La forma indeterminata inf/ inf

Forme indeterminate e calcolo dei limiti

La forma indeterminata ∞/∞

Il limite di una funzione razionale fratta per x → ∞ si presenta spesso nella forma ∞/∞. Consideriamo il limite:

lim_{(x → +∞)/(x → -∞)}   ^{a₀xn + a₁xn-1 + … + a_n} / _{b0x^m + b1x^m-1 + … + bm}

Quando almeno un coefficiente delle potenze di x è diverso da 0 sia a numeratore sia a denominatore, il limite si presenta nella forma ∞/∞, poiché il numeratore e il denominatore tendono a ∞ quando x tende a ∞. Forniamo tre esempi di calcolo di limite con n > m, n = m, n < m. Qui, n e m sono rispettivamente il grado del numeratore e quello del denominatore.

Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore

Calcoliamo il limite:

^lim_x→+∞ ^{x5 − 2x2 + 1} / _{3x² − 2x + 6}.

Raccogliamo a fattor comune x⁵ al numeratore e x² al denominatore:

^lim_x→+∞ x⁵ (1 − ²/_x³ + ¹/_x⁵) / x² (3 − ²/_x + ⁶/_x²) = ^lim_x→+∞ x^{3 1 − 2/_x3 + 1/_x5} / _{3 − ²/x + ⁶/x²}.

Si ha quindi:

^lim_x→+∞ ^{x5 − 2x2 + 1} / _{3x² − 2x + 6} = +∞.

Semplifichiamo x⁵ con x²; possiamo supporre x ≠ 0 perché x tende a +∞ (lo stesso accadrebbe se x tendesse a −∞).

Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore

Calcoliamo il limite:

Raccogliamo a fattor comune x² sia nel numeratore sia nel denominatore. Per il teorema del quoziente dei limiti, la frazione tende a ^-2/₃, pertanto:

Osserviamo che ^-2/₃ è il rapporto fra i coefficienti della potenza di grado massimo, ossia di x², del numeratore e del denominatore. Semplifichiamo x² (certamente diverso da 0, visto che cerchiamo il limite per x tendente a ∞).

Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore

Calcoliamo il limite:

lim_x→-∞    ^2x-1 / _{x³ + 2x}.

Raccogliamo x al numeratore e x³ al denominatore:

lim_x→-∞    ^{x &left(2 - 1/_x&right)} / _{x³• (1 + ²/x²)} = lim_x→-∞ ¹/_x² • &left( ^{2 - 1/_x} / _{1 + ²/x²} &right) = 0.

Quindi:

lim_x→-∞    ^2x-1 / _{x³ + 2x} = 0.