Lezioni, Probabilità e Statistica

Statistica descrittiva

Frequenze

Frequenza assoluta f_a: Quante volte compare x_i nel dataset.

Frequenza assoluta cumulata F_a: Somma di tutte le f_a fino alla classe o elemento x_i.

Frequenza relativa f: Frequenza assoluta fratto numero di osservazioni ^f_a/_n.

0 ≤ f ≤ 1.

Frequenza relativa cumulata F: Somma di tutte le f fino alla classe o elemento x_i.

0 ≤ F ≤ 1.

Media

Media classica: ^X̄ X = ^{Σ_{i = 1}N X_i}/_N.

Peso X_i = ¹/_N.

Media per dati cumulati: ^X̄ X = ^{Σ M_j Y_j}/_N = Σ f(y_j) y_j.

Y_j = classe.

M_j = N elementi della classe.

y_j = peso ^M_j/_N.

Varianza

Varianza σ²: σ² = ^{Σ (x_i - X̄)2}/_N.

Statistica descrittiva

Frequenze

Frequenza assoluta f_a: Quante volte compare x_i nel dataset.

Frequenza assoluta cumulata F_a: Somma di tutte le f_a fino alla classe o elemento x_i.

Frequenza relativa f: Frequenza assoluta fratto numero di osservazioni f_a / n.

0 ≤ f ≤ 1.

Frequenza relativa cumulata F: Somma di tutte le f fino alla classe o elemento x_i.

0 ≤ F ≤ 1.

Media

Media classica: X̄ = (Σ_i=1^N x_i) / N.

Peso x_i = 1 / N.

Media per dati cumulati: X̄ = (Σ_j=1^M m_j y_j) / N.

y_j = classe.

m_j = n elementi della classe.

y_j peso = m_j / N.

Varianza e deviazione standard

Varianza σ²: σ² = Σ(x_i - X̄)² / N.

Varianza per dati cumulati: σ² = Σ (y̅ᵢ - x̅)² mᵢ / N = Σ f(y̅ᵢ) (y̅ᵢ - x̅)².

Scarto (deviazione standard) σ: σ = √(Σ (xᵢ - x̅)² / N).

Relazione media - varianza: σ² = E(xᵢ²) - E²(xᵢ).

Quantili, quartili, percentili

1° quartile / 0,25 quantile / 25 percentile.

Numero entro il quale la frequenza relativa unitaria vale 0,25.

2° quartile / 0,5 quantile / 50 percentile / mediana = 0,5.

3° quartile / 0,75 quantile / 75 percentile = 0,75.

Standardizzazione dati

Standardizzazione dati: zᵢ = (xᵢ - x̅) / σ → E(zᵢ) = 0.

σ²(zᵢ) = 1.

Teorema di Chebischev (Dim)

K > 1.

x: _i|f(|x_i - x̄| > Kσ) ≤ ¹/_K².

Se il dataset contiene N dati: Nf ≤ ^N/_K².

Graficamente: x̄ - Kσ; x̄; x̄ + Kσ.

La frequenza relativa degli elementi esterni è ≤ ¹/_K².

Covarianza e correlazione

Covarianza: ¹/_N ∑ (x_i - x̄)(y_i - ȳ) = ∑ x_iy_i/_N - x̄ȳ.

Coefficiente di correlazione: ρ_xy = ^cov/_σxσy.

-1 ≤ ρ_xy ≤ 1.

Interpolazione e metodo dei minimi quadrati

Interpolazione e metodo dei minimi quadrati: y = b₀ + b₁x → (y_i - (b₀ + b₁x_i))².

b₁ = ^{∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ)}/_{∑(xi - x̄)²} = ^{∑ x_iy_i - m x̄ȳ}/_{∑ xi² - mx̄²}.

b₀ = ȳ - b₁ x̄.

Probabilità

Spazi e funzioni di probabilità

Spazio eventi campionari Ω: insieme di tutti gli eventi elementari c.i. P(Ω) = 1.

Spazio degli eventi A: insieme di tutti gli eventi, ovvero tutti i sottoinsiemi di Ω.

Funzione P: P : A → [0,1] funzione probabilità.

Spazio di probabilità: {Ω, A, P}.

Sigma additività

Sigma additività.

A_i.

A_i ∩ A_j = ∅     i ≠ j.

P(⋃_i=1^∞ A_i) = ∑_i=1^∞ P(A_i).

Nota: vale anche con un numero finito di addendi, considerando infinite volte l'evento impossibile (∅).

P(⋃_i=1^N A_i) = ∑_i=1^N P(A_i).

Probabilità eventi complementari

Probabilità eventi complementari: P(A^c) = 1 - P(A).