Laboratorio di fisica 3

Linea di trasmissione

Preso un circuito formato da un generatore di corrente continua e da tanti resistori in serie che formano un'unica maglia, la teoria dei circuiti prevede che si stabilisca una corrente I= e/R_t, e le tensioni V_i = I R_i istantaneamente.

Lo stesso se alimentiamo in regime sinusoidale o accendiamo una tensione continua costante e il circuito contiene capacità e/o induttanze: anche quando I è variabile nel tempo, si ipotizza che essa sia la stessa in tutti i tratti della maglia (le leggi di Kirchoff si basano proprio su questo).

Quando però il circuito è di grandi dimensioni (decine, centinaia di metri) questa approssimazione di istantaneità vale solo se le scale della variabilità dei segnali sono molto più grandi dei segnali stessi.

Escliamoci quindi di analizzare il comportamento dell'altro elementare usato per trasportare segnali su grandi distanze, cioè la cosiddetta linea di trasmissione (linee telefoniche, cavi coassiali, linee bifilari ne sono un esempio).

Linea come sistema a costanti distribuite

Più in generale, schematizziamo la linea come un sistema di due conduttori che connettono un generatore e un carico: il generatore è caratterizzato da una tensione V_g (t) e impedenza interna in serie Z_g, mentre il ...

carico è caratterizzato da un'impedenza Z_c. Le impedenze sono in notazione complessa in quanto il circuito che rappresenta il generatore, ad esempio, potrebbe essere l’equivalente di Thevenin di un circuito più complesso (stesso per il carico). In molti casi, Z_g si riduce ad una semplice R_g.

Schematizziamo quindi il cavo con due conduttori paralleli, aventi caratteristiche indipendenti dalla posizione e dal tempo:

• R_A è la resistenza del conduttore A, dovuta alla resistività del cavo
• ed R_B è l'analogo per il B.
• L_A è l'induttanza del tratto dx ed L_B è l'analogo per il B.
• G è la conduttanza fra i due cavi, nel tratto considerato, dovuta al non perfetto isolamento tra di essi.
• C è la capacità fra i due tratti del conduttore.

Tutte le grandezze possono essere espresse per unità di lunghezza: (L = L_Au dx, G = Gu dx, C = Cu dx).

Fra le posizioni x e x + dx lungo la linea, variamo tensione e corrente in quanto ci sono cadute di tensione dovute ad R e L e perdite di corrente dovute a C e G.

Cadute di tensione

Nel tratto A, tenendo conto del verso scelto di corrente

• dV_A = V_A(x+dx,t) - V_A(x,t) = -R_AI(x,t) - L_A∂/∂t I(x,t)
• dV_B = V_B(x+dx,t) - V_B(x,t) = R_BI(x,t) + L_B∂/∂t I(x,t)

Derivando entrambe rispetto ad x otteniamo

\( \frac{\partial^2 \vec{V}(x)}{2x^2} = -\vec{\Upsilon} \frac{\partial \vec{I}(x)}{\partial x} = +\vec{\Upsilon} \vec{\Sigma} \vec{V}(x) \)

\( \frac{\partial^2 \vec{I}(x)}{2x^2} = -\vec{\Upsilon} \frac{\partial \vec{V}(x)}{\partial x} = +\vec{\Upsilon} \vec{\Sigma} \vec{I}(x) \)

Dette equazioni dei telegrafisti (Lord Kelvin), riscritta in funzione del parametro complesso

\( j^2 = N \vec{\Sigma} \vec{\Upsilon} \)

detto parametro di propagazione, si ha

• \( \frac{\partial^2 V}{2x^2} - j^2 \vec{V}(x) \rightarrow \frac{\partial^2 I}{2x^2} - j^2 I = 0 \)
• \( \frac{\partial^2 I}{2x^2} \rightarrow \frac{\partial^2 I}{2x^2} - j^2 I = 0 \)

che hanno soluzioni del tipo

\( \vec{I}(x) = c_1 e^{-jx} + c_2 e^{jx} \)

con \( \vec{\Xi}(x) = \vec{V}(x) o \vec{I}(x) \).

L'espressione di j in funzione delle caratteristiche della linea è

\( j^2 = \left[ (R + j\omega L)(G + j\omega C) \right] \)

Tensione in funzione di posizione e tempo

Esprimendo la soluzione in funzione delle costanti complesse

se \( \vec{A}_1 \) e \( \vec{A}_2 \) (contengono delle fasi, \( \vec{A} = \Delta e^{j \phi} \) ) abbiamo

\( \vec{J}(x) = \vec{A}_1 e^{-px} + \vec{A}_2 e^{px} \)

= \( \vec{A}_1 e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} + \vec{A}_2 e^{\alpha x} e^{j\beta x} \)

dove α e β sono rispettivamente

• α = Re p
• β = Im p

α è la costante di attenuazione mentre β è detta costante di fase (o di slittamento di fase).

I(x)= -₁/_Z̅0 ∂V(x):

=-₁/_Z̅0 ∂/∂x (A₁e^−βx + A₂e^βx)·

=-₁/_Z̅0 (−βA₁e^−βx + βA₂e^βx)·

= β/_Z̅0(A₁e^−βx−A₂e^βx)=

= ₁/_Z̅0/γu[A̅₁e^−βx−A̅₂e^βx]

dove il denominatore ha le dimensioni di un'impedenza, che

indichiamo con Z̅₀ (Z̅ un numero complesso Z̅₀=Z̅₀e^iΨ)

Z̅₀= √_z̅0/y̅u = √_Ru+jωLu/Gv+jωC_v = √_Lu/Cv Ru/Lu+j·ω1

G_v/C_v+j·ω

ottenendo quindi l'espressione di I(x,t) come

I(x,t) = Re[₁/_Z̅0e^iΨ A₁e^{[β+(α+jβ)x]}e^jωt+₁/_Z̅0e^iΨA₂e^{[α+jβ]x]ejωt]=}

= A₁ e^−βxcos(ωt−βx+φ₁−Ψ)−A₂cos(ωt+βx+φ₂−Ψ)

/_{Z̅0 Z̅0}

in cui riconosciamo due onde di corrente. Una progressi-

va e l'altra regressiva, in cui il rapporto tra tensione e

corrente vale Z̅₀ indipendentemente da posizione e tempo.

Un'eventuale componente reattiva di Z̅₀ produce uno spo-

stamento di -Ψ (si noti che Ψ può esistere sia Z₀ che ω₁

perché dipende dalla frequenza e dai valori dei parametri della linea).

Caso interessante si ha per Ψ = 0, cioè Z̅₀ reale. Questo si

verifica banalmente con la linea non è dissipativa o

di alte frequenze, cioè Ru = G_v = 0, oppure quando queste

sono trascurabili rispetto ad ωLu e ωC_v. L'altro

Onde per adattamento

Tensione e corrente d'ingresso si propagano fino all'altro capo.

Segnale con altro estremo della linea

Al tempo t = t₀ il segnale arriva all'altro estremo della linea: chiamiamo U_out la sua ampiezza, che risulta pari al V_in moltiplicato per e^-aL. Anche la corrente risulta ridotta dello stesso fattore, poiché lungo la propagazione dell'onda incidente è stata rispettata la condizione R₀ = V/I. Abbiamo allora

• U_out = U_in e^-aL
• I_out = I_in e^-aL = ^U_out/_Vin I_in = ^{U_out (R _c - R_g)}/_{Rg Ro} - ^V_out/_Ro

A questo punto possono verificarsi varie situazioni, a seconda della resistenza posta al termine della linea (in generale si tratta di un'impedenza che può avere anche una componente reattiva, tipicamente capacitiva).

Linea adattata

Se la linea termina con R = R₀, quando il segnale arriva in fondo trova la stessa condizione V/I = R₀ rispettata, dunque non accade nulla, se non che questa volta la resistenza è reale e assorbe quella I e quella V, la linea si comporta come se fosse infinita (non c'è nessun segnale di ritorno).

In questo caso è ovvio che la resistenza di carico dissipa istantaneamente una potenza I(t)·V(t), ovvero, essendo i due in fase, pari ad I²/2R_o