La dinamica (forza, energia, sistema di punti, corpo rigido ed urti)

Dinamica

Forza e interazione

• Leggi di Newton

1. Limiti di velocità
   1. Valido solo in un sistema di riferimento inerziale
   2. C = v costante
   3. La velocità del punto deve essere molto minore della velocità della luce (3×10⁸m/s)
   • Principio di inerzia: Un punto non soggetto a forze con risultante nulla non modifica il modulo e la direzione della velocità;
   • La velocità resta in quiete;
   • V == v₀ quando questo è rettilineo uniforme;
   • La forza si mantiene con una variazione di velocità;
   • Si basa solo su una interazione tra i sistemi;
   • Fornisce la definizione di Sistema di Riferimento Inerziale: se d/dt v costante;
2. F= m ⋅ a
   • Permette di quantificare la forza e stato di moto;
   • Per questo determina la variazione della velocità;
   • È il massimo inerziale F = 0 (consiste la prima legge);
   • Legge universale;

   Spiega le cause del moto dei corpi:

   • Dà del moto causa efficace conosciuta;
   • Fissa e amplifica lo stato di inerzia;

   "Inerziaerà di un punto al variare e proprio lo stato di moto.

3. Se un corpo A esercita una forza F su un corpo B questo reagisce esercitando una forza F su A;

   (stessa direzione stesso modulo, verso opposto) strettamente di azione;

   • F_a,b = -F_b,a

   E₁ = m₁ a₁

   E₂ = m₂ a₂ a = F₂/m₂

   a= a₁ + a₂

   Somma di vettori

   Dimostrazione che la formula

   F = m ⋅ a è vettoriale

Ex 2.5

• V₀ = 50 m/s
• Θ = 50°
• h₀ = 50 cm
• x (Θ, h₀) = ?
• x (0, 0°) = ?

x(t) = V_0xt

y(t) = h₀ + V_0yt - 1/2 gt² = 0

x = V_0x t

y = h₀ + V_0yt - 1/2 gt² = 0

S = 0

Θ = 0

y = h₀ + 1/2 gt² = 0

x = V_0x t

S_Θ = 50 cm, S₀ = 0

x = V_0x √(2_h / g) = 159.6 cm

t = 2_h/g

Ex 2.20

• A, B
• h_A, h_B
• d g

x = v₀ x t

y = h_B + 1/2 gt² = 0

t = √(2h/g)

• Q₀, Kt
• h₀, u₂ cm
• h_B, u₁ 5 cm
• d_L 1.35 m

y = h_B - u₂ = 1

K = 2,3 s^-1

Q = e^-Kt

y = (h_B)(h_B, u_Lx) = K_L + 1/2 gt²

x(t) = N₀xt

N_L(t) = N₀ e^-Kt

N₀x(t) - Kx

x (X₀ - 1, e^-Kt)

N_L(t) = N₀ e^-Kt

N_L = N_L V/Kb

x = v_0xt + x(sub>L, N_L)

√(1/2 g) + Kb = 7.36 m/s

Forza elastica

F_el = -μ_xKx   [N/m]

Legge di Newton

E_x = μ_xü = m a = m d²x/

d²t

-μ_xKx = m d²x/

d²t = 0

w₀ = √(k/m)

eq. del moto armonico semplice

T = 2π/ω₀ √(m/k)

F_el + E = m a = 0

-μ_xKx + F_l = 0

F_l = Kx   → dinamometro

m g = 0 → m g = Kx

Ma Kx/g → bilancia

Forza di attrito viscoso

F_av = -b ẋ   m

-bẋ + mg = ma = m dü/

d²t = m dυ/

d²t = m g = b

dυ/

üt = - (g/

m) b υ/m)

1/dυ = dυ/

g (1/m)

dυ = dυ/dt

v = -mg/b t

υ = υo e

y = -υ mg/b = (υo - mg/b) e -b/m t

v = υo - mg/b

(υo - mg/b) e -b/m t

υ = υo - mg/

v∞ = mg

v∞ = mg/b (1 - e

-b/m t)

Il sistema tende

all'equilibrio

Esempio 3.14

y

x

a = 1.4 m/s²

F_a = N

μmg = ma

N = ma

F_a - mg = ma

F_a - mg < F_a - μN = m_sma

x

a = μg

a = g

Se il corpo scivola in basso con velocità uniforme:

μN = mg

μN x g = a = μ x g

Esempio 3.15

a = F_ea + F

a = F_ea + (F_ea + F)

F_ea + g = F + ma

Δk = F

F = K

μ

F_ea = -μNmg

Legge di Newton:

F_ea + (1/2) μmg

F_ea + (1/2) μmg

(1/2) μmg = F + ma

x

N = mg

x = μdmg = F = ma

a = F

m = F

μdmg

Esercizio 3.7

μ = 0.4

m₁ = 3 kg

m₂ = 1 kg

K = 25

Δx ?

Per m₁:

m₁g - m₂g = N₂ = am

m₂g = N₁

-N₂ = μ_mmg

m₁g - N₂ = F_a = m₂a

m₃F_e = mg

N₁ + F_e = mg - N₁ = F_a

massa 1

massa 2

Somma membro a membro:

F_ea(m₁ + 1) g = N₁(m₁ + m₂) a

x

F_e = (m₁ + 1)[ - Kx

x_max = F_mFg = μmg => a_max = μg

x_max = x_maxsin(ωt)

a = -μx = x_maxsin(ωt)

F = μFμg

dx

x = K

x = ω² = F = √(1/m₁ + 1)

x = F = K

x_max = (m₁ + m₁) μ_g

2) Punto lasciato in sosta lungo un piano inclinato liscio con velocità iniziale v₀ dove arriva.

_an = -v²/R, a = 0

Se c'è attrito:

W_nd = Em, -μmgcosβ

se K:

x = 1/2gt²

x = 1/2gt²/sinβ

3) Punto attaccato ad una molla verticale

mgz₀ = 1/2K(z_B-z_A)² + mgz_B

1/2K(z_A-z_B)² + mg(z_B-z_A) = 0

2 soluzioni:

z_B = z_A

1/2K(z_B-z_A) + mg = 0

Salto con elastico

1/2mv_₀² + 1/2mv_₁² + mgh_A + mgh_B = mgh_C + mgh_D

Dinamica dei Sistemi di Punti Materiali

m_i ï_i=F_i^(e)+F_i^(e)

F_i^(e) + F_i^(e) = F_i

ṗ = Σ ṗ_i

ṗ = Σ F_i^(e) + Σ F_i^(e) + R^(C)ΣF_j,i

⇒ R = R^(C)

Sistema di riferimento inerziale

Quantità di moto

ṗ = Σ m_i ï_i

Σ m_i a_k/dt - m Σ m_i a_k/dt

X_cm = Σ m_i x_i/m

v̇_cm = ṗ/m

ȧ_cm = Σ m_i a_i/m