Lezioni e appunti di Scienza delle Costruzioni 2

POLITECNICO DI TORINO

Docenti:

Proff. Bernardino Chiaia, Giuseppe Ferro

Appunti di

Scienza delle Costruzioni 2

Je parabera fondamentale è la deformabilità sia nel nº di forze che nel nº di spostamenti.

Rigidità = capacità di una struttura di opporsi a un certo spostamento

W = _F/_K (rigidità delle molle)

Nel caso di pilastro:

ε = _N/_EA

Sistema di bielle in parallelo

Sistema simmetrico caricato simmetricamente

Deformazione simmetrica

δ = parametro cinematico (incognito)

δ_i = _Xili/_LiAi = δ (eq. di congruenza)

F = Σ_i=1ⁿ X_i (eq. di equilibrio)

Le aste più lunghe sono meno rigide

Quanto carico si prende ogni asta?

d²v/dz² = -M/EI

dv/dz⁴ = q/EI

dψ/dz = χ = -M/EI

N.B.: Controllare tutte le direzioni d'inerzia.

K_i = (c_it_i + Σl_j) / l_i

rigidezza flessionale dell'asta

Dipende dai vincoli

c = 4 in caso di incastro

rigidezza flessionale di

s.s. incastrata è K = 4EI/l

par. 13.5 sul libro

c = 3 in caso di asta incernierata

K = 3EI/c

c = 4 in caso di asta vincolata

con doppio pendolo: k = EI/c

X_i = k φ => X_i=c_iE_il_i/l_i φ

m = Σ(c_iE_iI_i/l_i) φ_i

CALCOLO AUTOMATICO DEI TELAI

Telai: strutture piane o spaziali formate da elementi monodimensionali. Introdotti a partire dal 1820-30, in ausilio alla rivoluzione industriale e all'utilizzo di marmo e acciaio. Sfruttano il materiale a trazione.

Molti gradi di iperstaticità

Nodi incastro: 3 parametri cinematici - 2 traslazioni, 1 rotazione

Nodi cerniera: 2 + n dove (n = aste) - 2 traslazioni, n rotazioni

Nodi misti: (n = aste in cerniera) 3 + n - 2 traslazioni, n rotazioni

Procedimento

1. Numerare i nodi (criterio di minima distanza numerica)
2. Assegnare riferimenti locali alle travi (traslati rispetto al riferimento globale)
3. Isolare le travi (con carichi di competenza)
4. Imporre gli spostamenti generalizzati ai nodi

ASSEMBLAGGIO

1)_ROTAZIONE:

rif. locale -> rif. globale

Sistema di tutte le travi.

⁽¹⁾ Espansione

[x_e] [δ_e] = [Q_e^x] + [F_e^x]

6x6 6x1 6x1

dim. locale -> di misura globale

6x6 n x n

3) Somma delle rotazioni di tutte le travi.

1)_ROTAZIONE

SR locale y^*z^* -> SR. GLOBALE YZ

Nel piano la rotazione si conserva.

[N] =

• 1 0 0 0 0 0
• 0 cosθ sinθ 0 0 0
• 0 -sinθ cosθ 0 0 0
• 0 0 0 1 0 0
• 0 0 0 0 cosθ sinθ
• 0 0 0 0 -sinθ cosθ

{δ_e^*} = [N]{δ_e}

{Q_e^*} = [N]{Q_e}

{F_e^*} = [N]{F_e}

Dalla [1]...

[k_e]^*[N]{δ_e} = [N]([{Q_e^*} + {F_e}])

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Dalle relazioni matriciali si ha:

{F_V} = [K_VV] {δ_L} + [K_VV] {δ_V}

si possono quindi calcolare le:

REAZIONI NODALI EFFETTIVE SUI VINCOLI ESTERNI

{Q_V} = {F_V} - {F_V⁰}

VETTORE FORZE NODALI SU NODI VINCOLATI

VETTORE FORZE NODALI EQUIVALENTI AL CARICO ESTERNO SU NODI VINCOLATI

Una volta noti i {δ_L} si determinano applicando per ciascuna trave la relazione matriciale le reazioni interne e quindi i diagrammi delle caratteristiche:

| M_i | | 4/e -6/e² 0 2/e -6/e² 0 | | q_i | | M_i⁰ | | T_i | |-6/e² -12/e³ 0 -6/e² -12/e³ 0 | * | ν_i | - | T_i⁰ =⁰ | | N_i | | 0 0 -A/I_L 0 0 -A/I_L | * | u_i | - | N_i⁰ | | M_j| | 2/e -6/e² 0 4/e 6/e² 0 | | φ_i | - | M_j⁰ | | T_j | | -6/e² -12/e³ 0 6/e² 12/e³ 0 | | ν_j | - | T_j⁰ | | N_j | | 0 0 -A/I_L 0 0 A/I_L| * | w_j | - | N_j⁰ |

(sono nodi)

Piastre come grigliato fatto da strisce.

TELAI SPAZIALI

È conveniente numerare le strutture in 3D.

6 gdl x nodo

[k] è 12 x 12(con le rigidezze torsionali).

Esercizio con il prof. Einaia

3 ip.È simmetrico caricato simmetricamente; è possibile studiare solo metà struttura con l'inserimento di un carrello sulle asse di simmetria.Il grado di iperstaticità si riduce a 1.

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16/10/2013

S.d.C II

Lezione 3, Settimana 3

TELAI A NODI SPOSTABILI

Spostamenti dei nodi, nonostante rigida l’ipotesi di rigidezza estensionale infinita.

Procedura di soluzione:

La struttura reticolare associata risulta labile.

Oltre ai movimenti (forzate), risolveranno incognite anche degli spostamenti. Scriviamo:

• n equazioni di congruenza = n incognite (forze);
• n equazioni di equilibrio = n incognite (spostamenti).

ES 1: Portale zoppo

N.B.: Cinematica linearizzata: tan φ ≈ φ

N.B.2: Avrei potuto considerare "y" del traverso.

Con questo metodo abbiamo informazioni sugli spostamenti e sulla deformata.

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nel traverso

N è pari al taglio dei angoli

nel pilastro di destra (in valore assoluto).

Curve delle pressioni; due rette:

• AB, retta e {inclinati}
• BD, retta è {inclinati}

Il polo è il punto di annullamento del momento flettente, nonché il flesso della deformata elastica.

Strutture Ottimale

Strutture che minimizzano l'uso di materiale.

max neg.

max pos.

Nelle strutture a nodi fissi il massimo positivo si "sposta" verso le parti meno rigide. Viceversa per il massimo negativo.

Caso 2

Caso 3

Se BC è corta -> S1

Se fosse

Con campate corte al centro e lunghe adiacenti: M non raggiunge posizioni tra B e C