lezioni di matematica dagli insiemi sino alle funzioni

7

Capitolo 1. Richiami di teoria elementare

1.1 Cenni di teoria degli insiemi

Il concetto di “insieme” è un concetto primitivo, cioè uno di quei presupposti o assiomi che in

matematica costituiscono i fondamenti e dei quali non è data alcuna definizione.

Intuitivamente si può pensare ad un insieme come agli elementi che lo costituiscono, accomunati da

una stessa natura o proprietà. Indicheremo gli insiemi con le lettere in maiuscolo (A,B,C,X,Y…)

mentre gli elementi di esso verranno indicati in minuscolo (a ,b, c, x, y…). Per indicare che un ele-



mento appartiene ad un insieme, scriveremo ; per indicare che un elemento non appartiene ad

a A



un insieme scriveremo .

a A 

D . L’insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e lo indichiamo con il simbolo .

EFINIZIONE

Dati due insiemi A e B se gli elementi di A appartengono anche all’insieme B

     scriveremo che :

( : per ogni x A x B )

 

A B B A

(A è contenuto in B) oppure (B contiene A).



A B

D . A si dice sottoinsieme proprio di B se ed esiste almeno un elemento di B che

EFINIZIONE    



non appartiene ad A ( | (: = tale che) ); in tal caso indicheremo .

x A A B

(: esiste ) x B ,   

A B e B A allora A B

Se accade contemporaneamente che cioè i due insiemi sono uguali.



Se A e B non sono uguali scriveremo (A diverso da B).

A B 

Si noti che ogni insieme A ha come sottoinsiemi A stesso e che vengono chiamati sottoinsiemi

banali. Un insieme può essere rappresentato o per elencazione (elencando esplicitamente i suoi ele-

menti) o per proprietà (enunciando la proprietà che i suoi elementi verificano) o tramite i diagrammi

di Eulero-Venn.

E

SEMPIO

A = {2,4,6,8}

B = {tutti i numeri interi pari compresi fra 2 ed 8}

Capitolo I

8 2 6

C = 8 4

Si noti che se un insieme è costituito da un numero finito di elementi lo si può indicare nei tre

modi possibili; se invece è costituito da un numero infinito di elementi è conveniente indicarlo per

proprietà o tramite diagramma.

1.1.1 Operazioni tra insiemi 

D . Dati due insiemi A e B si definisce unione tra A e B ( ) l’insieme costituito da

A B

EFINIZIONE

tutti gli elementi di A e da quelli di B presi una sola volta se eventualmente sono ripetuti:

 

   

A B x A e/o x B . 

D . Dati due insiemi A e B si definisce intersezione tra A e B ( ) l’insieme costituito

A B

EFINIZIONE

dagli elementi che contemporaneamente stanno in A ed in B:

 

    .

A B x : x A ed x B

D . Dati due insiemi A e B si definisce differenza tra A e B (A/B) l’insieme costituito da-

EFINIZIONE

gli elementi di A che non appartengono a B:  

   .

A / B x : x A

, x B

E

SEMPIO 1 2

Siano A = {0, , 1} B = {-3, 0, }.

2 1

 2}

Si ha: A B = {-3, 0, , 1,

2



A B = {0}

1

A / B = { , 1}

2 2

B / A = {-3, }.

Attraverso la rappresentazione grafica dei diagrammi di Eulero-Venn, lo stesso esempio diventa:

A 1/2 0 -3 B/A

A/B 

A B 2

1 B

0      

Da questo esempio si può notare che ; mentre

A B B A

A ( A / B ) ( A B )

 ; questo significa che le operazioni di unione ed intersezione sono operazioni commu-

A / B B / A

tative, mentre la differenza non lo è. Richiami di teoria elementare 9

D . Dato un insieme A chiameremo insieme delle parti di A, P(A), l’insieme costituito da

EFINIZIONE

tutti i sottoinsiemi di A (compresi quelli banali): 

P(A)= {X | X A}.

E

SEMPIO

Sia A = {1, 2, 3, 4} determinare P(A).



Intanto ed A stesso appartengono a P(A);

i sottoinsiemi formati da un solo elemento sono : {1}, {2}, {3}, {4};

i sottoinsiemi formati da due elementi sono {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4};

i sottoinsiemi formati da tre elementi sono {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}

quindi P(A) = {Φ, A, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4},

4

{3,4}, {1,2,3},{1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}}; notare che P(A) contiene 16 (= ) elementi.

2

r

O In generale, se un insieme X ha r elementi allora P(X) avrà elementi.

2

SSERVAZIONE.

Alcune tra le proprietà di cui godono le operazioni tra insiemi sono:



P1: A A = A

  

 

P2 : A = A =

 

 

P3 : A = A = A

    

P4 : (A B) C = (A C) (B C) proprietà distributiva

    

P5 : (A B) C = (A C) (B C) “ “

   

P6 : (A B) C = A (B C) proprietà associativa

   

P7 : (A B) C = A (B C) “ “

 

P8 : A / (B C) = (A / B) (A / C) formula di De Morgan

 

P9 : A / (B C) = (A / B) (A /C) “ “

Dimostriamo, ad esempio, la P9, che essendo una uguaglianza insiemistica va provata facendo

vedere che preso un qualunque elemento appartenente al primo membro, esso appartiene anche al

secondo membro e viceversa.

       

Sia ; allora ed , ovvero oppure . Da cui ed

x A x B C x B x C x A

x A /( B C )

 

  

implica ; ed implica .

x B x A x C

x ( A / B ) x ( A / C )

   

In definitiva oppure perciò . Viceversa, sia

x ( A / B ) x ( A / C ) x ( A / B ) ( A / C )

      

: allora oppure . Se allora ed ; se

x A x B

x ( A / B ) ( A / C ) x ( A / B ) x ( A / C ) x ( A / B )

  

allora ma .

x A x C

x ( A / C )    

Da ciò ovvero .

x ( B C ) x A /( B C )

D . Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B (e si denota con A×B) l’insieme for-

EFINIZIONE  

mato dalle coppie ordinate (a,b) con a A e b B :  

A×B ={(a,b) : a A, b B} .

1.2 Teoria dei numeri

Consideriamo adesso particolari insiemi : gli insiemi numerici.



Indichiamo con l’insieme dei numeri naturali

 = {0, 1, 2, 3, ..., n,…};

Capitolo I

10

in tale insieme vengono definite le operazioni algebriche elementari dirette (somma e prodotto) e le

relative operazioni inverse (differenza e divisione).

Osserviamo che le operazioni inverse non sempre sono eseguibili, infatti dati a e b appartenenti

  

ad la loro differenza è quel numero naturale c (se esiste) tale che .

c b a



    

a b allora c : c b a

È chiaro che se perché per ogni c intero,

      .

c b b a c b a

Analogamente dati a e b interi non è detto che esista c (risultato della divisione di a per b) tale

 

che , ovvero che a sia multiplo di b.

c b a 

Dato che non è possibile in effettuare tutte le operazioni di base, nel senso che il risultato non



è detto che sia un numero intero, viene introdotto l’insieme dei numeri interi relativi

    

= {0, }.

1

, 2

, 3

,... n ,...

Si guadagna così l’operazione di sottrazione, oltre le due operazioni dirette; ma ancora non è

detto che il quoto di due interi relativi sia ancora dello stesso tipo.



Per tale motivo viene introdotto l’insieme dei numeri razionali, ossia delle frazioni aventi

numeratore un intero relativo qualsiasi, e per denominatore un intero relativo diverso da zero

 

m

  .

  

 

: m

, n , n 0

 

n

 

  



È chiaro che e . m

Ogni numero razionale nel sistema di numerazione decimale si può scrivere come

n

   dove M è un numero naturale, sono numeri interi

c , c ,..., c

M , c c ...

c ...

c c ...

c M , c c c 1 2 r

1 2 r 1 2 r 1 2 r

compresi tra 0 e 9 e la barra sopra indica la periodicità, ovvero il loro ripetersi nella nume-

c c ...

c

1 2 r

razione decimale.



L’insieme ci permette di eseguire tutte le operazioni algebriche di base; ricordiamo che dati



a, b, c,d elementi di con c e d non nulli si ha:



a c ad bc

 

b d bd

a c ac

 

b d bd

a c

  

ad bc

b d

a c

    .

0 ad bc

b d 

  

 2

r : r 2

Tuttavia si potrebbe provare che , mentre vedremo che un numero che verifica la

2

suddetta eguaglianza è la radice quadrata aritmetica di 2 ( ). 



Pertanto, si definisce l’insieme dei numeri reali, ampliando con quei numeri che non si



possono esprimere sotto forma di frazione, come (numeri irrazionali):

2, , e

 

   

= 2, , e

,..... .



Chiameremo numero reale il seguente simbolo: osservando che se la successio-

M , c c ...

c ...

1 2 r

ne di cifre decimali dopo la virgola è periodica il numero è reale razionale, altrimenti il numero è ir-

razionale.

Lo zero avrà la seguente rappresentazione 0,00000… ; mentre il numero reale si dirà positivo o

negativo se il segno che lo precede è + oppure – .

Richiami di teoria elementare 11

Dato a numero reale si dice opposto del numero a lo stesso numero col segno cambiato (-a).

Due numeri reali a e b si dicono uguali se hanno lo stesso segno, la stessa parte intera e la stessa

successione di cifre decimale, ovvero se, sempre avendo lo stesso segno uno dei due numeri è pe-

riodico di periodo 9 e l’altro si ottiene da questo sostituendo il 9 con 0 ed aumentando di una unità

la cifra che precede il periodo 9, per esempio +5,319999…= +5,32.

L’uguaglianza fra numeri reali gode delle seguenti tre proprietà:



  

P1: riflessiva : a a , a 

    

P2: simmetrica : a b b a , a , b 

     

P3: transitiva : .

a b , b c a c , a , b , c

Per confrontare due numeri reali distinti non negativi diremo che a è minore di b e scriveremo

 se la parte intera di a è minore della parte intera di b ovvero se avendo la stessa parte intera

a b

la prima cifra decimale di a è minore della corrispondente cifra decimale di b e così via. Ovviamen-

 

te .

a 0 a reale positivo   

Se a e b sono entrambi reali negativi diremo che a è minore di b se . Si deduce che

b a

ogni numero reale non negativo è maggiore di qualunque numero reale negativo.



Ricordiamo che la relazione di confronto introdotta in gode delle seguenti proprietà :



  

P1: riflessiva : a a , a 

     

P2: antisimmetrica : a b , b a a b , a , b



     

P3: transitiva : a b , b c a c , a , b , c

   

P4: tricotomia: se a b a b oppure b a



      

P5: se a b a c b c , a , b , c

   

 a c b c se c 0

  

P6: se a b    

 a c b c se c 0

    

P7: se a e b sono concordi (discordi) a b 0 ( a b 0 ) 

P8: Assioma di completezza : siano A e B sottoinsiemi non vuoti di , tali che

        

. Allora esiste almeno un numero reale c tale che .

a b a A

, b B a c b a A

, b B



In definiamo le operazioni di somma e prodotto che godono delle seguenti proprietà:

     

P1: proprietà commutativa

a b b a ; a b b a

         

P2: proprietà associativa

( a b ) c a ( b c ); ( a b ) c a ( b c )

   

P3: (esistenza dell’elemento neutro)

a 0 a ; a 1 a 1 1 1

          

P4: a ( a ) ( a ) a 0, a a 1 ( è il reciproco di a 0)

a a a

     

P5: proprietà distributiva.

a ( b c ) ( a b ) ( a c )

Le operazioni inverse sono così definite:



     

a b a ( b ) a , b Capitolo I

12 1 

     .

a : b a a , b , b 0

b

Osserviamo che :

1 

     

1. ;

a 0 0, a , a 0

a 1 1 

      

2. .

0 a b a , b , a , b 0

a b

1.3 Valore assoluto

D . Si dice valore assoluto del numero reale a il numero non negativo così definito:

EFINIZIONE 

 a se a 0



  



a a se a 0 .

 

 0 se a 0

Da questa definizione si hanno le seguenti proprietà :



        

P1: a 0, x , | x | a a x a



      

P2: a , x | x | a x a oppure x a



    

P3: | x y | | x | | y | x , y 

    

P4: prima disuguaglianza triangolare

| a b | | a | | b | a , b 

    

P5: seconda disuguaglianza triangolare

| a b | || a | | b || a , b

a | a | 

   

P6: a , b , b 0

b | b |

  

   

P7: | a | 0 a 0



    

P8: | a | a | a | a



   

P9: .

| a | | a | a

E

SEMPI

 |-2 . 5| = |-10| = 10 e |-2||5| = 2 . 5 = 10

 |-2 + 3| = 1 < |-2| + |3| = 5

 |3 - (-2)| = |5| > ||3| - |-2|| = |3 – 2| = 1.

1.4 Elevamento a potenza 





Assegnati due numeri reali α e , cerchiamo di dare significato al simbolo .

Procediamo per passi: Richiami di teoria elementare 13





      

 

0

n

1. sia = n numero naturale; definiamo ed =1 ( ).

... 0











n volte 1

 

   m

2. sia = m numero intero relativo, con m non negativo ed , definiamo .

0 

 m

m

m 

  n

3. sia numero razionale; per definire la potenza introduciamo la radice n-esima di

n

un numero reale.

1.4.1 Radice n-esima di un numero reale

 

   

Sia .

a , a 0, n , n 1 n

D . Si chiama radice n-esima aritmetica di a quel unico numero reale positivo b la

( a )

EFINIZIONE 

n

cui potenza n-esima da a : .

b a 

n

Si prova che un siffatto numero b esiste. Consideriamo adesso l’equazione con

x a

 

  .

a , n

Tale equazione ammette o meno soluzioni nell’incognita reale x in funzione di a ed n, infatti:





  n

1. se , n intero pari , l’equazione ammette in , come uniche soluzioni, la

x a

a 0 n 1 n a

radice n-esima aritmetica di a ( b = ) e l’opposto della radice n-esima aritmetica di a

n a

( b=- ); 



  n

2. se , n intero dispari , l’equazione ammette in una ed una sola soluzione

x a

a 0 n 1 n a

data dalla radice n-esima aritmetica di a ( b = ); 



  n

3. se , n intero , l’equazione ammette in una ed una sola soluzione che è lo

x 0

a 0 n 1

zero; 



  n

4. se , n intero dispari , l’equazione ammette in una ed una sola solu-

x a

a 0 n 1 

n a

zione (negativa) data dall’opposto della radice n-esima aritmetica di –a ( b=- );





  n

5. se , n intero pari , in tal caso l’equazione non ammette soluzioni in .

x a

a 0 n 1

D : si dice radice n-esima di un numero reale ogni soluzione, se esiste,

EFINIZIONE  

   

n ,

dell’equazione con .

x a a , n , n 1

1.4.2 Proprietà della radice n-esima

 

n     

n

P1: a a , a 0 ed n intero n 1, e a<0 ed n intero dispari >1 .

  

n

P2: se a 0 a 0

  

n

se a 0 a 0

  

n

se a 0

, n dispari a 0

  

n n

a a

P3: con n dispari. m

     

 

2 m m

n

n

n

x x

Si ha che , pertanto se definiamo .

( ) ( )

0

m 1

 

  

    

n

n n

Osserviamo che 0 ed .

0 Capitolo I

14 Utilizzando l’assioma di completezza è possibile estendere la definizione di





     .

con ed 0

Elenchiamo alcune proprietà delle potenze:

    

    

P1:    



  

P2: ( )



 

P3: 0  

        

P4: 1

,  

         

P5: 0 1

 

 

 



 

P6:   

 

    

      

P7: ( )   

    

se 0

 

        



P8: .

se 0 1 se 0

  

    

se 0



 

y y

 

O O

x x

(a) (b)

x

a

Figura 1.1 Grafico della funzione esponenziale : (a) caso a>1, (b) caso 0<a<1.

E

SEMPI  

 

  7

5

4

 

 3 105

3 12 ; x x

a a 12

m 7

 

 

 3

    

2 5 3 10 5 21

c c c c ; m ; s s

 

7

m 1



   

0 1 4

k 1 ; b b ; z 4

z

3

  3

g g

 

 7

       

7 7 7 7  

3 a b x 3 a b x ; .

  3

h h

Richiami di teoria elementare 15

1.5 Logaritmo 

D . Dati a e b numeri reali a