Istituzioni Matematiche 1

-1,4 di compiti

dai

IJna raccolta esercizi d'esame

il

n (1,1,1)

punto P parallela

retta -

la alla

contenenSe e

/Sia ,t iì pianu r

di

ra De,crminare

ret i ;.

"quazioni "' ".1 ^

il

R (2,2,1).

punto inoltre i

- Determinare

ed

contiene Q

che il

punti di tali di vertici

triangoÌo

7? che sia

C1,C2 Q,Cr,Cz

con C1 Cz

base C2

di -

isoscele C1, 2.

\ il

la grafico

funzione disegrarne

Studiare segueÌte e

/ ,,-lrr"'-2

irdefinito

il integraÌe

Càr.olor. seguente

/ + z)

e'+3cos(.r. cl,t

I )

parameiro

il

/Dir.ut"r" lineare variare del

al

sistema

seguerLte

/' -1

^r+2a+z

t--L?,,_ \, 1

-

:3

4î+6A+z

2y 3z - 1

2. il grafico:

la funzione disegnarne

Studiare

- e

seguente

/ +lnlcosr

Y: senz

-I - reali nell'intervallo

ammelte zeri

se funzione

Verificare 1a il

.aso ivo. dprcrmirrarne

iu aff.rmal

.)0.2r Lurnpr,,.

"d

/ Cal"olat. il inteqrale inderirrito

scglrénlp

/- [ , '

., ,].,

""n,, 2rl

.J L

parametro

il al

lineare variare del

seguente sistema

Discutere :)

r

l,+zy+2,

( :

\g+z-i

{ 2.r.+ 1

2-t

t' =

I 3

t/ A: C-

(1,1,1), -

punti (7,2,1)

B 2),

i e (2,

dati Sia

1,

/Siano il

D punto retta

C

proiezione contenente

ortogonale del sulÌa

la AB.

Ialo triangolo

Determinare le del

equazioni delle mediane

B.

vertici

di D, C, r+y IIr

n:l I flz

o ipianì

eqttaztnne

/5," s'ano

pia.no e

d a

3. -

/ lI.

fI perpendicolare

paralleli distanti retta

1 da la

Sia

a e 7? a

fI E,

Detti

per P (1,2, le intersezioni

,4 e di

passante -1).

e = il

R lI1 punto

fI2 determilare di

c rispettivamerte,

con mezzo

s€n1 cos.I

,

,=LrL uG tt

(X,T)t

invertibile nell'intervallo

Tale funzione è jnl,cqrale

il

/CuIro)or. indefiniro

sequenle

/" 3'

[ r].,,

"6

lr

'I I

+. la funzione

//oxa I

1l;

r

(r) - -

iGt

arctg

-

Í 1r"

seguenti domande;

giustificare risposte alle

le positivi?.

fli'ziore valori

La assume

i( ,r"",1

la invertibile nell'intervallo

funzione

che è

Prova.re e

[2,4]

nel

la punto

della funzione inversa

derivata

determinare

a.: (.3)

Í

/ obliqui.

arnrlette

la asintoti

firnzionc

sc

Yatrfi,care ,1,e

:

n punti (2,3,

(1,0,

i 1)

retla 1).

e

congiungcnte

Si" P1 P2

/ la =

' : (1,1,1) il

R il

o punto

il piano sia

e

ed

contenente

Sia B

Q

:

7

ii

R punto (2,7,2). l'an-

Determinare

piano ed

contenente retta

S perpendicolare ad

Detta

tra passante

Ìa cr e

golo e

cr B. p.

tra S

per l'intersezione e

determinare

Q,

. : o'

r * lc

/ svilupparla for-

2ros ùp.ondo

funzione

la

o lt

Du,

t - poìinomio

pun*o ro col

0

in inrorno

un

Tnyìor

di deì

trlulu :

r

per

grado I'errore

stimare

di terzo

di Taylor e ].

il

/Ca"olor" inregrale irrclpfittiro

seguonte

/" I

l""nvQ-t-i/7ar

I 274

5. il

/ - grafico:

funzione disegnarne

Ia e

seguente

Studiare

./- -2-1

il indefinito:

integrale

seguente

)/Calcolare t-2 Z-

-=::ar

I \

J 1

l2ri I

palametro

il lineare variare del

Discttere seguente sistema aì :

trí :1

( zr+Ày+32 :

z

t"+zy+

) r

:1

2x+3a+z

\ :3

Iar++e+.1,

: ?i retta

la rappresentata

sia

1 sistema,

nel suddetto

Posto À quarta retta

7l2 la

sia

prima equazione del sistema

dalla e

dalla e dalla terza sistema.

seconda e equazione

rappresentata dalÌa de1

fI piano

il contiene

detto

complanari che

Verifica.re e

che sono 711

II

a

retta perpendicolare

la passa

e

7? che

e è

determina.re

7?z

per (1,0, 1).

": r

ioîeu:

/Dutu]u formuÌa

fun svilupparla Ia

tt+2sen secondo

cos :0

' punto poìinomio Taylor

intorno co col cli

del

Tuvlor in

di un :

per z

quarto grado I'errore

di stimare

e J.

6 ,/ il grafico:

funzione

la e disegna,rne

seguente

Studiare +tI.(r,2

- +

- ln(u2

1) 1)

i@) 2

il indefinito:

integra,le

seguente

CaIco\a;re

{ L-

_: dx

t ,""G

J +

,./3r I

) ).

parametro

il al

lineare variare deì

seguente sistema

/Discutere \r+y+z -L

:1-

\z

ly

2r - z:2

3r1)y :5

SSrigiz

) I R1 retta

Posto sia la

nel suddetto rappresentata

sistema,

=

prime retta

equazioni sia

due del sistema Ìa rappresen

dalle e 7?2

quarta

dalla sistema.

tata del Verificare

dalla terza equazione

e quindi retta

incidenti. passa

Determinare la

reite che

le sono

che punto perpendicolare R1

il

per ad

ed sia

loro d'interseziore è che

aRz : a

/ Iu y e2' Ìa

ltnzione svilupparla formula

secondo

Dutu sen punto polinomio di

in intorno del col

di Taylor 0

za

un - TayLor

: j.

r

per

ì'errore

grado

di stimzìre

terzo e

7. e'rfit^

rljsnAnarrro'l

n

-eAlerrre

ìa

Sr,tcl\ar" f1117jnnn

f tga 1

tgr+7 (f,",l") *

rell'intervallo

invertibile

funzione

ta.le è di

ffi la

la formula Taylor

funzione svilupparla

Data secondo

:

punto polinomio

1 di Taylor di

in un terzo

intorno del co1

:xo :

r

per

grado 1,1.

stimare I'errore

e : B

R (1,0,1) e - (1,0,2).

la retta congiungenie,4

Sia R

r il parallelo piano

e al

piano

Sia d'equazione

contenente

2z:

Í di

i piani un

1. Determinare formano f

angolo

+ che

-A

,I-

con

S. il grtr.fico

furrzione c tlisegnarrrc

Ìa scguente

Ét.,aiu," r:

in

funzìone derivabile

La suddetla è 1? : s4

g

prima +

la della funzione 5r2

derivata

che

Provare 6

radici reali.

3

ammette esattamente :

-

punti

n P,

.ongiungente i 3) 3).

(2,

e

la (1,

P1

retta,

Sia 2, 3,

/ retta

le per

passa

che

della

cartesiane

Determinare equazioni R.

Q: perpendicolare ad

Í,1,2) ed è

9. At il

la.cguenle grahco

disegnarn.

e

lunzìonp

ndiarn n'rr-^0

rt'l-f fi: perr=0

0

[ r:07P

z'I

in in

È

0? derivabile

coDtinua

Tale funzione è 276

A: B: C:

i punti (1,1,1)) (2,0,2) (2,3,2).

e

liano datí R ,4,8,C

' P.o,rur" un rettangolo verti-

avente

esiste come

che ,

ci. quarto

inoltre vertice

Determinare le coordinate del e le

di R

delle

coordinate dell'intersezione diagonali .

il grafico

Ia furrziorre disegnarne

seguerrte e

tO. 2/Stúiare ( 2-r2-t-t Derr<U

".

l.r)- (

f 3r'l2t'l s

x g

-

[ "r" Pe1

in

invertibiÌe in

funzione Tale funzione derivabile

è

Ta.le è 11,2]?

"-'

) {C il

alcolare seeuente Limite

a *"'")

f'l'+

\ ( (

// rr-,:o

r ,-,,r-:11=0

r -'s

-e- '-Y "

./ Îl I e.9,l

--

rette :

Verificare le

se x-2s=0

E-1:0

Ir |

sghembe.

sono

11. il grafico

funzione

la disegnarne

e

seguente

7y'Str:diare u:o'cts+ .'

il )

parametro

/Di.",rt"r" lineare al del

seguente sistema va.riare .

:I

., z

sen\g

( 2.rlylz

1 -0

I r+2!t senÀz

r -

I l

il limite:

seguente

YCulcolare ,3"o"L

J'Yr-*;n; :

3r2

12. !

5a2 ridurla

t" 6r - 2

d'equazione 70y 2

conica

1/O"tu il tipo

e e non

canonica determinarne se

forma

' .in degenere,

determinarne I'eccentricità1.

277

-,;'\.,

Xl.'r, ^ & -. P2-

h -

punti Pl e

(3,1,

retta i

la congiungente 1) 12,2,7).

2/Siu -0

f' !+t

'

retta

inoltre di .

ta r+::1 Verifrca,r

712

Sia e

t

"q.,uriolri

In afiermativo determinare

rette sghembe.

le caso le

due sono

se S

retta per I'origine inciderte

ed

passa.

che sia

equazioni della è

ad

ad R2

7l'1 che . gralìro

il

e disegnarnp

ld séguptrle IrtJr/ione

Studiare

1l tt r

-

/t2 ppr

,/Í'rt" -

| o

perr-0

-t

\ r:0/

in

Tale funzione derivabile

è

13. y'Stndiarela iì grafico

funzione

segllente disegnarne

e

4fi Po"-o

t'q-{ perr:0

2

|. tt

l-

d*

:0? '

z Ltî.-

irr

conti'rra

furrzio.c ò

Tale ):

il pa.rametro

lineare variare

al del

seguente sistema

2/Disatterc e^rly =0

:0

* e\z

y

e^r+e^y+z t'

) (1,5,2,7)

i il

per quali vettore

parametro

valori

Esistono del 1), (1,2,1,

vettori (2, À),

lineare dei À,2,

risulta combinazione

essere

+ 1,3,3)?

(3, À e' la

+

x formula

tn svilupparla

funzione = secondo

u

,/Data cos2 xro:0

punto polinomio di Taylor

Taylor in intorno

un del col

di :

per

l'errore z

grado

di ].

stimare

terzo e 278

I5. il

funzione grafico

e

seguente disegna^rne

ftútarela : arcto

u t

-

r/l"l ì.

r. il parametro

lineare variare

al del

seguente sistema

/Di".ut :

xlY ).2

- 1

n+(2- À)ya(7-2À)z -2

rtÀy-z -0

:1

r+z

limite

il seguente

Calcolare _______=i

"an,r"ar,L

ìim

r r0 to!

t6 il grafico

funzione

la seguente disegnarne

Studiare e

/ -2r I arctqe-.

*

r+e-"

-

il

1ftabol*. integrale indefinito:

seguente J,,/r,i1 ).

parametro

lineare

DiscutereÌl variare del

seguente sistema a.l

( L-I

t

"c+AY-32

J r- z:I

i ^r.y lÀ/

3s*72 I

I

, n il

,/Siarc il I 1

piano 2z ed punto

dati -

d'equazione A

p: r

P

di

(0,1,2). Ia su

Detta proiezione ortogonale

Q

' sià.

Í, per

R retta

ortogonale alla

rct\a passa

giace ed

su è

Ia che Q

( ., -_l

" ' ' Ac Bdi

- i

1"-o- punl,i

., .

diequazioni Derermina.re

S r-z:

t A,B,P AB

R vertici

iÌ

tali triangolo di con base

sia isoscele

che

misura

di 2.

17. il

./ grafico

Ia funzione disegnarne

Siudjare e

seguelìte 1

ez'+e'+ -

A= -arctge"'

+e2r

L

integrale nito:

indefi

seguente

/Cut"olur"il x-l

t

lm*

I parametro

il Ìineare variare del

al

Discrtere sistema À.

seguente

f S;"-zy+32*t=1

( 2t+Àg z:l

| 3st72l2t-^

I

| :

) il A (2,0,3,0)

parametro vettore

quali valori del

1/Per B:

' (1,I,sen),,

B (1,senÀ,

vettorl 1,2),

1),

lineare

combinaziole dei

è =

- (seù,,1,7,1')?

C

l8 ,/D^r, firnzione

1^.

/ !

a:"+.

D.r 1

seguenti-domandc:

giusl,ificarc alle

ln riqposre

/' di

intervalli

il funzione

di di

numero zeri tale ed

Determinare più quali radici.

nei eventuali

al cadono Ie

1

amptezza punti nell'inter-

minimo

di assoluto

Tale ammette

funzione

valÌo (0, 1]? in invertibiÌe neìl'intervallo

La funzione esarne è 11,4]?

/

I pa.rametro

il lineare variare del

al

sistema À.

seguente

Discutere ( =7

:2

n+y+,

^î+3u+z

) 'lt,,1,'

I _ 3 la retta.

scritto, R1

verificare

1 sopra

nel

- se

À sistema

Posto retta

prime e Ia

sistema

due dei

equazioni

dalie