Irraggiamento

Possiamo notare un’analogia con i circuiti elettrici: il flusso di calore è l’analogo del flusso di carica elettrica

è l’analogo della differenza di potenziale:

(corrente), mentre la differenza fra i poteri emissivi ̇

− =

12 1

1 2 1

⇒ =

12

1 1−2

(“Resistenza Geometrica”)

radiativa Spaziale o

Oppure in alternativa:

1 4

–

= =

ricordando che la radiosità segue la legge di Stefan Boltzmann, tale che

12

1 1−2

 Metodo delle stringhe incrociate:

Questo metodo approssimato semplifica enormemente il calcolo dei fattori di vista per due superfici che

si estendono infinitamente (con riferimento alla figura):

1 ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅

= [( + ) − ( + )]

1−2 2

1 Irraggiamento fra Corpi Grigi

Corpo Grigio:

si tratta di un’approssimazione applicabile

alle superfici reali, in certe situazioni. Lo

spettro della radiazione monocromatica di un

corpo grigio è uguale a quella del corpo nero,

scalata di un fattore.

=

, ,

L’approssimazione sta nel considerare lungo

lo spettro un’emissività media, ̅ = .

In realtà un corpo emette con uno spettro a

(),

picchi e creste, ovvero con molto più

complesso. In figura è rappresentato lo

spettro del sole visto da un osservatore sulla

terra (le radiazioni dunque hanno attraversato

lo spazio e l’atmosfera terrestre). Questo spettro può essere approssimato

= ≈ 0.6,

come proveniente da un corpo grigio avente ovvero che

≈ 5900).

irradia il 60% di un corpo nero alla temperatura del sole (

N.B. Risulta una buona approssimazione quando la maggior parte

dell’emissione sta a lunghezze d’onda elevate, per esempio per

< 2000 . Per temperature maggiori, può non risultare buona,

poiché la media dello spettro di un corpo reale non coincide con

corpo grigio e l’errore aumenta tanto più il picco di

quella di un ).

emissione è ad alta energia (basse Allora è necessario

> 1.5

considerare due valori di , uno per e un altro per

< 1.5 approssimativamente.

l’analogia elettrica

Lo scambio termico e per questi corpi necessitano le seguenti definizioni:

: = ℎ [ ]

2

′

à: = [ ]

2

La radiosità è definita sempre nello stesso modo, soltanto che per corpi riflettenti l’espressione varia poiché

l’energia emessa, ma comprende anche l’energia riflessa:

non coincide, come nel caso del corpo nero, con 4

= + Energia

Energia riflessa

irradiata

= 0 = 1, =

N.B. Nel caso di corpo nero e dunque ritroviamo come definito in precedenza.

(),

Il flusso netto di energia da una superficie chiamato anche Perdita di calore, viene dunque definito:

̇ = ( − ) = 1 −

Supponiamo che la superficie considerata abbia trasmittanza nulla. Allora e dunque:

−

− =−

̇ 4

(

⇒ = − ) 1−

Questa equazione è un’analoga legge di Ohm per l’irraggiamento di corpi reali approssimati come corpi grigi.

può essere vista come un potenziale motrice per l’espulsione di calore attraverso una

−

La differenza

superficie non nera, regolata da una resistenza definibile come:

1−

=

(“Resistenza Superficiale”)

N.B. Questa resistenza dipende dalla e non dal fattore di vista, ovvero dalla geometria. In altre parole è

l’opposizione che riceve l’energia nel lasciare per irraggiamento un corpo data la sua natura non nera.

Come già notato per i corpi neri, possiamo scrivere il netto trasferimento di calore per irraggiamento dalla

superficie a una superficie (grigie) come:

1 2 ̇ ( )

= −

12 1 1−2 1 2 4

≡ =

N.B. Nel caso dei corpi neri

Per trovare la resistenza spaziale dobbiamo anche considerare il fatto che le superfici sono grigie.

>

Consideriamo per esempio due superfici ( ): il flusso netto che esce dalla deve eguagliare il flusso

1 2 1

netto uscente dalla superficie , così come deve essere uguale a quello scambiato fra le due.

2 −

1

̇ ̇

1

= =

1 12

1

− −

2 1 2

̇

̇ ̇

2 ⇒ =

= = 12

2 12

2

−

1 2

̇ =

12

{

12 1− 1 1−

= ∑ = ( ) + +( )

1 1−2 1 2

= 1 & =

Nel caso di piastre infinite e parallele ( ):

1−2 1 2

1

12 14 24 )

= ( −

1 1

+ −1

1 2

“Cavità” con corpi Grigi

–

Consideriamo una superficie grigia circondata da n superfici grigie, con la generica superficie indicata

con . La definizione di radiosità non cambia, ma dobbiamo considerare tutte le energie illuminanti la

superficie rispetto alla quale vogliamo conoscere la perdita di calore.

La superficie generica irradia verso una quantità di energia pari a:

=

−

Dunque sommando tutti i contributi del contorno (cavità) l’Irradianza

di sarà:

1

= ∑

−

Per il teorema di reciprocità: = ∑

−

⇒ = + (1 − )

Con lo stesso procedimento utilizzato per due superfici: 4

( − )

̇ ( )

= − =

−

1−

= =

dove resistenza superficiale della

La radiosità di raggiunge il contorno e si deve distribuire su tale recinto di superfici. I fattori di vista, grazie

alla loro natura complementare (regola della somma) possono essere interpretati come pesi di questa

distribuzione di scambio energetico. = ∑ = ∑

− −

Perciò: ̇ = ∑ ( − )

− −

Esempio: (Analogia Elettrica)

Consideriamo una cavità composta da 3 superfici grigie. Vogliamo conoscere la perdita di calore dalla

superficie (3), come risultato dello scambio termico per irraggiamento con il contorno (2) + (1).

Possiamo immediatamente passare alla schematizzazione di circuito termico:

Geometrie

differenti, ma

stessa analogia

elettrica = =

N.B. grazie al teorema di reciprocità:

− −

-superfici ≥ 2),

Il problema in generale, se la superficie di riferimento è circondata da (con è governato da

2-equazioni 2-incognite. = 2 , ,

in In questo caso quindi avremo 4 equazioni in 4 incognite ( e

1 2 3

̇ ).

3−.

Equazioni ai nodi: − − −

1 1 3 1 2

̇ ̇ ̇ 1

= + → = +

1 13 12

1 13 12

− − −

2 2 3 1 2

̇ ̇ ̇ 2

= − → = −

2 23 12

2 23 12

− − −

1 1 3 2 3

̇ −̇ ̇ 1

= − → =− −

3 13 23

1 13 23

Perdita di calore dalla superficie (3):

̇ ( ) ( )

= − + −

3−. 3 3−1 3 1 3 3−2 3 2

“Cavità” con corpi Reali

Data la dipendenza dallo spettro, le considerazioni sopra fatte sono applicabili alle quantità monocromatiche

Un’approssimazione è considerare piccoli intervallini

). Δ

(fissata dove le proprietà monocromatiche

possono essere considerate costanti: −

, ,

̇

: = ∞

̇ ̇ ̇

∑

, = ≈ Δ

∫

1−, , ,

0

{

, = ( )

, ,

̇ ∑

: = ( − )

,−. − , ,

Propagazione di Radiazioni Termiche nei Gas

In generale, lo scambio di calore fra due o più corpi per irraggiamento, è funzione anche delle proprietà ottiche,

della composizione e della geometria (intesa come volume) del mezzo in cui le radiazioni termiche propagano.

Se il mezzo è un gas, si aprono due scenari:

(: , , , , , … )

- Gas elementari :

2 2 2

hanno una struttura simmetrica e, per questo motivo, non assorbono né emettono radiazioni, a meno

di temperature talmente elevate da alterare le molecole o gli atomi (processi di ionizzazione e di

di