Le matrici

Matrice 2x2

Le matrici trasformano le coordinate secondo la seguente relazione:

(x, y) -> (ax + by, cx + dy)

La matrice 2x2 può essere rappresentata come:

_{⎡ a c ⎤
⎢ b d ⎥}

Coefficienti della matrice

• a: Coefficiente di x nella prima coordinata
• b: Coefficiente di y nella prima coordinata
• c: Coefficiente di x nella seconda coordinata
• d: Coefficiente di y nella seconda coordinata

Operazione della matrice: Determinante

La matrice si calcola con il determinante, cioè una sottrazione tra prodotti:

1. a·d - b·c con b≠c≠a ⇒ (x, y) ⇒ (ax, bg)

Se prendiamo ad esempio i seguenti valori:

• 2 0
• 0 1

Il calcolo diventa: 2d - 0·0 = 2d

Altri esempi di calcoli

2. (x, y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)
• cosθ sinθ
• -sinθ cosθ

Il risultato è: cosθ·cosθ - sinθ·sinθ = cos²θ + sin²θ = 1

3. a =1, b = 0, c = 0, d = 1
• 1 c
• 0 1

Il determinante è: 1·1 - φ·1 = 1

4. a = 3, b = 2, c = 2, d = 1
• 3 4
• 2 1

Calcolo: -x(1) - 1(4) = -3·1 - 4

Determinante e area

Ad ogni trasformazione lineare (x, y) I (ax+by, cx+dq) è associata una unica matrice M e viceversa. Ad ogni matrice è associato un determinante e suo legato geometricamente. Se prendo una qualunque regione piana e la traslo tramite T(A; T(A)) allora l'area si trasforma del valore assoluto del determinante per l'area.

Area (A') | detM | area A

Se il determinante Δ > 0, l'orientamento è corrispondente. Se invece Δ...

Se detM = 0? ⇒ Trasformato diventa un segmento con area nulla, come nel caso:

• -1 2
• -2 4

(x, y) = x + (-2) y 2x + ay

Considerazioni sui triangoli

Consideriamo il triangolo iniziale:

• (1, 0), (1, 2), (4, 2)
• (-4, 2), (4, 5), (-5, 10)

Il triangolo si è schiacciato. Se detM=0 allora ogni regione piana A si trasforma in un segmento con A'=0.

Esercizio pratico

1. a=1 c=2 b=3 d=-2

(x, y) _T (bx-(c+d)y, q-(b+d)x)

• (3x-(2-2)y q-(3-2)x)
• (3x - 0y' + 4x + y)

_{[^{a c} b d]} = M(x y) _T (ax+by, cx+dy)

(x₁ y₁) _T (a_x1+b_y1, cx₁+dy₁) ⇒ [_{a' c' b' d'}] = M'

Trasposizione delle matrici

T : T((T(x, y)) = ? > M :M' = M^T . M^T

[_{a c b d}] x [_{a' c' b' d'}] = [_{a²+cb ac'+cd' bc'+dD}]

Considero le righe di M' e le colonne di M'

Esempio numerico

T : (x, y)_T ⇒ (x+y, y-x)

T' : (x, y) _T = (2x, x+g,)

M'^-1 = M^-1

[_{2 1 0 1}] = [(x-0) (x+1)]

T : T = (2x + 2y, cx + 2y) = (2x + 2y, x_yy)