Lezioni, Probabilità e Statistica

STATISTICA DESCRITTIVA

FREQUENZA ASSOLUTA f_a:

QUANTE VOLTE COMPARE X_i NEL DATASET

FREQUENZA ASSOLUTA CUMULATA F_a:

SOMMA DI TUTTE LE f_a FINO ALLA CLASSEO ELEMENTO X_i

FREQUENZA RELATIVA f_r:

FREQUENZA ASSOLUTA FRATTO NUMERO DI OSSERVAZIONI _{fa / n}  0 ≤ f_r ≤ 1

FREQUENZA RELATIVA CUMULATA F_r:

SOMMA DI TUTTE LE f_r FINO ALLA CLASSEO ELEMENTO X_i  0 ≤ F_r ≤ 1

MEDIA CLASSICA:

X̄ = ^N∑_i=1 X_i / N

PESO X_i = 1 / N

MEDIA PER DATI CUMULATI

X̄ = ^M∑_i=1 (M_j Y_j) / N = ∑ (f_j) Y_j

Y_j = CLASSEM_j = N ELEMENTI DELLA CLASSEf_j PESO M_j / N

VARIANZA σ²:

σ² = ^{∑ (X_i - X̄)²} / N

VARIANZA PER DATI CUMULATI

σ² = Σ (ŷ₁ - x̄)² m_i / N

σ² = Σ f(ŷ_j) (ŷ_j - x̄)²

SCARTO (DEVIAZIONE STANDARD) σ:

σ = √Σ (x_i - x̄)² / N

RELAZIONE MEDIA - VARIANZA

σ² = E(x_i²) - E²(x_i)

QUANTILI, QUARTILI, PERCENTILI

1° QUARTILE / 0,25 QUANTILE / 25 PERCENTILE

NUMERO ENTRO IL QUALE LA FREQUENZA RELATIVA CUMULATA VALE 0,25

2° QUARTILE / 0,5 QUANTILE / 50 PERCENTILE / MEDIANA

= 0,5

3° QUARTILE / 0,75 QUANTILE / 75 PERCENTILE

= 0,75

STANDARDIZZAZIONE DATI:

z_i = (x_i - x̄) / σ → E(z_i) = 0

σ²(z_i) = 1

Teorema Probabilità Totale

B_i partizioni dell'evento certo

B_i ∩ B_j = 0 , ⋃B_i = Ω

P(D) = ∑_i=1^m P(D|B_i) · P(B_i)

Legge di Probabilità delle Cause (Bayes)

P(B_i|D) =

P(B_i ∩ D)/P(D)

= (P(D|B_i) · P(B_i)) / ∑_k=1^m P(D|B_k) · P(B_k)

MEDIA E VARIANZA NELLE V.A.

• Σ_x x_i P_X(x_i)

• ∫_R x f_x(x) dx

VARIANZA

• Σ_x (x_i - μ)² P_X (x_i)

• ∫_R (x - μ)² f_x(x) dx

QUANTILI NELLE V.A.

q QUANTILE: MINIMO ξ_q DEI VALORI ξ_i TALE CHE P(X ≤ ξ) ≥ q

MODA

DISCRETE: PUNTO IN CUI LA LEGGE DI PROBABILITÀ È MASSIMA

CONTINUE: PUNTO DI MASSIMO DELLA FUNZIONE DI DENSITÀ

Legge dei Grandi Numeri

∀ ε lim_m→∞ P(|X_m - μ| < ε) = 1

Per numeri molto elevati di osservazioni:

• X_m → μ
• f_rel → ρ

Stima(tore) (T) di parametro (θ)

Funzione del campione (funzione stimatrice) che usiamo per stimare il parametro

Nota: Lo stimatore non deve contenere θ ma la sua distribuzione deve dipendere da θ.

Correttezza e Consistenza Asintotica

E(T_m) = θ → Stima corretta

lim_m→∞ E(X_m) = θ → Stima asintoticamente corretta

Media e Varianza Campionaria

X_m = ∑x_i / m

S_m² = m ∑(x_i - μ)²

S_m² = 1/(m-1) ∑(x_i - X_m)²

S_m^*2 = 1/m ∑(x_i - X_m)²

P( | _x̄m-μ / s / _√m | ≤ α ) = γ

Nota

S = √ (1 / m-1) { Σ (x_i - x̄_i)² }

x̄_m - s / _√m t_m-1 (1 + γ / 2) ≤ μ ≤ x̄_m + s / _√m t_m-1 (1 + γ / 2)

Intervallo di confidenza per la varianza

Media ignota

Stimatore:

S²_m / m-1 Σ (x_i; x̄_m)²

Qta pivotale:

(m-1) S²_m / σ² ~ χ² _m-1

P( a < (m-1) S²_m / σ² ≤ b) = γ

Media nota

Stimatore:

S²₀ = 1 / m Σ (x_i - μ )²

Qta pivotale:

m S²₀ / σ² ~ χ² _m

P( a < m S²₀ / σ² ≤ b) = γ

Stima di q̂₀

Stima puntuale

q̂₀ = b̂₀ + b̂₁ x₀

Intervallo di confidenza

b̂₀ + b̂₁ x₀ ± t_m-2 √[((1 + 1/m) + (x₀ − x̄)² / S_xx)] (SSE/m-2)

Notare che la semiampezza minima si ha per x₀ = x̄

Modeliazione lineare binariata

y = b₀ + b₁ x₁ + ... + b_k x_k + ϵ

ϵ ~ N(0,σ²)

[ 1 x_1,1 x_2,1 ... x_k,1 1 x_1,2 x_2,2 x_k,2 1 x_1,3 x_2,3 x_k,3 ... 1 x_1,m x_2,m x_k,m ] = [1 x₁ x₂ ... x_k]

[ y₁ y₂ y_m ] = X b + ϵ

Rumori gaussiani

ϵ = [ ϵ₁ ϵ_m ] ~ [N(0,σ₁²) N_m(0,σ_m²)]

₁ = ^{Σ(x_i - x̄)(y_i - ȳ)}/_{Σ(xi - x̄)²}

₀ = ȳ - b₁x̄

Nota: sono variabili aleatorie stimatori di b₀ e b₁

^{S(b₀, b₁) = Σ (y_i - (b₁x_i + b₀))2}

Rappresentazione Grafica

q = b₀ + b₁x + ε

ε ~ N(0, σ²)

Rappresentazione Matriciale