Lezioni e teoremi, Analisi matematica

Discontinuità

I specie

_salto

Teorema Bolzano-Weierstrass

Ogni sottoinsieme X infinito e limitato della retta numerica è dotato di almeno un punto di accumulazione.

X_o∊X∩ℝ si dice punto isolato.

I specie

• lim_x→x0- f(x) = e1
• lim_x→x0+ f(x) = e2

e1 ≠ e2

salto della f(x)

II specie

Almeno uno dei due limiti o non esiste oppure è infinito

III specie

∃ lim f(x)

• lim_x→x0 f(x) ≠ f(x0)

Analisi 1 - Teoria

Funzioni iniettive

Una funzione f: X ⊆ S → T si dice una funzione di X su tutto T → anche una funzione suriettiva, se il codominio della funzione f(X) coincide con T: se ogni elemento di Y di T è corrispondente per mezzo di f di almeno un elemento x di X.

Funzione lineare

f(x)=ax+b ∀ x ∈ X

Valore Ass.

f(x) = |x| ∀ x ∈ R

f(x) = x² pari

f(x) = 1/x dispari

f_e potenza

f_i potenza

f_e radice

f^x PARI

f^x dispari

∈∈ (h⇒_n ≤ f(x)_n≤ g(x) ∈ et ∈

f([x) ⇒ e([ε ⇒ f(x))

Cerceron di noi ceere;

Una funzione certo c in [a;b] che riesce valori

di segno opposto negi estremi si annulla in almeno un

punto ad esso interno

Dim

f(a) < 0 sic e estremo sup. x ∈ (a;b]ᴸ Ай f(a) < 0

f(b) > 0

Esendo f continua in [a;b] per 1 p sopno c ≠ a

c ≠lo b

C ∈ c ;b (f(c)<0 Idx(i)

f(£)o (J=£)

⇒ f(c)=0

Teseme Vel fit:

funzione continua in [a;b] chiuso e ciimitato asusme

tutti i volari compresi tra f(a) ed f(b)

• f(a) ? f(b) th: ∨yo ∈ f(a); f(x)

∃xo ∈ [a;b] f(xo)=yo.

Esendo f(a)<yo &lo; f(b)⇒ g(a=) =f(a)-yo<0

g(b)= (f(b) >0)

per terorema degli wci ∃xo ∈ (a;b)⇒g(xo)=0

f(x)=yo

∀ N m∃ N≼ц

∃ x ∈ (c ; b) f(x)=v

T. Cauchy

Se f e g due funzioni reali continue nell'intervallo chiuso [a,b], esiste c interno (a,b]

f(b)-f(a) = f(c)

g(a) ≠ g(b)

g'(c) ≠ 0

∀ x ∈ (a;b)

f(x)-f(x₁) - λ [g(b)-g(a)] = g(x₁) · [f(b)-f(a)]

f(a) = f(a₁) - g(b) - g(a) · f(b) - f(a)

F(c) = 0 = f(c) - [g(b)-g(a)] - g(c) - f(b) - f(a) = 0

g(b) ≠ g(a) dividiamo per g^'(c) · [g(b)-g(a)]

f(c) - [g(b)-g(a)] - g(c) · f(b) - f(a) = 0

f(c)

g'(c) · [g(b)-g(a)]

f(c) − f(b) − f(a)·0

∫_a^bfs

∫_a^b f ◦ γ(t) ))| γ'(t)| dt

int. è indipendente

(Teorema)

W = ∫ a^b [X(x(t),y(t))dx + Y(x(t),y(t))dy]

Campo Conservativo

Se e solo se ω = a(x,y,z)dx + b(x,y,z)dy + c(x,y,z)dz è esatto

IRROTazionale

F = Aî + Bĵ + Ĉk̂ è irrotazionale ⟺ ω = a(x,y,z)dx + b(x,y,z)dy + c(x,y,z)dz è chiusa

Se ∂X/∂y = ∂Y/∂x

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale

y' = f(x,y)

Fissati x₀, y₀ ∈ ℝ: supponiamo che f def in T×J rettangolare

del punto (x₀,y₀) ∈ ℝ

|x - x₀| ≤ a, |x - x₀| ≤ x, |y - y₀| ≤ b, f b > 0

I = {x ∈ ℝ | |x - x₀| ≤ a}, J = {y ∈ ℝ | |y - y₀| ≤ b}

f(x,y) continua in I × J

|f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L/|y₁ - y₂| ∀ x ∈ I ∀ y₁, y₂ ∈ J

Th. ∃ δ > 0, ε > 0 ∃! una e una sola y(x) derivabile in [x₀ - δ; x₀ + δ] |

{ y' = f(x,y)

{ y(x₀) = y₀