La ricerca degli asintoti orizzontali e verticali

La ricerca degli asintoti orizzontali e verticali

Sappiamo che un asintoto di una funzione f(x) è una retta la cui distanza dal grafico di f(x) tende a 0 man mano che un generico punto P sul grafico si allontana all'infinito.

Tipi di asintoti

• Asintoto verticale
• Asintoto orizzontale
• Asintoto obliquo

Data la funzione, cerchiamo le equazioni dei suoi asintoti orizzontali e verticali.

Il dominio della funzione è D = ℝ − {±1}.

Asintoti orizzontali

La retta di equazione y = 4 è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.

Asintoti verticali

Le rette di equazioni x = 1 e x = −1 sono gli asintoti verticali.

Un asintoto orizzontale di equazione y = c si ha quando:

Un asintoto verticale di equazione x = x₀ si ha quando:

In generale, gli asintoti orizzontali si determinano calcolando, mentre quelli verticali calcolando, dove x₀ non appartiene al dominio.

Determiniamo le equazioni degli eventuali asintoti orizzontali e verticali delle seguenti funzioni

• a) \( y = \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 1} \);
• b) \( y = \frac{1}{\text{sen} \, x - 1} \).

Analisi della funzione a)

La funzione data è una funzione razionale fratta, il cui dominio è \(-\infty; -1[ \cup ]-1; 1[ \cup ]1; +\infty[\), ossia D: x ≠ ±1.

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio, ricordando che se \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = l\), allora la retta y = l è asintoto orizzontale, mentre se \(\lim_{x \to c} f(x) = \infty\), la retta x = c è asintoto verticale.

\(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 1} = 3\) → la retta y = 3 è asintoto orizzontale.

\(\lim_{x \to -1^\pm} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 1} = \pm\infty\) → la retta x = -1 è asintoto verticale.

\(\lim_{x \to 1^\pm} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 1} = \pm\infty\) → la retta x = 1 è asintoto verticale.