K di una molla - Relazione di Laboratorio

N

∑ (x −x)(y −y)

i i A = y − b x

i=1

B = N 2

∑ (x −x)

i

i=1

x y x y

Dove e sono rispettivamente i valori della media aritmetica di tutti i valori sperimentali e .

i i

x y

In questo caso le saranno i valori relativi alla massa M e le saranno i valori relativi alla variazione di

allungamento Δx.

Le incertezze di A e B invece vengono calcolati tramite le formule:

√ N 2

∑ (x )

i √ N

i=1

σ =σ σ = σ

y y

A Δ B Δ

Dove: √ N 2

∑ ( y −a−bx ) N

i i 2

i=1

σ = ∑

e Δ = N ( x − x

)

y N −2 i

i=1

Per cui la retta dei minimi quadrati risulta: -1

A=(2.03±0.06)x10 B=(3.49±0.02)

−1

y = (

3.49 ± 0 .02)x + ( 2.03 ± 0 .06) × 1 0

Mettendo a sistema l’equazione della legge di Hooke e l’equazione della retta y=Bx+A si calcola la costante

k.

Essendo A≈0 possiamo scrivere: g

y = B x y = B x y = B x B =

con M=x e Δx=y perciò k

g

k k

⇒

M g = k Δx M = Δx x = y k =

si sostituisce

g g B

Da cui: m

9.81 N

2

k = = 2 .81

s m

(3.49±0.02) m

Kg

2. MISURA DINAMICA DELLA COSTANTE ELASTICA (

k

) DI UNA MOLLA

Per calcolare la costante elastica di una molla in stato dinamico con massa non trascurabile si ricorre alla

formula: m

(M + )

√

T = 2

π 3

K

Dove T è il periodo di oscillazione, M è il valore della massa sospesa all’estremità della molla, m è la massa

della molla e K è la costante elastica.

Con l’uso del cronometro si misura il periodo di oscillazione per dieci oscillazioni per cinque volte con masse

diverse, prima con una sola rondella (Rondella#1+Supporto) poi con l’aggiunta della seconda rondella e così

via fino alla settima rondella e si riportano i valori trovati nella tabella allegata, dividendo ogni tempo trovato

per il numero di oscillazioni.

Si calcolano i valori stimati con la media aritmetica delle cinque misurazioni effettuate e gli errori assoluti con

la deviazione standard, la cui formula è : √ N 2

∑ (x −x)

i

i=1

σ= N

Dalle misurazioni della massa effettuate in precedenza troviamo:

Massa (Kg) [M] T (s) [T]

-3 -1

(7.11±0.01)x10 (4.4±0.1)x10

-2 -1

(1.222±0.001)x10 (5.1±0.2)x10

-2 -1

(1.741±0.001)x10 (5.9±0.2)x10

-2 -1

(2.253±0.001)x10 (6.1±0.1)x10

-2 -1

(2.764±0.001)x10 (6.9±0.1)x10

-2 -1

(3.281±0.001)x10 (7.6±0.1)x10

-2 -1

(3.789±0.001)x10 (7.9±0.1)x10

-2

Essendo, invece, l’errore strumentale per il tempo (1x10 s) minore dell’errore trovato con la deviazione

standard, viene usato quest’ultimo come errore assoluto. 2

Per calcolare la costante elastica K dobbiamo calcolare la retta dei minimi quadrati graficando T in funzione

m

M + ) .

della Massa ( 3 m 2 2

T (s) [T ]

M +

Massa (Kg) [ ]

3

-2 -1

(1.226±0.001)x10 (1.9±0.3)x10

-2 -1

(1.738±0.001)x10 (2.6±0.5)x10

-2 -1

(2.256±0.001)x10 (3.5±0.4)x10

-2 -1

(2.769±0.001)x10 (3.8±0.2)x10

-2 -1

(3.280±0.001)x10 (4.8±0.2)x10

-2 -1

(3.797±0.001)x10 (5.8±0.3)x10

-2 -1

(4.305±0.001)x10 (6.3±0.2)x10

La retta dei minimi quadrati è quella retta di equazione:

y = A + B x

2

Dove y corrisponde a T e x alla Massa (M+m/3) e dove A è l’intercetta e B è il coefficiente angolare e

2

entrambi minimizzano la somma q = ∑

( y − a − b x ) degli scarti dei quadrati delle distanze verticali dei

i i

i

punti.

Le formule per calcolare A e B sono:

N

∑ (x −x)(y −y)

i i A = y − b x

i=1

B = N 2

∑ (x −x)

i

i=1

x y x y

Dove e sono rispettivamente i valori della media aritmetica di tutti i valori sperimentali e .

i i

x y 2

In questo caso le saranno i valori relativi alla massa e le saranno i valori relativi alla massa a T .