio conico a denti obliqui a parità di coppia trasmessa

-

L'ingranaggio ipoide si presta a trasmettere potenze abbastanza elevate ma è di uso frequente solo

nell'industria automobilistica e si presenta solitamente con assi (delle due ruote) ortogonali.

Ingranaggio elicoidale incrociato

L'impiego di ingranaggi sghembi elicoidali è relativamente raro e quasi

sempre limitato alla trasmissione del moto fra ruote con un numero di denti

non molto diverso e con angolo fra gli assi pari a π/2. L'essere il contatto

teoricamente puntiforme limita infatti l'impiego di queste ruote ai casi in cui

le forze in gioco sono relativamente modeste.

Ingranaggio a vite senza fine

Il maggior difetto degli ingranaggi a vite è il loro modesto rendimento, inferiore a quello di un treno

equivalente di ingranaggi cilindrici.

L'ingranaggio a vite si presta bene a trasmettere potenze notevoli in relazione al suo ingombro

modesto.

I materiali di cui è costituita la coppia (di solito acciaio cementato, temprato e rettificato per la vite,

e bronzo fosforoso per la ruota a vite) devono però essere di elevata qualità e le tolleranze di

fabbricazione assai ridotte.

L'ingranaggio a vite deve inoltre essere montato con cura, in modo da avere elevata rigidezza e

corretto posizionamento relativo tra vite e ruota a vite.

Tale ingranaggio è caratterizzato da basso rendimento (<0.75).

Una vite si dice ad un solo principio se il passo pz dell’elicoide è uguale al passo assiale; si dice a z

principi se:

Il rapporto di trasmissione vite-ruota è:

La velocità tangenziale della ruota è:

Ruote iperboloidiche

Le ruote iperboloidiche, nonostante presentino i vantaggi di consentire la trasmissione del moto

rotatorio tra assi sghembi con contatti lineari tra i fianchi e minimo strisciamento (lungo l’asse

elicoidale) in realtà non sono applicate industrialmente per la difficoltà della loro costruzione

Lezione 48

LA SCOMPOSIZIONE DELLE FORZE NEI ROTISMI ORDINARI

Le forze di contatto che due ruote dentate in presa si scambiano

dipendono dal numero di coppie di denti in ingranamento, dal punto

attuale di contatto sulla retta d’azione e dal rendimento della

trasmissione. Con ottima approssimazione si può immaginare una sola

coppia di denti in presa e ci si può riferire ad un contatto privo di attrito

nel punto C di tangenza delle rispettive circonferenze primitive.

Perché sia possibile la trasmissione del moto, ogni

albero recante una o più ruote deve essere

vincolato radialmente e assialmente in modo che

le reazioni opposte da tali vincoli soddisfino le

equazioni cardinali della statica.

Nell’ipotesi di assenza di attrito, la potenza trasmessa dalla i-esima ruota di una trasmissione si può

scrivere:

Ruote cilindriche a denti diritti con profilo ad evolvente

Per le proprietà geometriche dell’evolvente il contatto tra i profili

coniugati dei denti avviene lungo la retta d’azione che è tangente a

entrambe le circonferenze di base e passa per il punto di tangenza C delle

circonferenze primitive. L’angolo formato con la tangente comune alle

primitive per il punto di contatto è detto angolo di pressione θ e

solitamente vale 20°. Le forze di contatto tra denti sono dirette come la

retta d’azione e hanno quindi componente tangenziale e radiale da

contrastare con l’adozione di cuscinetti portanti.

RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI CON PROFILO AD EVOLVENTE

Si ta