Lezioni, Probabilità e Statistica

Statistica Descrittiva

Frequenza Assoluta f_a:

Quante volte compare x_i nel dataset

Frequenza Assoluta Cumulata F_a:

Somma di tutte le f_a fino alla classe o elemento x_i

Frequenza Relativa f:

Frequenza assoluta fratto numero di osservazioni

^f_a/_n

0 ≤ f ≤ 1

Frequenza Relativa Cumulata F:

Somma di tutte le f fino alla classe o elemento x_i

0 ≤ F ≤ 1

Media Classica:

^&#xX0305;X = ^{Σ_{i = 1}N X_i}/_N

Peso X_i = ¹/_N

Media per Dati Cumulati

^&#xX0305;X = ^{Σ M_j Y_j}/_N

= Σ f(y_j) y_j

Y_j = classe

M_j = N elementi della classe

y_j = peso ^M_j/_N

Varianza σ²:

σ² = ^{Σ (x_i - &#xX0305;)2}/_N

STATISTICA DESCRITTIVA

Frequenza Assoluta f_a:

Quante volte compare x_i nel dataset

Frequenza Assoluta Cumulata F_a:

Somma di tutte le f_a fino alla classe o elemento x_i

Frequenza Relativa f:

Frequenza assoluta fratto numero di osservazioni

f_a / n

0 ≤ f ≤ 1

Frequenza Relativa Cumulata F:

Somma di tutte le f fino alla classe o elemento x_i

0 ≤ F ≤ 1

Media Classica:

X̄ = (Σ_i=1^N x_i) / N

Peso x_i = 1 / N

Media per dati cumulati:

X̄ = (Σ_j=1^M m_j y_j) / N

y_j = classe

m_j = n elementi della classe

y_j peso = m_j / N

Varianza σ²:

σ² = Σ(x_i - X̄)² / N

Varianza per dati cumulati

σ² = Σ (y̅ᵢ - x̅ )² mᵢ / N

= Σ f(y̅ᵢ) (y̅ᵢ - x̅ )²

Scarto (deviazione standard) σ

σ = √(Σ (xᵢ - x̅ )² / N)

Relazione media - varianza

σ² = E(xᵢ²) - E²(xᵢ)

Quantili, quartili, percentili

1° quartile / 0,25 quantile / 25 percentile

Numero entro il quale la frequenza relativa unitaria vale 0,25

2° quartile / 0,5 quantile / 50 percentile / mediana

= 0,5

3° quartile / 0,75 quantile / 75 percentile

= 0,75

Standardizzazione dati

zᵢ = (xᵢ - x̅ ) / σ →

E(zᵢ) = 0

σ²(zᵢ) = 1

Teorema di Chebischev (Dim)

K > 1

x: _i|f(|x_i - x̄| > Kσ) ≤ ¹/_K²

Se il dataset contiene N dati:

Nf ≤ ^N/_K²

Graficamente

• x̄ - Kσ
• x̄
• x̄ + Kσ

La frequenza relativa degli elementi esterni è ≤ ¹/_K²

Covarianza

¹/_N ∑ (x_i - x̄)(y_i - ȳ) = ∑ x_iy_i/_N - x̄ȳ

Coefficiente di correlazione

ρ_xy = ^cov/_σxσy

-1 ≤ ρ_xy ≤ 1

Interpolazione e Metodo dei Minimi Quadrati

y = b₀ + b₁x → (y_i - (b₀ + b₁x_i))²

b₁ = ^{∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ)}/_{∑(xi - x̄)²} = ^{∑ x_iy_i - m x̄ȳ}/_{∑ xi² - mx̄²}

b₀ = ȳ - b₁ x̄

Probabilità

Spazio eventi campionari

Ω: insieme di tutti gli eventi elementari c.i. P(Ω) = 1

Spazio degli eventi

A: insieme di tutti gli eventi, ovvero tutti i sottoinsiemi di Ω

Funzione P

P : A → [0,1] funzione probabilità

Spazio di probabilità

{Ω, A, P}

Sigma additività

A_i

A_i ∩ A_j = ∅     i ≠ j

P(⋃_i=1^∞ A_i) = ∑_i=1^∞ P(A_i)

Nota: vale anche con un numero finito di addendi, considerando infinite volte l'evento impossibile (∅)

P(⋃_i=1^N A_i) = ∑_i=1^N P(A_i)

Probabilità eventi complementari

P(A^c) = 1 - P(A)