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ISTITUZIONI di ANALISI

Scritto: 12 esercizi - proiezione 6/12 punti per l'orale

SPAZI NORMATI

Dato uno spazio vettoriale X su R (o su C), una norma è un'applicazione

||·||: X → [0, ∞)

con le seguenti proprietà:

• (a) ||x|| ≥ 0 ∀ x ∈ X positività
• (b) ||x|| = 0 ⇔ x = 0 annullamento
• (c) ||αx|| = |α|||x|| ∀ α ∈ ℝ (ℂ) e x ∈ X omogeneità
• (d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀ x, y ∈ X disuguaglianza triangolare

La coppia (X, ||·||) si chiama SPAZIO NORMATO

Ogni norma genera una distanza d sull'insieme X, strutturato a spazio metrico

d(x, y) = ||x - y|| ∀ x, y ∈ X

che è una distanza perché d: X x X → R ed è tale che:

1. d(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ X
2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y
3. d(x, y) = d(y, x)
4. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) ∀ x, y, z ∈ X

Un uno spazio normato si ha la nozione di topologia: A ⊂ X, A è aperto ⇔ ∀x ∈ A ∃r > 0 tale che

∀y ∈ X: ||y - x|| < r ⇒ y ∈ A

Nozione di convergenza: x_n → x ⇔ ||x_m - x|| → 0

Vedere la caratterizzazione della norma ||x - y|| ≤ 1 ⇒ x=y

ISTITUZIONI di ANALISI

_{Scritto: 12 esercizi → prova prerequisizione 6/13 punti per l'accesso}

SPAZI NORMATI

Dato uno spazio vettoriale X su R (o su C), una norma è un'applicazione

‖.‖ : X → [0, ∞)

con le seguenti proprietà:

• (a) ‖x‖ >= 0 ∀ x ∈ X positività
• (b) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0 annullamento
• (c) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀ λ ∈ R (C) ∀ x ∈ X omogeneità
• (d) ‖x + y‖ <= ‖x‖ + ‖y‖ ∀ x, y ∈ X disuguaglianza triangolare

La coppia (X, ‖.‖) si chiama spazio normato

Ogni norma genera una distanza strutturando X a spazio metrico

d(x, y) = ‖x - y‖ ∀x, y ∈ X

• d è una distanza perché d : X x X → R ed è tale che:
1. d(x, y) >= 0, ∀ x, y ∈ X
2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y
3. d(x, y) = d(y, x)
4. (Dim) d(x, y) = ‖x - y‖ = ‖(y - x)‖ = ‖-(y - x)‖ = ‖y - x‖ = d(y, x) □
5. d(x, y) + d(y, z) >= d(x, z) ∀ x, y, z ∈ X

In uno spazio normato si ha la nozione di topologia per ogni a, c ∈ X, r ∈ spazio

a ∈ A ⇔ esiste r > 0 tale che ∀ y ∈ X: ‖y - x‖ < r → y ∈ A

Nozione di convergenza: x_n → x ⇔ ‖x_n - x‖ → 0

Vede la ipotesi di esistenza della norma ‖x₁ - y₁‖ <= ‖x - y - 1‖

ESEMPIO 1

X = ℝ^m è spazio normato con la norma euclidea

||x|| = √(x₁² + ... + x_m²)   ∀ x = (x₁, x₂, ..., x_m) ∈ ℝ^m

→ ℝ^m è di Banach

||x||_p = (|x₁|^p + ... + |x_m|^p)^1/p   1 ≤ p < ∞

S_p = {x ∈ ℝ^m   |   ||x||_p = 1}

dim M = 2     • se p = 2           cerchio

• se 1 < p < 2

• se p = 1

• se p > 2

• se p → +∞

||x||_∞ = max_{1 ≤ i ≤ m} |x_i|

ESEMPIO 2

X = ^∞([a,b],ℝ)

||x|| = sup_{t ∈ [a,b]} |x(t)| = max_{t ∈ [a,b]} |x(t)| è una norma

→ ^∞([a,b],ℝ) è Banach con tale norma

ESEMPIO 3

||x||₁ = ∫_a^b |x(t)| dt è una norma ma

^∞([a,b],ℝ) non è di Banach rispetto a ||∙||₁

Fissato p e uno spazio misurato (X μ) si definisce

L^p = L^p(X m μ) = { f: X → R | f è misurabile e ∫_X |f|^p dμ < ∞}

L^∞ = L^∞(X m μ) = { f: X → R | f misurabile, t.c. ∀c > 0. μ({ x ∈ X | |f(x)| > c }) < ∞ }

ESEMPIO

X = [0,1] μ = m non è L^∞

LEMMA ∀p, σ e p = 0, ∞, L^p è uno spazio vettorale

DIM ▭ Dobbiamo dimostrare che se f ∈ L^p e α ∈ ℝ allora αf ∈ L^p

1□

0 < p < ∞

p = ∞

∫_X |αf|^p dμ = |α^p| ∫_X