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Statistica

Campionamento casuale

Il campionamento casuale è il processo che utilizza il caso per selezionare gli individui da una popolazione da includere in un campione. ʯ = Σx / N; = Σx / n_i

Variabilità

La variabilità è l’attitudine delle unità di un collettivo ad assumere differenti modalità di un carattere.

Varianza

Varianza della popolazione: σ² = Σ(x_i - ʯ)² / N; Deviazione standard di una popolazione: σ = √σ².

Varianza del campione: S² = Σ(x_i - x_i)² / (n-1); Deviazione standard di un campione: S = √S².

Box plot

• Limite inferiore = Q1 - (1.5 * I.Q.R.)
• Limite superiore = Q3 + (1.5 * I.Q.R.)
• I.Q.R. = Q3 - Q1

Variabile casuale

La variabile casuale X è una misura numerica dell’esito di un esperimento casuale, quindi il suo valore è determinato dal caso. La variabile casuale discreta assume un numero finito enumerabile di valori. La variabile casuale continua assume un numero infinito di valori.

Distribuzione di probabilità

La distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X fornisce i possibili valori assunti dalla variabile casuale e le corrispondenti probabilità.

Condizioni: Sia P(x) la probabilità che la variabile casuale X assuma valore pari a x, allora: ΣP(x) = 1; 0 <= P(x) <= 1.

Media di una variabile casuale discreta: ʯ = Σ[x * P(x)], la media corrisponde al valore atteso E(x) = ʯ_X.

Varianza di una variabile casuale discreta: σ²_X = Σ[(x - ʯ_X)² * P(x)]

Variabile casuale binomiale

Esperimento probabilistico: è un esperimento binomiale, condizioni:

• L’esperimento è ripetuto un numero definito di volte (dette prove);
• Le prove sono indipendenti, ovvero una prova non influisce sulle altre prove;
• In ogni prova ci sono solo due eventi mutuamente esclusivi (disgiunti);
• La probabilità di successo è la stessa in ciascuna prova;
• Se npq ≥ 10 la distribuzione di probabilità sarà approssimativamente normale.

Funzione della distribuzione di probabilità binomiale: P(x) = C_n^x * p^x * (1-p)^n-x, x = 1, 2, …, n, p è la probabilità di successo e C_n^x è il coefficiente binomiale, che indica il numero di modi diversi per ottenere x successi in n prove.

Media di una variabile casuale binomiale: ʯ = np.

Devianza di una variabile casuale binomiale: σ = √npq.

Distribuzione normale

Densità: Il termine densità è impiegato in quanto si riferisce al numero di individui per un’unità di area.

Funzione di densità: La funzione di densità è un’equazione utilizzata per calcolare le probabilità per variabili casuali continue.

Condizioni:

• L’area sottesa dal grafico dell’equazione, su tutti i possibili valori assunti dalla variabile casuale, deve essere pari a 1;
• L’altezza del grafico deve essere ≥ 0 per tutti i possibili valori assunti dalla variabile casuale.

Curva normale: Una variabile casuale continua è normalmente distribuita, se l’istogramma della frequenza relativa della variabile casuale ha la forma della curva normale.

Proprietà:

• La curva normale è simmetrica rispetto alla media ʯ;
• Dato che M = Me = Moda, il punto più alto della curva corrisponde a x = ʯ;
• I punti di flesso sono situati a ʯ - σ e ʯ + σ;
• L’area sottesa della curva è pari a 1;
• L’area alla sinistra della media ʯ è uguale all’area di destra ed è pari a ½;
• All’aumentare del valore sull’asse x, il grafico si avvicina all’asse orizzontale, ma senza toccarlo. Al decrescere del valore sull’asse x, il grafico si avvicina all’asse orizzontale, ma senza toccarlo.
• Intervalli tipici: il 68% dell’area sottesa è compresa tra x = ʯ - σ e x = ʯ + σ; il 95% dell’area sottesa è compresa tra x = ʯ - 2σ e x = ʯ + 2σ; il 97,7% dell’area sottesa è compresa tra x = ʯ - 3σ e x = ʯ + 3σ.

Passaggio dalla curva normale alla standardizzata

Z_i = (x_i - x) / σ.

Proprietà:

• È simmetrica rispetto alla sua media ʯ = 0 e ha σ = 1;
• Dato che M = Me = Moda = 0, il punto più alto della curva corrisponde a z = 0;
• I punti di flesso sono situati a ʯ - σ = -1 e ʯ + σ = 1;
• L’area sottesa della curva è pari a 1;
• L’area alla sinistra della media ʯ = 0 è uguale all’area di destra ed è pari a ½;
• All’aumentare/ridursi del valore Z, il grafico approssima lo 0.