Iperstatiche

SIMMETRIA ED ASIMMETRIA DELLE STRUTTURE

Una struttura si dice simmetrica rispetto ad un piano π ortogonale al piano della struttura quando la parte destra risulta essere lo speculare di quella di sinistra.

Nello stesso modo possiamo definire una sollecitazione simmetrica rispetto al piano π se le forze agenti a destra del piano sono lo speculare speculare de quei agenti a sinistra.

È ovvio che il piano π ortogonale al piano della struttura è chiamato piano di simmetria e che la retta di tale piano è l’asse di simmetria S (che si trova sul piano in cui è contenuta la struttura).

In questo modo possiamo dire che una struttura piana è simmetrica se compiendo una rotazione di 180° attorno all'asse S di simmetria, ricopre se stessa.

ESEMPIO

Questo è un esempio di struttura simmetrica geometricamente e simmetricamente caricata del momento che facendo compiere al carico distribuito 9 a sinistra una rotazione attorno ad S, esso risulterà avere lo stesso verso ed intensità uguale.

ESEMPI DI STRUTTURE NON SIMMETRICHE

1. Com. F ≠ ρ; Mom. = Simmetria. Però le forze sono diverse

2. Anchè se è simmetricamente caricato: Vincoli non sono uguali Però non è una struttura simmetrica.

La struttura ha gli stessi vincoli e forze simmetriche ma è costituita da materiali differenti perciò non è simmetrica.

Questa struttura non è simmetrica perché le forze facendo compiere una rotazione attorno ad S, a rotazione ultima non hanno lo stesso verso.

In particolar modo la struttura è una struttura caricata in modo emisimmetrico o antisimmmetrico perché, se cambiamo versine agiscono su un lato del piano di simmetria. Si perviene ad una struttura simmetricamente caricata.

Esaminiamo ora la simmetria e l'emisimmetria delle caratteristiche della sollecitazione.

Vediamo il caso di trave appoggiata - appoggiata simmetrica geometricamente e simmetricamente caricata rispetto al proprio asse di simmetria.

Calcoliamo la legge di variazione del momento flettente tratto per tratto.

M(z)_AB = F(_L/2) = F(_f/2)

z = 0; M = 0

z = -_L/2; M = -F_L/2

M(z)_BC = (F/2)(_L+z) - _F(z)

z = 0; M = 0

z = _L/2; M = -_FL/2

M(z) = F(_L/2 + z) - F(_z)

z = 0; M = -F_L/2

z = -_L/2; M = F_L/2

T_AB = F; T_BC = 0

(c) = 0; T_DE = F - F = -F

Dunque riassumendo i dati ottenuti in uno specchietto:

M=0 F =0 N=0 V=0

N=0 W=0 N=0 W=0

T=0 V=0 T=0 V=0

m/2

Nella prima colonna abbiamo le caratteristiche della sollecitazione nella struttura emisimmmetrica.

Med N sono pari a zero perchè il unico modo affinché siano contemporaneamente rispettate le condizioni di equilibrio e l’emisimmmetria e che esse risultino nulle. Nella seconda colonna sono raggruppati i risultati dello spostamento lungo asse di simmetria.

Nella terza e quarta colonna sono esposti i risultati nel caso di struttura emisimmmetriicamente caricato con momento applicato in mezzeria cioè m e per l'equilibrio alla rotazione del concio, il momento a destra e a sinistra sono pari alla metà di m.

APPLICAZIONE DELLA SIMMETRIA ED EMISIMMETRIA NELLE IPERSTATICHE

Il vantaggio principale delle strutture simmetriche ed emisimmmetrichi è che si può protesare un taglio in corrispondenza dell’asse di simmetria in modo tale da studiare una sola parte ed estendere poi i risultati anche alla parte simmetrica in base a tutte le considerazioni fatte finora Tuttavia quando operiamo un taglio è opportuno inserire un vincolo il quale esplichi le condizioni imposte dai vincoli presenti o altri elementi che andiamo a "tagliare".

Per esempio su una struttura simmetricamente caricata possiamo operare un taglio e introdurre un vincolo che non ne alteri la

TRAVI ELASTICHE

Generalmente con le sole equazioni di equilibrio non è possibile risolvere tutti i problemi di natura statica in quanto molto spesso esistono anche i cosiddetti spostamenti deformativi delle travi e perciò chiamate travi elastiche. Infatti se pensiamo alle strutture iperstatiche intuiamo che non è possibile risolverle con le sole equazioni di equilibrio dal momento che il numero di incognite risulta essere maggiore delle equazioni di cui disponiamo. Dunque ciò che andremo a fare noi è, partendo dalle grandezze di spostamento, introdurre grandezze di deformazione che si leggano alla caratteristica della sollecitazione mediante le equazioni costitutive.

La scelta delle dimensioni dimensionali di deformazione e delle equazioni costitutive avviene con un metodo induttivo dedotto da considerazioni di carattere sperimentale.

Consideriamo una trave piana ad asse rettilineo con sezioni trasversali variabili (in funzione cioè dell'ascissa z che si considera). Dal punto di vista monodimensionale (dato che la trave risulta estendersi in lunghezza), essa risulterà caricata in ogni modo: cioè potremo trovarci forze assiali, forze ortogonali all'asse e coppie. Possiamo anche denotare con la seguente scrittura:

u(z) = w(z) e₃ + v(z) e₂

φ(z)

il campo di spostamento dei punti della trave, dell'asse della trave, e la rotazione φ(z) della corrispondente sezione. In ambito infinitesimo W (componente orizzontale), V (componente verticale) e le rotazioni si suppongono infinitesimi e cioè:

|u| ≪ 1

In questo modo possiamo conformare la deformata con l’indeforata.

Essendo la linea tratteggiata la linea

d'asse z per y < 0 vediamo le fibre

deformarsi; diversa per y > 0.

Δφ è l'angolo al centro dell'

arco di circonferenza.

La linea tratteggiata rappresenta invece,

le fibre longitudinali le quali non

subiscono alcuna deformazione.

Per l'angolo al centro Δφ possiamo scrivere:

Δφ = ½ <>  = ¾ <>  dove  = lunghezza reale

M = momento

E = modulo elastico longitudinali

⅚ = momento d'inerzia

Introduciamo il concetto di curvatura K:

K = ½ ; essendo z => K =< Δφ  è = ⅔

otteniamo quindi scrivendo K = ¼ ⅖

Per spostamenti infinitesimi possiamo considerare:

Δφ

L ≈ @ d[z] = K[z]

essendo dz la lunghezza infinitesima

ed essendo dφ la variazione di angolo

fra due sezioni di estremità del come elementi (figura)

Possiamo scrivere l'equazione costitutiva:

K[z] = ⅔  ¾ = rigidezza flessionale

A questa equazione associamo l'equazione di equilibrio :

d¹&dfrac34; = T – Θ &doteq ed essendo d¹&dfrac34; = 3

d²[z]

d²[z] = -9

d²[z]

f_z = Δf_z + Δt_z + 2Δf

H

f₀ = b Δt_zĭʟ

a = b = 1/2 ; Δt_z = -Δt_e

f_o = 0 quindi non c'è contributo estensionale ma solo flessionale.

Dunque l.i.c. da risolvere:

T(z) = E J α z ( 1 - z)

-------- ; H(z) = - E( ⅟ ........ - ......)

π(z) = -E J V(z) = 3/2 E J α z ( 1 - z)

I diagrammi:

HA

VA

Deformata

Possiamo anche calcolare la curvatura K (= M/EI)

R_i⁰ da z=0 a z=/3 (concavità verso l'alto) e crescente

da /3 in poi.

Reazioni vincolari:

VA = T(A) = 3/2 E J α t₁

-------- ; VB = T(B) = 3/2 E J α t₁

R_IA ≤3/2 E J α t₁ (con carsi senili nelle configurazone defornata)

LIN EL TERMO - FLESSIONALE:

• EJY^iv = 9
• EJY''''- 9z + ^- = -t
• EJY = 9z²
• = ( Cz₃ + C₂ - M + α t z )
• EJY = 9z³ + C₂ z
• -- + C₂ z
• --- + C₃ = ϕ
• EJY - (9z⁴/24 + C₂ z²/6 + C₃ z + C₄