Riassunto esame, Calcolo Numerico - Tutto l'esame in 30 pagine, prof. Politi

Teorema di rappresentabilità unica

Sia β ∈ N, β ≥ 2, allora ogni numero reale x (x ≠ 0) può essere univocamente rappresentato in base β nel seguente modo:

X = ± β^p Σ_i=n^v d_iβ^-i

dove p ∈ Z, i valori di i ∈ N (dettagliati successivamente), verifichiamo le seguenti proprietà:

d_i ∈ {1, 2, 3, ..., β-1}

Se x ≠ 0 non sono definiti n, uguali a 0 (β-1). Ciò assicura l'unicità della rappresentazione.

Rappresentazione in base β di x

x ∈ R, x ≠ 0: x = β^p(0, d₁, d₂, ... d_k...) dove 0, d₁, d₂, d_k, ... è detta mantissa (d_k ≠ 0).

L'insieme dei numeri macchina

Siamo β, t, m, M ∈ N con β ≥ 2, t ≥ 1, m^m > 0.

Si dice γ l'insieme dei numeri macchina con rappresentazione normalizzata in base β con t cifre significative e l'insieme:

f(β, t, m, M) = { x ∈ R : x = ± β^tΣ_i=0^t d_iβ^-i } ∪ {∅}

dove:

• t ≥ 0, β > 1
• d_i ∈ {0, 1, 2, ..., β-1}
• d_t ≠ 0
• p ∈ Z, -m ≤ p ≤ M

La rappresentazione dello zero sfugge; è necessario aggiungerlo analiticamente.

Rappresentazione nell'elaboratore

• 1 campo di memoria per il segno
• t campi di memoria che possono assumere della mantissa più M+1 configurazioni β differenti configurazioni per la memorizzazione
• 2 campi di memoria per l'es mem. di p, in totale da parametro x p^-m

Osservati: – il più piccolo positivo rappresentabile X = 0; 1 * β^-m

Il più grande − × … X = 0;(β-1)( β-1)...β^M

Teorema di rappresentabilità univoca

Sia β ∈ ℕ, β ≥ 1 allora ogni numero reale x (x ≠ 0) può essere univocamente rappresentato in base β nel seguente modo:

x = ± β^k ∑_i=1^∞ d_i β^-i

dove p ∈ ℤ e i valori di k ∈ ℕ (dettagliati successivamente), verifichiamo le seguenti proprietà:

1. d_i ∈ {1, 2, 3, ..., β-1}
2. k e d_i non sono definitivamente uguali a (β-1). Ciò assicura l'unicità della rappresentazione

Rappresentazione in base β di x

x ∈ ℝ, x ≠ 0: x = β^P(0,d₁,d₂,...d_k...) dove 0,d₁,d₂,d_k... è detta mantissa (d_n ≠ 0).

L'insieme dei numeri macchina

f(β,t,m,M)

Siano β, t, m, M ∈ ℕ con β ≥ 2, t ≥ 1, m > 0. Si dice l'insieme dei numeri macchina con rappresentazione normalizzata in base β con t cifre significative è insieme:

f(β,t,m,M) = { x ∈ ℝ : x = ± β^t ( ∑_i=0^t-1 d_i β^-i) } ∪ {0}

dove:

1. t ≥ 0, β > 1
2. d_i ∈ {0, 1, 2, ..., β-i}
3. d₀ ≠ 0
4. p ∈ ℤ, -m

La rappresentazione dello zero sfugge: è necessario aggiungerlo analiticamente.

Rappresentazione nell'elaboratore

• 1 campo di memoria per il segno
• t campi di memoria che possono assumere β^d configurazioni per la mantissa, dove d è il t_d della mantissa
• Campi di memoria per l'esponente p, in m^d tolta da parametri configurazioni

Osservati: - "il più piccolo e positivo rappresentabile: X = 0, 1 * β^-mw"

- "il più grande X = 0, (β-1)(β-1)... β^M"

Proprietà dei numeri macchina

1. L'insieme è discreto.
2. I numeri rappresentabili sono solo una piccola parte di R.
3. La distanza tra due numeri x, x+1 consecutivi è β^1-t.

Infatti, sia x un generico numero:

x = + β^x(0,d₁d₂...d_td_t+1)

Il successivo numero macchina sarà:

= β^x(0,d₁...d_t-1(d_t+1))

La differenza è pertanto:

x-y = β^p(0,...0.1)_t-1 = β^p1.0 = β^p-t

Standard IEEE di rappresentabilità

• pn^o campi
• campo segno
• n^o campi mantissa
• n^o valore esponente

Singola precisione

• 2321238 campi: -127 ≤ e ≤ 127

Doppia precisione

• 26415211 campi: -1023 ≤ e ≤ 1023