Gli asintoti obliqui e la loro ricerca

Gli asintoti obliqui e la loro ricerca

Data la funzione y = f(x), se si verifica che

^lim_{x → ∞} [f(x) − (mx + q)] = 0,

si dice che la retta di equazione y = mx + q è un asintoto obliquo per il grafico della funzione. Analoga definizione si ha se si sostituiscono +∞ o −∞ a ∞.

Dimostrazione della distanza da un asintoto obliquo

Dimostriamo che la distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un suo asintoto obliquo, di equazione y = mx + q, tende a 0 quando x tende a ∞ (figura 13).

Chiamiamo H il piede della perpendicolare da P alla retta y = mx + q. PH è la distanza del punto P dalla retta. PQ è invece la distanza tra due punti, presi sull’asintoto e sul grafico della funzione, e aventi la stessa ascissa.

^lim_{x →−∞} f(x) = ^lim_{x →−∞} (mx + q),

da cui:

^lim_{x →−∞} f(x) = ∞, condizione necessaria (ma non sufficiente) per l’esistenza dell’asintoto obliquo.

Infatti, per la definizione di asintoto,

^lim_{x→∞ PQ} = ^lim_x→∞ |f(x) - (mx + q)| = 0,

ma, poiché PQ e HP sono rispettivamente l'ipotenusa e un cateto del triangolo rettangolo QHP, si ha:

PQ > PH > 0.

Per il teorema del confronto:

^lim_x→∞ PH = 0.

La ricerca degli asintoti obliqui

Teorema

Se il grafico della funzione y = f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q, con m ≠ 0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti:

• m = lim_{x → ±∞} [f(x)/x];
• q = lim_{x → ±∞} [f(x) - mx].

Dimostrazione

Se esiste un asintoto obliquo, è vero che

lim_{x → ±∞} [f(x) – (mx + q)] = 0,

e quindi, dividendo per x ≠ 0,

lim_{x → ±∞} [f(x) – (mx + q)]/x = 0 → lim_{x → ±∞} [f(x)/x – m – q/x] = 0,

e, poiché lim_{x → ±∞} m = m e lim_{x → ±∞} q/x = 0, deve essere:

m = lim_{x → ±∞} [f(x)/x].

Una funzione può avere un asintoto obliquo solo se lim_{x → ±∞} [f(x)/x] = ±∞, o uno dei limiti analoghi con ±∞ o –∞.

Il teorema è valido anche se al posto di ∞ mettiamo ±∞ o –∞.