Lezioni di tecnica delle costruzioni in c.a. e c.a.p.

Sicurezza strutturale

Concetto probabilistico

Variabile aleatorie R (resistenza) S (sollecitazione).

P_c = probabilità di collasso P_c = valore limite Limite al vertice Indeterminata Inadeguatezza Equenze economiche SLU - comfort persone e funzionamenti struttura SLU - collasso e salvaguardia persone P_c ≤ P_c10^-4 ÷ 10^-5 SLU 10^-5 ÷ 10^-6 SLE

Quando vario il rapporto dello stato limite che n vuole verificare.

Metodi di verifica della sicurezza strutturale

• Deterministica (T.A.) O max ≤ σ
• Probabilistica ↓ 3^° livello 2^° livello 1^° livello (semiprobabilistico) livello 0

Metodo al 3^° livello

σ_R σ_S μ_R f(R) J _ω R {f(R)}dR μ(S).σ_R = √∫^∞ (R - μR)²(f(R)dR. P(-∞ ≤ R ≤ +∞) = Δ (Probabilità) P(R_A ≤ R ≤ R₁) = R₁ ∫ R_A (f(R)dR. μ → MEDIA o valore atteso, approssimato a baricentro delle probabilità: quando io vario qualcosa al quale io aspetto al trovare il vero valore dell’incognito x. σ → DEVIAZIONE STANDARD o SCARTO QUADRATICO MEDIO, misura la forgiatura della campana e quanto smussa l’incertezza sue valore di x. Più σ è piccolo più è grande la certezza di trovare il vero valore di x.

Limite di accettazione

Dipendente da: inadeguatezza, esigenze economiche.

P_c = probabilità di collasso P_f = valore limite P_c ≤ P_f 10^-5 ÷ 10^-6 SLU 10^-3 ÷ 10^-4 SLE

Quando varia lo scenario dello stato limite che si vuole verificare.

Metodi di verifica della sicurezza strutturale

• Deterministico (T.A.) σ max ≤ σ
• Probabilistico NTC 08 ZONA 4 CLASSE D'USO I/II VITA ≈ 100 anni D.M. 1996
• 3° livello
• 2° livello
• 1° livello (semiprobabilistico)
• Livello 0

Metodo al 3° livello

∫(R) = ... ∫(S) = ... σ_R = ... σ_S = ... Si parte dalla conoscenza della funzione densità di probabilità della resistenza R e della sollecitazione S. Si fa riferimento alla distribuzione normale (GAUSS). Queste conoscenze presuppongono la definizione a priori di μ e σ.

P(-∞ ≤ R ≤ +∞) = 1 (Probabilità) P(R₁ ≤ R ≤ R₂) = ∫_R1^R2 {ξ(R)} dR μ → MEDIA o valore atteso, rappresenta il baricentro delle probabilità: quando le variabili aleatorie sono uguali il valore atteso si sovrappone al vero valore dell'incognita ξ. σ → DEVIAZIONE STANDARD o SCARTO QUADRATICO MEDIO: misura la larghezza della campana e quanto si misura l'incertezza sul valore di ξ. Più σ è piccolo, più è grande la certezza di trovare il vero valore di ξ.

Il metodo terzo livello si distingue in due approcci:

Approccio "completo" (spazio)

P_C (probabilità di collasso) = P(R < S) La probabilità, e il volume soteso della retta: P_C = ∫∫_DdC f(R,S) dRdS

Approccio semplificato (piano)

Si parte dall'ipotesi di variabili aleatorie indipendenti, quindi R e S sono considerati non correlati tra loro; si hanno due funzioni di densità di probabilità diverse. Siamo nel piano, e non più nello spazio.

P(S ≤ s ≤ S + ds) = f(S)ds → AREA 1 definita P(R ≤ S) = ∫_-∞^s f(R)dR → AREA_R, indefinita ma nella pratica pari ad 0 ∫_-∞^∞ (∫_-∞^S f_R(R)dR) f_S(S) dS = P_C come vedremo è più semplice da calcolare, e rappresenta le probabilità che i due eventi succedano insieme.

Metodo di 2^o livello o indice β:

Variabile estro Z → Z = R - S σ_Z = √(σ_R² + σ_S²) Si dimostra che se R e S sono variabili indipendenti e soddisfano entrambi una legge normale, anche f(z) sarà una distribuzione normale.

P_c = P(R < S) = P(z < 0) = ∫_-∞⁰ f(z) dz = - ∫_∞⁰ {f(z)} dz Υ (variabile casuale ridotta) = √ = ^{Z - μZ}⁄_σZ β (indice di sicurezza) = √Z⁄σZ Υ = ^Z⁄_σZ - ^μZ⁄_σZ = ^Z⁄_σZ = β

P_c > 0 → Υ - β P_c = P(z < 0) = - ∫_-∞^β f(Υ) dΥ = ∫_β^∞ f(Υ) dΥ = 460 e^-4.3β β = ^{6.3·ln P_c}