La forma indeterminata +infinito - infinito

La forma indeterminata

+∞ - ∞

La forma indeterminata

+∞ - ∞

La forma indeterminata +∞ − ∞

ESEMPIO

1. \( \lim_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{x^2+1} \right) \) si presenta in forma indeterminata +∞ − ∞, perché:

\( \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \) e \( \lim_{x \to +\infty} \left( -\sqrt{x^2+1} \right) = -\infty \).

Per calcolare questo limite possiamo riscrivere la funzione data in modo che nell'argomento del limite scompaia la differenza \( x - \sqrt{x^2+1} \) e appaia invece la somma \( x + \sqrt{x^2+1} \).

Per far ciò, moltiplichiamo e dividiamo la funzione per \( x + \sqrt{x^2+1} \):

\( x - \sqrt{x^2+1} = (x - \sqrt{x^2+1}) \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{-1}{x + \sqrt{x^2+1}} \).

• Abbiamo usato il prodotto notevole
• \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), con \(a = x\) e \(b = \sqrt{x^2+1}\).
• Nota che \(x+\sqrt{x^2+1}\) è sicuramente diverso da 0.