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ISTITUZIONI di ANALISI

(sotto: 12 esercizi → proiezione 6 + 3 punti per esercizio)

SPAZI NORMATI

Dato uno spazio vettoriale X su R (o su C), una norma è un'applicazione

||.||: X → [0,∞)

con le seguenti proprietà:

• (a) ||x|| ≥ 0 ∀ x ∈ X positività
• (b) ||x|| = 0 ⇔ x = 0 annullamento
• (c) ||λx|| = |λ| ||x|| ∀ λ ∈ R (C), ∀ x ∈ X omogeneità
• (d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀ x, y ∈ X disuguaglianza triangolare

La coppia (X, ||.||) si chiama spazio normato

Ogni norma genera una distanza trasformando X a spazio metrico

d(x, y) = ||x - y|| ∀ x, y ∈ X

♢ è una distanza perché d: X x X → R ed è tale che:

1. d(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ X
2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y
3. d(x, y) = d(y, x)
4. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) ∀ x, y, z ∈ X

In uno spazio normato si ha la nozione di topologia: d: X X, l'aperto è rispetto a ∀ x ∈ A ∃ r > 0 tale che

∀ y ∈ X : ||y - x|| < r ⇔ y ∈ A.

Nozione di convergenza: x_n → x ⇔ ||x_n - x|| → 0

Note la ricoprimento della norma ||x - y|| ≤ ||x - y||.

Uno spazio normato è anche spazio di Banach se è completo come spazio metrico rispetto alla metrica indotta dalle norma

Esempio 1

X = ℝ^m è spazio normato con la norma euclidea

||x|| = √(x₁² + … + x_m²) ∀ x = (x₁, x_m) ∈ ℝ^m

⇒ ℝ^m è di Banach

||x||_p = (|x₁|^p + … + |x_m|^p)^1/p 1 ≤ p ≤ ∞

S_p = {x ∈ ℝ^m : ||x||_p = 1}

dim M = 2

• se p = 2

• se 1 ≤ p < 2

• se p = 1

• se p = ∞

• se p > 2

||x||_∞ = max_{1 ≤ i ≤ m} |x_i|

Esempio 2

X = ℓ^∞([a,b], ℝ)

||x||₁ = sup_{t ∈ [a,b]} |x(t)| = max_{t ∈ [a,b]} |x(t)| è una norma

⇒ ℓ^∞([a,b], ℝ) è Banach con tale norma

Esempio 3

||x||₁ = ∫_a^b |x(t)| dt è una norma ma

ℓ¹([a,b], ℝ) non è di Banach rispetto a ||x||₁

DISUGUAGLIANZA DI HOLDER

Siano p e p' esponenti coniugati. Se f ∈ L^p e g ∈ L^p' allora:

∫ |f g| dμ ≤ ||f||_p ||g||_p'

DIM Se p = 1 (⇒ p' = ∞)

f ∈ L¹ e g ∈ L^∞ ⇒ |g(x)| ≤ ||g||_∞ quaunque

f(x) |g(x)| ≤ f(x) ||g||_∞ q.o.

⇒ ∫ |f g| dμ ≤ ∫ |f| dμ ||g||_∞ = ||f||₁ ||g||_∞

Se 1 < p < ∞ allora uso la disuguaglianza di Young

ab ≤ 1/ρ a^p + 1/p' b^p' ∀ a, b ≥ 0

e considero a = |f(x)| e b = |g(x)|

∫ |f g| dμ ≤ ∫ 1/ρ |f|^p dμ + ∫ 1/p' |g|^p' dμ

(essere f ∈ L^p e g ∈ L^p')

Sommo f con 1 prezzo e g con un prezzo

∫ |f g| dμ ≤ 1/ρ ∫ |f|^p dμ + 1/p' ∫ |g|^p' dμ

= 1 = 1

Disuguaglianza di Young

ab ≤ 1/ρ a^p + 1/p' b^p'

DIM Considero t ≥ 0 che è limavia

∀ t₁, t₂ ≥ 0 ∀ λ ∈ [0,1]

log(t₁ λ a^p + (1-λ) t₂) ≥ λ log a^p + (1-λ) log b^p'

t₁ = a^p e t₂ = b^p'

Δ = 1/p ⇒ 1-1 = 1/p'

1/p

log(1/ρ a^p + 1/p' b^p') = 1/p log a^p + 1/p' log b^p' =

log a^p + log b^p' = log (ab)

1. Spazi L^p

1 ≤ p < q ≤ ∞ → L^q ⊆ L^p ⊆ ℓ^q ⊆ ℓ^∞

Prenedo p e q come sopra, prendo un elemento x ∈ ℓ^p con ‖x‖_p = 1

ovvero x = (x_m)_m∈ℕ tale che

∑_m=1^∞ |x_m|^p = 1 in particolare |x_m|¹ ≤ 1 ∀ m ⇒ ‖x‖_m¹ ≤ 1 ∀ m

⇒ |x_m|^q ≤ |x_m|^p = ∑_m=1^∞ |x_m|^q ≤ ∑_m=1^∞ |x_m|^p = 1

⇒ x ∈ ℓ^q e ‖x‖_q ≤ 1

Prendendo ora un qualsiasi x ∈ ℓ^p e chiami y = x / ‖x‖_p

y ∈ ℓ^p e ‖y‖_p = 1

⇒ y ∈ ℓ^q e ‖y‖_q ≤ 1

(‖x/||x||_p‖_q ≤ ‖x/||x||_p‖_q ≤ 1)

Se x ∈ ℓ^p allora ∑_m |x_m|^p ‹ ω ‘ereo

xm = 0 e dunque xm ≤ ω ∀ m

2. (X, m, μ) spazzo misurabile con misuruyo(X) ‹ ω

1 ≤ p ‹ q ≤ ∞ → L^p ⊆ L^q ⊆ L^∞

Fisso p e q prendo f ∈ L^q ∫ |f|^p dμ = ∫ 1 ≤ ||f||

e ((1/||f||^p))^q/p ∫_X |f|^p dμ^p/q = || f||^1-q/p ≪ ∞

Se f ∈ ℓ^∞ → ∃ c > 0 tale che |f(x)| ‹ c per quasi ogni x

∫_X |f|^p dμ ≤ cf ∫_X 1 dμ = ep μ(X) å ω

Esercizio

Sia (fₙ) ⊂ ℓᴾ(X,α) e sia (fₙᵢ) ⊂ ℒᵠ(α) con ℓₚ = ℓ

• Vale che fₙ = fₙᵢ in ℓᴾ e fₙᵢ → g in ℒᵠ ⇒ f = g a.p.o

Svolgimento

Da fₙ = f in ℓᴾ esegue che

• (fₙₖ) с (fₙ⋅ᵢ) vale che fₘₖ → f(x) per k→∞

a.p.o. x ∈ X

Essendo che fₙₖ → g um ℒᵠ anche fₘₖ → g in ℒᵠ.

Allora fᵢᵢₖ convergono anche

• (fₙₖ:jᵢ) ⊂ fₘₖ:

Se fₘₖ(x) → f(x) per a.p.o. x ∈ X

fₘₖₖ(x) → f(x) per a.p.o. x ∈ X

Per l'unicità del limite un ℓᴾ f(x) = g(x) per a.p.o. x ∈ X

Si verifica

Dora un poi si considerera lℝˣ(X,M,μ) con X = ℝᴹ con

Implicazione costruire un aperto compatto

• Denotata di ℓₑₑ(ℝᴹ) in ℓᴾ per 1 ≤ p < α

P(ℝᴹ) è sparabile

Importante

• Sia (S,d) spazio metrico E⊂S a due dense
• distanze chiuso 1 in Si E = S cioè se
• ∀ a ∈ S ∀ ε > 0 ∃ a ∈ E tale che

d(a₁,a₂) < ε

• E se sparabile lo estote un reo costruzione

Cleno e numerabile

Esempio

ℝ con la metrica euclidea e sparabile

• Q è denso in ℝ ed è numeralev

Convoluzioni

Date f, g: R^N → R, chiamiamo convoluzione la funzione f * g

(f * g)(x) = ∫_R^N f(x - y)g(y) dy

Bf(x,y)

ben definita ∀ x ∈ R^N dove ∃ z ∈ R^N f(x, .) ∈ L¹(R)

Teorema di Young

Se 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L¹(R^N), g ∈ L^p(R^N) ⇒ (f * g)(x) è ben definita per quasi ogni x ∈ R^N

Inoltre f * g ∈ L^p(R^N) e ||f * g||_p ≤ ||f||₁||g||_p

DIM:

Caso p = 1

F: R^N x R^N → R dove F = F(x,y)

La versione di Tonelli (ANALYSIS 3) dice che l’integrabilità per componenti implica integrabilità globale

Se ∫_R^N |f(x,y)| dx = ∫ |f(y)| dy < ∞ allora F ∈ L¹(R^N x R^N) dove → ∫_{R^N x R^N} |F(x,y)| dx dy < ∞

Teorema di Fubini

Dice che se F è localmente integrabile F ∈ L¹(R^N x R^N) allora le integrali per componenti

∫_R^N(∫_R^N f(x,y) dx) dy = ∫_R^N(∫_R^N f(x,y) dy) dx

P = 1

f,g ∈ L¹(R^N) ⇒ (f * g)(x) = ∫_R^N f(x-y) g(y) dy

Chiamiamo F(x,y) = f(x-y) g(y)

∫_R^N |F(x,y)| dx = ∫_R^N |f(x-y)| dx

= |g(y)| |F| = 1

g ∈ L¹(R^N) ⇒ |g(y)|≥ 0 quindi g ∈ F(,y) ∈ L¹R