lezioni di matematica dagli insiemi sino alle funzioni

ESEMPI

3² · log₈3 perché 2⁸ = 3; log₂₅2 perché 5²⁵ = 2; 2⁵ = 2⁴ · 2³

log₁₀₀₀₀4 perché 10⁴ = 10000; log₂10 perché 10¹ = 2

4² - 4³ = 625 - 2⁶²⁵ = 1; log₄16 perché 4² = 16; log₈3 perché 8¹ = 3

16⁵ · 16²⁵ = 2¹⁶ - 2²⁵ = 1; log₄16 perché 4² = 16; log₈3 perché 8¹ = 3

Capitolo I

16⁸¹ · 16¹²⁸ = 2¹⁶ + 2¹²⁸ = log₄16 · log₁₆128; log₈₁ = log₂₄₃

2^31.6 = 5³; log₁₆5 = log₁₆; log₉ = log_9.2

Cenni di trigonometria; misura in radianti di un angolo α; sin α; cos α; tg α

Sia α un angolo del piano con origine in O:
Figura 1.3

Consideriamo due circonferenze centrate in O di raggio rispettivamente r ed R (cfr. Figura 1.4) e, indichiamo con l e L, rispettivamente le lunghezze degli archi intercettati dall'angolo α su di esse:
Risulta: l = rα; L = Rα

Tale numero, che non

L'angolo α in modo che la sua origine coincida con quella del sistema di riferimento e una delle due semirette che lo generano giaccia sull'asse (cfr. Figura 1.5). Si conviene che la misura di α sia positiva se la semiretta che genera l'angolo e giace sull'asse ruota in verso antiorario per sovrapporsi all'altra semiretta (in caso contrario la misura di α sarà negativa).

Sia la circonferenza avente centro nell'origine del sistema di riferimento e raggio unitario (circonferenza trigonometrica):

𝑥 = {(x, y) : x² + y² = 1}.

Diciamo B il punto sulla circonferenza intersezione con la semiretta libera che genera l'angolo α. Ebbene, l'ordinata (y) e l'ascissa (x) del punto B si chiamano rispettivamente seno di α (sinα) e coseno di α (cosα).

Evidentemente: -π/2 ≤ α ≤ π/2, e si ha: 1 ≥ sinα ≥ -1, 1 ≥ cosα ≥ -1.

,                  sin 2 k sin cos 2 k cos; .k ,

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di cateti BH, OH, ed ipotenusa ugualead uno, si trova la relazione fondamentale:      2 2 .sin cos 1,

Definiamo tangente dell’angolo α (tg ) il seguente rapporto :sin tg =  Tycosche ovviamente ha senso se B        .cos 0 k , k2  A 

Geometricamente la tangente di α rappresenta O H xl’ordinata del punto T intersezione tra la retta tangente al cerchiotrigonometrico in A e la semiretta libera che genera α ( tg α =)(cfr. Figura 1.6).

  

Riportiamo qui di seguito una tabella con i valori di per alcuni angoli di usosin , cos e tgpiù frequente:

Tabella 1.2 tgcossin  6 2 6 2 2 3/1215° = 4 4 5 1 5 2 510 2 5/1018° = 4 54/6 1/230° = 3 /3

Capitolo

Figura 1.7 Grafico di sin x.

La funzione y = cos x è una funzione periodica di periodo 2 definita per ogni x, il codominio è [-1,1].

Il grafico interseca l'asse x nei punti della forma kπ, con k ∈ ℤ.

Figura 1.8 Grafico di cos x.

La funzione y = sin x, definita per x ∈ ℝ, è una funzione periodica di periodo π. Il suo grafico interseca l'asse x nei punti della forma kπ, con k ∈ ℤ.

Figura 1.9 Grafico di tg x.

Capitolo I

201.7 Polinomi, equazioni e disequazioni algebriche

D. Si chiama polinomio algebrico di grado (o ordine) n una combinazione lineare di potenze intere della variabile x del tipo:

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀, con a_i ∈ ℝ, a_n ≠ 0.

Osserviamo che il grado del polinomio (deg p(x)) è la massima potenza con cui compare la variabile x, ad esempio p(x) = 2x³ - 3x² + 5 è un polinomio di grado 3.

di ordine 3 (deg p(x)=3). Se p(x) ha il suo grado è zero.

0 = αx

Si chiama valore del polinomio per α e lo si indica con p(α) l’espressione numerica

α = α0 + α1x + α2x^2 + ... + αn x^n

Se α si chiama radice del polinomio.

p(α) = 0

Assegnato un polinomio algebrico p(x) di grado n si chiama equazione algebrica associata al polinomio, e la si indica con p(x)=0, il problema della ricerca delle radici del polinomio.

Osserviamo che il numero delle radici dell’equazione algebrica è uguale all’ordine del polinomio contando le radici, anche se complesse e molteplici (Teorema fondamentale dell’algebra).

Teorema 1.1 (I Principio d’identità dei polinomi) Due polinomi p(x) e q(x) sono uguali se hanno lo stesso ordine, ed i coefficienti corrispondenti uguali.

1.7.1 Divisione tra polinomi

Sussiste il seguente teorema:

Teorema 1.2 Siano A(x) e B(x) due polinomi con deg(A(x)) ≥ deg(B(x))

x ))mente determinata la coppia di polinomi Q(x) (quoziente) ed R(x) (resto) tali che Q(x) = A(x) / B(x) e deg(R(x)) < deg(B(x)).

Osserviamo che α è radice di p(x) se e solo se p(x) è divisibile per (x-α) (cioè il resto della divisione deve valere zero).

ESEMPIO: Siano A(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 2 e B(x) = 2x^2 + x - 3.

Eseguiamo la divisione:

2x^3 - 4x^2 + 6x - 4 / 2x^2 + x - 3 = x - 2

da cui otteniamo: Q(x) = x - 2 ed R(x) = 0.

Lasciamo al lettore la verifica che: A(x) = B(x) * Q(x) + R(x).

Osserviamo infine che note α1, α2, α3, ..., αn le radici di p(x)=0 (eventualmente non tutte distinte e non tutte reali) il polinomio ammette l'unica decomposizione:

p(x) = a * (x - α1) * (x - α2) * ... * (x - αn)

( x ) ( x ) ...... ( x ) .n 1 2 nESEMPIO     2Sia . Esso ammette come radici e quindi si decompone inp ( x ) x 1 x 1 ( x 1)( x 1).1.7.2 Equazione algebrica di primo ordineSi definisce equazione algebrica di primo ordine l’equazione :    .ax b 0 con a , b , a 0 b Utilizzando le proprietà dei numeri reali tale equazione ammette l’unica soluzione .x a   Infatti: da aggiungendo ad ambo i membri –b risulta da cui dividendo entrambiax b 0 ax bb b   i membri per si ottiene . D’altra parte è facile verificare che soddisfa la no-x xa 0 a astra equazione.ESEMPIO   Risolvere l’equazione .3 x 5 0 5Aggiungendo ad ambo i membri -5 e dividendo per -3 si ottiene la soluzione .x 31.7.3 Equazione algebrica di secondo ordineSi definisce equazione algebrica del secondo ordine l’equazione:    2 .ax bx c 0 con a , b , c , a 0    2Si chiama