Laboratorio di fisica 3

Linea di trasmissione

Preso un circuito formato da un generatore di corrente continua e da tanti resistori in serie che formino un'unica maglia, la teoria dei circuiti prevede che si stabilisca una corrente I = e/Rt e la tensioni Vi = I.Ri istantaneamente. Lo stesso se alimentiamo in regime sinusoidale o accendiamo una tensione continua costante e il circuito contiene capacità e/o induttanze: anche quando I e varia- bile nel tempo, si ipotizza che essa sia la stessa in tutti i tratti della maglia ( la leyes di Kirchhoff si basa- no proprio su questo).

Quando però il circuito è di grandi dimensioni (decine, centinaia di metri) questa approssimazione di istanta- neità vale solo se le scale della variabilità dei se- gnali sono molto più grandi dei segnali stessi.

Cerchiamo quindi di analizzare il comportamento dei circuiti normalmente usato per trasportare segnali su grandi distanze, cioè la cosiddetta linea di trasmis- sione (linee telefoniche, cavi coassiali, linee bifilari ne sono un esempio).

Linea come sistema a costanti distribuite

Più in generale, schematizziamo la linea come un si- stema di due conduttori che connettono un generatore e un carico: il generatore è caratterizzato da una tensione V_g (t) e un'impedenza interna in serie Z_g, mentre il

Linea di trasmissione

Preso un circuito formato da un generatore di corrente continua e da tanti resistori in serie che formano un'unica maglia, la teoria dei circuiti prevede che si stabilisca una corrente I=ϵ/R e le tensioni V=I Ri istantaneamente.

Lo stesso se alimentiamo in regime sinusoidale o accendiamo una tensione continua costante e il circuito contiene capacità e/o induttanze. Anche quando I e varia-bile nel tempo, si ipotizza che essa sia la stessa in tutti i tratti della maglia (la legge di Kirchoff si basa proprio su questo).

Quando però il circuito è di grandi dimensioni (decine, centinaia di metri) questa approssimazione di istantaneità vale solo se le scale della variabilità dei se-gnali sono molto più grandi dei segnali stessi. Cerchiamo quindi di analizzare il comportamento degli altri elementi usati per trasportare segnali su grandi distanze, cioè la cosiddetta linea di trasmis-sione (linee telefoniche, cavi coassiali, linee bifilari ne sono un esempio).

Linea come sistema a costanti distribuite

Più in generale, schematizziamo la linea come un sistema di due conduttori che connettono un generatore e un carico: il generatore è caratterizzato da una tensione V_g(t) e un'impedenza interna in serie Z_g, mentre il

carico è caratterizzato da un'impedenza _Zc. Le impedenze sono in notazione complessa, in quanto il circuito che rappresenta il generatore, ad esempio, potrebbe essere l'equivalente di Thevenin di un circuito più complesso (stesso per il carico). In molti casi, _Zc si riduce ad una semplice _RG.

Schematizziamo quindi il cavo con due conduttori paralleli, aventi caratteristiche indipendenti della posizione e dal tempo.

- _RA e _RB la resistenza del conduttore A, dovuta alla resistività del rame, ed _RB è l'analogo per il B.

- _LA e _LB è l'induttanza del tratto d_x ed _LB è l'analogo per il B.

- _G è la conduttanza fra i due cavii nel tratto considerato, dovuta al non perfetto isolamento tra di essi.

- _C è la capacità fra i due tratti del conduttore.

Tutte le grandezze possono essere espresse per unità di lunghezza. (_LA=_LAvd_x, _G=_Gud_x, _C=_Cud_x).

Fra le posizioni _x e _x+d_x lungo la linea, troviamo tensione e corrente in quanto ci sono cadute di tensione dovute ad _R e _L e perdite di corrente dovute a _C e _G.

Cadute di tensione

Nel tratto A, tenendo conto del verso scelto di corrente d_VA=_VA(_x+d_x,_t) - _VA(_x,_t) = -_{RA I}(_x,_t) - _{LA ∂t I}(_x,_t)

d_VB = _VB(_x+d_x,_t) - _V6(_x,_t) = _{RB I}(_x,_t) + _{LB ∂t I}(_x,_t)

La variazione di differenza di tensione fra i due conduttori è:

∇V(x+dx,t) - ∇V(x,t) = [V_A-V_B]-[V_A-V_B] =

=-R_A-R_B-L_A-L_B =

=-(R_A+R_B)I-(L_A+L_B) _d/∂t I=

=-RI-L ∂/