Istituzioni matematiche I

DIMOSTRAZIONE

L'idea di fondo è che q è "il più grande numero di gruppi di cardinalità b che posso tirar via".

Chiamo B = {k ∈ N : k x b ≤ a} => insiemi candidati quozienti ∈ (prendi insieme B fatto da N per cui k x b sia sempre ≤ a, zero ci sta sempre, il più grande k che c'è è il quoziente).

Esempio: a=26, b=3 B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} => B = {k ∈ N : k x b ≤ a} ∈ Scelgo q = massimo(B) r = a - q x b (a meno che ho raggruppato)

Devo assicurarmi che q esista, e cioè che:

• B ≠ ∅ per ogni scelta di a e b;
• B limitato a destra per ogni scelta di a e b.

Sicuramente B ≠ ∅ perché 0 ∈ B, indipendentemente da a e b, infatti ∅ ∈ 0 x b = 0 ≤ a.

Inoltre B è limitato a destra perché a ≥ k, per ogni k ∈ B.

Multipli e divisori

Definizioni

Dati a e b in N, se esiste k ∈ N per cui a = k x b ∈ allora diciamo che:

• a è multiplo

Altri modi per dire la stessa cosa (sinonimi):

• a è divisibile per b
• b divide a (si scrive anche b|a)
• b è un divisore di a (o anche un fattore di a)

Lo zero non si può dividere per zero ma può essere trattato in queste uguaglianze

Divisori e operazioni

Non è difficile mostrare le proprietà seguenti.

Divisori con somma, sottrazione e prodotto

Siano a, b, d e n numeri naturali.

1. Se d divide a (quindi a è multiplo di d) e divide anche b, allora d divide a+b.

Es: 24 multiplo di 3 e 9 è multiplo di 3 allora 24+9 (33) è multiplo di tre.

DIMOSTRAZIONE- a=d×k, b=d×j a+b=d×(k+j) => la somma è un certo numero di volte d⇒

2. Se d divide a e divide anche b, allora d divide anche a-b.

Es di prima. 24-3 =21 anche lui multiplo di 3(qui dobbiamo o chiedere a - b ≥ 0 o estendere in Z la nozione di multiplo)

DIMOSTRAZIONE- a=d×k, b=d×j a-b=d×(k-j)⇒

Se d divide a, allora divide anche a×n (∀n∈N) DIMOSTRAZIONE

a=d×k a×n=d×(k×n)⇒LA DIVISIONE IN Z

Quanto visto in N si può ripetere in Z, con qualche piccola accortezza.

Definizione di quoziente e resto di una divisione in Z

Dati a e b, con a Z e b Z \ {0}, il quoziente q e il resto r della divisione di a diviso b sono due∈ ∈numeri interi per cui

a=q×b+r

0 ≤ r < |b| (resto maggiore di zero e minore del modulo di b se no sarebbe maggiore di 0 emaggiore di -5 che non esiste)

Attenzione al resto!

L’unica differenza con la divisione in N è che, dato che b non può essere negativo, nonchiediamo più che 0 ≤ r < b, ma 0≤ r < |b|.

Alcune divisioni

Utilizziamo la definizione di divisione in Z per effettuare le seguenti divisioni:

1. 10∶ 3
2. 10∶ (−3)
3. −10∶ 3
4. −10∶ (−3)

1. Tutto positivo
10∶ 3 ha quoziente 3 e resto 1, infatti
10 = 3 × 3 + 1.

Nelle altre

1. Con divisore negativo

10∶ (-3) ha quoziente -3 e resto 1, infatti 10 = (-3) (-3) + 1. (Quoziente x -3 più resto)

2. Con dividendo negativo

-10∶ 3 ha quoziente -4 e resto 2, infatti -10 = (-4) 3 + 2. (q x 3 + r)

3. Divisore e dividendo negativi

-10∶ (-3) ha quoziente 4 e resto 2, infatti -10 = 4 (-3) + 2.

La divisione in Z

Attenzione! In Z nella divisione a b∶

1. Il resto è sempre ≥0 (e < |b|)

Se b<0, non ha senso chiedere 0≤ r

2. Se cambio il segno del divisore, semplicemente cambia il segno del quoziente.

Se vale a=q×b+r

allora vale anche a = (-q) × (-b) + r

quindi se q è il quoziente di a: b, -q è quello di a : (-b), e il resto resta uguale nelle due divisioni.

3. Se cambio il segno del dividendo, non è vero che basta cambiare il segno del

quoziente! Vale solo se r = 0 (no problem)
Infatti se a = q × b
allora -a = -q × b.
Se invece r > 0 e a = q x b + r
allora è vero anche -a = (-q) × b - r (anche r negativo ma devo farlo diventare positivo)
ma dobbiamo ricordare che il resto deve essere ≥ 0.
Cambio segno del dividendo, se r ≠ 0
Se a diviso b (a e b entrambi positivi) ha risultato (q,r)
con r > 0, allora non possiamo dire che -a diviso b ha risultato (-q,-r).
Dovremo lavorare sull'uguaglianza -a = (-q) × b - r
Vediamolo graficamente. Anzitutto sappiamo che a diviso b dà (q,r)
inoltre -a = -q × b - r (moltiplico per -1 entrambi i membri)
ma vogliamo ottenere -a come un multiplo di b più una quantità positiva, non meno una quantità positiva.
Il "trucco" è togliere una quantità pari a b da -q × b
A questo punto posso scrivere -a = -(q + 1) × b +

(b - r)e, siccome 0 ≤ b - r < |b| = b, il risultato della divisione di -a diviso b è -q - 1 e il resto è b - r. GIOCHI IN CLASSE ● Divisione in Z. Se ho a:b = (q,r) come si chiamano le quattro lettere? a = dividendo, b =divisore, q=quoziente, r = resto ● Divisione in Z. Se ho a:b = (q, r) quali proprietà sono vere? b≠0 / a=q x b+r / r≥0 / r< |b| ● a e b naturali con b≠0. a:b = (q,r) => (-a): b = (-q,r) solo se r = 0 ● in N ho a e b. Cosa vuol dire che b è un divisore di a? Che esiste un naturale k per cui a = kx b ● In una divisione il quoziente può essere zero? Sì ad esempio 4 ÷ 5 = 0 (q) e 4 (r) ● Il divisore può essere zero? No a:0 non si può fare. ● Lo 0 è multiplo di quali e quanti numeri naturali? Cioè 0 può essere scritto come K volte un altro numero. Lo 0 è multiplo di tutti numeri naturali (di infiniti numeri). ● Quali e quanti≤ a} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Quindi, il quoziente q sarà il massimo elemento di B, cioè q = 8. Il resto r sarà dato da r = a - q * b = 26 - 8 * 3 = 26 - 24 = 2. Quindi, possiamo scrivere l'equazione come a = q * b + r, cioè 26 = 8 * 3 + 2. In conclusione, abbiamo dimostrato l'esistenza e l'unicità del quoziente e del resto per ogni coppia di numeri naturali a e b, con b diverso da zero.<a>∈Scelgo q = max(B) (massimo del candidato quoziente) r = a - q * b Devo assicurarmi che q esista, e cioè che: 1. B ≠ ∅ per ogni scelta di a e b; 2. B limitato a destra per ogni scelta di a e b (non posso scappare verso infinito) 1. Sicuramente B ≠ ∅ perché 0 ∈ B (zero c'è sempre), indipendentemente da a e b, infatti ∅ ∈ 0 * b = 0 ≤ a (quindi l'insieme non è vuoto) 2. Inoltre B è limitato a destra perché a ≥ k, per ogni k ∈ B. B = {k ∈ N: k * b ≤ a} Quindi tutti gli elementi di B sono compresi tra 0 e a. Dunque q esiste sempre. Adesso dobbiamo verificare che q e r soddisfino le proprietà della definizione, cioè: 1. a = q * b + r 2. 0 ≤ r < b La prima è vera per come ho definito r (r = a - q * b). Per la seconda: 0 ≤ r è vera perché q * b ≤ a; (q * b) ∈ B Per mostrare che r < b ragiono per assurdo e suppongo r ≥ b. Il punto è che se fosse così, allora q non sarebbe il massimo di B, perché potrei trovare un q' = q + 1 tale che q' * b ≤ a, e quindi q' ∈ B, contraddicendo l'ipotesi che q è il massimo di B. Quindi, q e r soddisfano tutte le proprietà richieste dalla definizione.potremmo "raccogliere" ancora un gruppo di oggetti! Se fosse r≥b allora sarebbe r=b+c con c≥0. Allora a = q × b + r = q × b + b + c = (q + 1) × b + c il che indica che (q+1) ∈ B (q più uno appartenente a B vuol dire che era un possibile candidato) e allora q non è il massimo di B {k ∈ N: k × b ≤ a} ∈ assurdo perché noi abbiamo chiamato q il massimo, dunque deve essere r < b. Abbiamo dimostrato l'esistenza di q e r, e anche dato un modo per trovarli. Manca la dimostrazione dell'unicità. Supponiamo che esista una coppia (q ̄,r ̄) diversa da (q,r), per cui a = q ̄ × b + r ̄ con 0 ≤ r ̄ < b (Assurdo). Se fosse q ≠ q ̄, noto che deve essere q ̄ ∈ B (infatti q ̄ × b ≤ a). Se q ̄ ∈ B allora q ̄ < q e q ̄ + 1 ≤ q. Ne segue (q ̄ + 1) ∈ B (anche q barrato sta in B). Per definizione di B vuol dire (q ̄ + 1) × b ≤ a. Ma se q ̄ × b + b ≤ a allora posso

scriverea = q ̄ × b + r ̄ < q ̄ × b + b ≤ a

Il che è assurdo non può essere q ≠ q ̄.⇒Rimane come sola possibilità per la non unicità, che esista r ̄ ≠ r tale chea = q × b + r ̄0 ≤ r ̄ < bil che non è possibile dato cher=a−q×bper nostra definizione, e per quanto appena scrittor ̄ = a − q × b .

Questo conclude la dimostrazione.

Domande varie

• Può un quoziente essere nullo?

sì, tutte le volte che b>a (quando sono positivi)

Esempio 22:35 ha q=0 e r = 22, infatti 22 = 0 × 35 + 22

• Può un resto essere nullo?

sì, tutte le volte che a è un multiplo di b

Esempio 35:7 ha q=5 e r = 0, infatti 35=5×7

• Può un resto essere ≥ b? Può essere negativo?

no, per definizione di quoziente e resto della divisione

Errori di interpretazione

Molti studenti si confondono con le espressioni equivalenti• a

è divisibile per b; b divide a; b è divisore di a e dicono che tutte queste espressioni sono sempre vere (al che non si capirebbe perché abbiamointrodotto una definizione!). Quando dico che a è divisibile per a dico che a è k volte b. Chiedere se un numero è divisibile per un altro non vuol dire chiedere se si può fare la divisione (che si può fare sempre) ma se a (numero) è k volte b. La conf