Lezioni, Ingegneria Delle Radiofrequenze

INGEGNERIA DELLE RADIOFREQUENZE

LINEA DI TRASMISSIONE IDEALE

COMPONENTE ELETTRONICO PER TRASPORTARE SEGNALI ED ENERGIA SU GRANDI DISTANZE

IDEALMENTE PUÒ ESSERE MODELATA AGGIUNGENDO UN INDUTTORE ED UN CONDENSATORE.

LA CADUTA DI TENSIONE IN UN TRATTO dℓ

_∂V/_∂z = -L _∂I/_∂t

_∂²I/_∂z² = LC _∂V/_∂t

VARIAZIONE DI CORRENTE IN UN TRATTO dℓ

_∂I/_∂z = -C _∂V/_∂t

_∂²V/_∂z² = LC _∂²V/_∂t²

LA SOLUZIONE DI QUESTE EQUAZIONI

V = F⁺(t - _z/v) + F^-(t + _z/v)

PROPAGAZIONE LUNGO IL VERSO POSITIVO

PROPAGAZIONE LUNGO IL VERSO NEGATIVO

I = 1/Z₀ [F⁺(t - _z/v) + F^-(t + _z/v)]

Z₀ = IMPEDENZA CARATTERISTICA DELLA LINEA [Ω]

Z₀ = L√C = ^L/_√C

RAPPORTO DEI MODULI DELLA TENSIONE E DELLA CORRENTE CHE SI PROPAGANO LUNGO LA LINEA IN ASSENZA DI RIFLESSIONI

LINEA CHIUSA SU UN CARICO RESISTIVO

V(z) = V⁺ e^-jβz + V^- e^jβz

I(z) = V⁺/_Z0 e^-jβz - V^-/_Z0 e^jβz

SI PUÒ NOTARE CHE IN z = 0

V_L = V(0) = V⁺ + V^-

I_L = I(0) = I⁺ - I^-

β = k_z = 2π/λ

COSTANTE DI PROPAGAZIONE

COMPONENTE LUNGO LA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DEL VETTORE D'ONDA k.

Γ = V^- / V⁺ = (_{RL - Z0}) / (_{RL + Z0})

COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE

IL RAPPORTO FRA L'AMPIEZZA DELL'ONDA RIFLESSA E QUELLA DELL'ONDA INCIDENTE

= V_L / V⁺ = 2R_L / (R_L + Z₀)

COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE

IL RAPPORTO FRA L'AMPIEZZA DELL'ONDA TRASMESSA E QUELLA DELL'ONDA INCIDENTE

ASSUMENDO CHE LA LINEA SIA CHIUSA SU UN CARICO DI IMPEDENZA GENERICA

L'IMPEDENZA DI INGRESSO

SI DETERMINA DALLA LEGGE:

POTENZA INCIENTE E RIFLESSA

LA POTENZA DISPONIBILE SUL CARICO E' ESPRESSA

ROS (RAPPORTO ONDA STAZIONARIA) UNA MISURA DEL DISADATTAMENTO DI IMPEDENZA

TRA LA LINEA DI TRASMISSIONE E IL SUO CARICO

E' DATO DAL RAPPORTO TRA I VALORI DI TENSIONE

MASSIMA E MINIMA DI UN ONDA STAZIONARIA

CHIARAMENTE NEL CASO DI RIFLESSIONE TOTALE

RIFLESSIONE NULLA

SE DUNQUE IL CARICO NON VIENE ADATTATO ALLA LINEA DI TRASMISSIONE

PARTE DELLA POTENZA INCIENTE VIENE RIFLESSA.

SE     E' LA POTENZA INCIENTE

POTENZA RIFLESSA

Adattamento a singolo stub

Un altro modo per adattare un carico alla linea è quello di usare uno stub:

poi può essere connesso sia in serie che in parallelo, si hanno 4 possibili configurazioni:

• Stub serie corto circuito
• Stub serie circuito aperto
• Stub parallelo circuito aperto
• Stub parallelo corto circuito

Per lo stub in serie si lavora con le impedenze

Per lo stub in parallelo si lavora con le ammettenze

Per progettare uno stub in serie considerando un generico carico

Occorre dimensionare in modo opportuno i valori di:

• d = distanza stub-carico
• l = lunghezza stub

Il valore d deve essere scelto in modo tale che l'impedenza Z₂ = r + jX_L

Per θ = 0, 1, 2, 11,... si ha

Da cui si ricava il rapporto tra il coefficiente di

riflessione massimo e quello massimo in banda

La progettazione di un trasformatore di Chebychev consiste nel

1. determinare il numero di sezioni necessarie a soddisfare la specifica su ρ_m
2. determinare i valori delle impedenze di ciascuna sezione (per via analitica o tramite tabelle)

Trasformatori a variazione continua

Nei trasformatori a variazione continua l'impedenza varia in modo continuo. In questo modo si riesce a raggiungere il valore ρ_m con una lunghezza l minore rispetto al caso di multisezione

LA GUIDA ONDA HA UNA STRUTTURA ASSIMETRICA CILINDRICA (IL CAMPO HA UN ANDAMENTO SIMILE IN TUTTE LE SEZIONI DELLA GUIDA).

QUESTA PROPRIETÀ PUÒ ESSERE ESPRESSA MEDIANTE LA TECNICA DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI.

È POSSIBILE CIOÈ SPEZZARE A_z FUNZIONE POTENZIALE A_z NEL PRODOTTO DI 2 FUNZIONI: Z(z) CHE DIPENDE DALLA VARIABILE LUNGO LA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE + T(x, y) CHE DIPENDE SOLO DALLE COORDINATE TRASVERSE x, y SE SIAMO IN COORD. CARTESIANE, ρ, θ SE SIAMO IN COORD. CILINDRICHE.

A_z(x, y, z) = T(x, y). Z(z) E = Z(z)T(x, y)

DALL' EQ. DI HELMHOLTZ △_⊥2T A+ 1/Z d² A_z/dz² + k_⊥²A_z = 0 ⇒ ∇T + d²Z/dz² T + k²Z T = 0

DIVIDENDO PER zT

ESSENDO I 2 ADDENDI INDEPENDENTI ED ESSENDO LA LORO SOMMA PARI AD UNA COSTANTE (- k²) ANCH'ESSI DEBBONO ESSERE UNA COSTANTE

1) ∇_⊥T/T + k^_⊥2 = 0

2) 1/Z d²Z/dz² + k^_z2 = 0

K_⊥ E K_z NON SI SCELGONO ARBITRARIAMENTE, ESSI SONO STRETTAMENTE LEGATI A K DALLA CONDIZIONE DI SEPARABILITÀ:

K^_⊥2 + K_z² = K² = ω² με

NUMERO D'ONDA K = 2π/l = 2π/c = ω/c = ω√με

MODI DI UNA GUIDA

LA PRIMA DELLE 2 EQ. DIFFERENZIALI (1) DIPENDE DALLA FORMA DELLA GUIDA E DALLE CONDIZIONI AL CONTORNO. ESSA AMMETTE SOLUZIONI NON BANALI IN CORRISPONDENZA DEGLI AUTOVALORI DI K_^⊥. LE CORRISPONDENTI SOLUZIONI T SONO DETTE AUTOFUNZIONI.

I CAMPI ELETTROMAGNETICI CORRISPONDENTI AD OGNI AUTOVALORE E AD OGNI AUTOFUNZIONE SONO I MODI DELLA GUIDA.

A PARTIRE DA K_^⊥ E K_z POSSIAMO ESPLICITARE U FUNZIONE CHE DIPENDE DALLA COORDINATA Z.

Z(z) = C₃ e^{-jk_z z} + C₂ e^{+jk_z z}

QUINDI I 2 POTENZIALI VETTORI

A_z(x, y, z) = T(x, y). Z(z) = T(x, y) (C₁ e^{-jk_z z} + C₂ e^{+jk_z z})

F_z(x, y, z) = T(x, y). Z(z) = T(x, y) (C₁ e^{-jk_z z} + C₂ e^{+jk_z z})

GUIDA RETTANGOLARE

Consideriamo una guida d'onda rettangolare ideale. Sappiamo che in essa non può propagarsi il modo TEM.

Per ricavare le espressioni del potenziale e dei campi che si propagano nella guida andiamo a risolvere l'eq. di Helmholtz:

∆_t² + k_t² T = 0

Applicando il metodo di separazione delle variabili al potenziale T(x,y)

T(x,y) = X(x)Y(y)

Si può scrivere

∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + k_t²T = 0

Scrivo T come prodotto tra X e Y ed estraggo Y se derivo su X e viceversa

Y∂²X/∂x² + X∂²Y/∂y² + k_t XY = 0

Divido tutto per XY

1/X ∂²X/∂x² + 1/Y ∂²Y/∂y² + k_t² = 0

Questa la si può spezzare

d²X/dx² + k_x²X = 0

d²Y/dy² + k_y²Y = 0

con k_t² = k_x² + k_y²

Per cui, dal metodo di separazione delle variabili, la soluzione per il potenziale T(x,y) è data dal prodotto tra X(x) e Y(y).

T(x,y) = X(x)Y(y) = (C₁ sen k_xx + C₂ cos k_xx)(D₁ sen k_yy + D₂ cos k_yy)

Occorre, ora, imporre le condizioni al contorno. Poichè tali condizioni cambiano a seconda del modo (TE o TM) che si propaga nella guida occorre dividere i 2 casi.

MODI TM

Come si è visto le condizioni al contorno per i modi TM impongono che il potenziale T sia nullo sulla superficie della guida.

Quindi

T(x,y)_TM = 0 | x=0 x=a y=0 y=b