La macchina di atwood

La macchina di Atwood

La macchina di Atwood è un sistema meccanico inventato e utilizzato per la prima volta nel 1784. Consiste in una puleggia priva di massa, in grado di ruotare senza attriti su un perno. Sul bordo della puleggia corre una fune inestensibile ed a sua volta priva di massa. Ai capi della fune sono appesi due corpi rigidi che poniamo avere massa.

Definizione

La macchina di Atwood è utilizzata nelle classi di meccanica per dimostrare il secondo principio della dinamica. L'obiettivo è quello di determinare il valore dell'accelerazione dei due corpi, ipotizzando che m₁ sia maggiore di m₂, si verifica che:

• m₁ è la massa del primo corpo
• m₂ è la massa del secondo corpo
• a è l'accelerazione del sistema (la stessa per entrambi i corpi)

Applicando il secondo principio della dinamica al corpo m₁ ed al corpo m₂ si ottiene, rispettivamente:

T - m₁g = -m₁a

m₂g - T = m₂a

dove T è la tensione della fune, g è l'accelerazione di gravità. Sommando membro a membro si ottiene:

a = [(m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)]g

T = [2m₁m₂ / (m₁ + m₂)]g

L'accelerazione degli oggetti, come si vede, dipende dalla differenza tra le masse m₁ e m₂, mentre la tensione T della fune dipende dal valore delle masse.

La macchina di Atwood (carrucola)

• Ipotesi: La corda è inestensibile ed ha massa trascurabile (rispetto a m₁ e m₂) ⇒ La tensione T è la stessa lungo tutta la corda
• Ipotesi: Anche la carrucola è priva di massa (altrimenti dovremmo introdurre il momento d'inerzia)
• I due corpi sono collegati dalla fune (inestensibile), quindi gli spostamenti sono uguali |Δs₁| = |Δs₂| |v₁| = |v₂| |a₁| = |a₂| = a

Calcolo dell'accelerazione

Scriviamo la legge di Newton separatamente per i due corpi:

(T - m₁ · g = m₁ · a₁ = m₁ · a)

(T - m₂ · g = m₂ · a₂ = -m₂ · a)

(a₁ = a ; a₂ = -a)

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima per trovare l'accelerazione:

(T - m₂ · g) - (T - m₁ · g) = m₁ · a - (-m₂ · a)

m₂ · g - m₁ · g = m₁ · a + m₂ · a

g · (m₂ - m₁) = a · (m₁ + m₂)

a = \(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\) · g

m₂ = m₁ ⇒ a = 0 ⇒ I due corpi rimangono in equilibrio, non si muovono

m₂ > m₁ ⇒ a > 0 ⇒ m₁ va verso l'alto e m₂ si abbassa