Lezioni e appunti di Scienza delle Costruzioni 2

Politecnico di Torino

Docenti

Proff. Bernardino Chiaia, Giuseppe Ferro

Appunti di Scienza delle Costruzioni 2

Concetti fondamentali

Le parametro fondamentale è la deformabilità sia nel ^no di forze che nel ^no di spostamenti.

Rigidità

Rigidità = capacità di una struttura di opporsi a un certo spostamento.

W = F/K, rigidezza della molla

Nel caso di pilastro

ε = _N/_EA

Sistema di bielle in parallelo

Sistema simmetrico caricato simmetricamente, deformazione simmetrica:

δ = parametro cinematico (incognita)

δ_i = _{Xi li}/_EiAi = δ eq. di congruenza

F = Σ_i=1ⁿX_i eq. di equilibrio

Carico sulle aste

Le aste più lunghe sono meno rigide. Quanto carico si prende ogni asta?

Obiettivo: ricavare le X_i incognite iperstatiche (n-z volte iperstatico)

Equilibrio: F = ∑_i=1ⁿ X_i

Equazioni per l'incognita

Per far comparire l'incognita ⇒ δ = ^X/_K

Dall'eq. di congruenza: X_i = ^E_iA_iδ_i/_li nell'equil. ⇒ F = ∑_i^{n E_iA_i}/_li δ_i

Risoluzione delle incognite

Si ricava l'incognita cinematica δ = ^F/_ΣEiAi = ^F/_ΣKi = ^F/_K → è l'equazione risolvente.

Nota δ si possono ricavare le incognite iperstatiche: X_i = ^E_iA_i/_li ^F/_K = F ^K_i/_K

Rigidezza totale

k = rigidezza totale (somma delle K_i parziali)

k_i = rigidezza dell'i-esima trave

^K_i/_K = coefficiente di ripartizione (frazione di carico sull'elemento i)

⇒ Quando elementi di una struttura iperstatica lavorano in parallelo, le rigidezze delle parti si sommano.

Esempio 2: Sistema non simmetrico

Due parametri cinematici δ (spostamento) e φ (rotazione supposta oraria)

ξ_i incognite iperstatiche

δ_i = ξ_il_i = δ + φx

Equilibrio

F = ∑_i=1ⁿ ξ_i

Obiettivo: ricavare le ξ_i incognite iperstatiche

Equilibrio alle rotazioni statiche

F · d = ∑_i=1ⁿ X_i

Equazioni di congruenza

X_i = &frac{E_iA_i}{l_i}(δ + φ · k_i)

⇒ nelle eq. di equilibrio: F = δ · &left;(∑&frac{E_iA_i}{l_i}&right;)+ φ · &left;(∑&frac{E_iA_i}{l_i} · x_i&right;)

F. δ = δ.

Calcolo delle incognite

Nota δ, φ si possono ricavare le incognite iperstatiche x_i.

Matrice di rigidezza

N.B. simmetrica per teo. di Betti.

Esempio 3 (sul libro, di sforzo normale)

Sistemi di travi in parallelo

Travi convergenti in nodo incastro (n-1 iperstatiche)

ψ = PARAMETRO CINEMATICO (incognite)

X_i = INCOGNITE IPERSTATICHE

ψ_i = EQ. DI CONGRUENZA (C_i = coeff. dipendente dal vincolo)

Equilibrio

Obiettivo: ricavare le x_i incognite iperstatiche

d²V/dz² = -M/EI

d⁴V/dz⁴ = q/EI

dϕ/dz = χ = M/EI

N.B.: Controllare tutte le direzioni d'inerzia.

Rigidezza flessionale

k_i = c_i t/l_i rigidezza flessionale dell'asta dipende dai vincoli

c = 4 in caso di incastro = rigidezza flessionale di asta incastrata è k·4 EI/l

c = 3 in caso di asta incernierata K = 3EI/l

c = 4 in caso di asta vincolata con doppio perno: k = EI/l

Calcolo delle incognite iperstatiche

X_i = k·φ => x_i = c_i Ei Ii/l_i φ_i

m = ∑ c_i Ei I_i/l_i φ_i

par. 13.54

ϕ = _m/^{∑ c_i t_i I_i / l_i} = _m/^{∑ k_i} = _m/^K

Noti ϕ si ricavano le X_i:

X_i = m _{ci ti Ii / li}/^{∑ c_i t_i I_i / l_i} = m _ki/^K

Rigidità

K = rigidità totale

k_i = rigidità dell'i-esima trave

K_i = coefficiente di ripartizione a flessione

N.B.: Gerarchia