Iperstatiche

Simmetria ed antisimmetria delle strutture

Una struttura si dice simmetrica rispetto a un piano Π orizzontale al piano della struttura quando la parte destra risulta essere lo speculare di quella di sinistra. Nello stesso modo possiamo definire una sollecitazione simmetrica rispetto il piano Π se i carichi agenti a destra del piano sono uguali e speculari a quelli agenti a sinistra.

È ovvio che il piano Π ortogonale al piano della struttura è chiamato piano di simmetria e che la traccia di tale piano è l'asse di simmetria s (che si trova nel piano in cui è contenuta la struttura). In questo modo possiamo dire che una struttura piana è simmetrica se, compiendo una rotazione di 180° attorno all'asse s di simmetria, ricopre se stessa.

Esempio

Questo è un esempio di struttura simmetrica geometricamente e simmetricamente caricata del momento che facendo compiere al carico distribuito q a sinistra una rotazione attorno ad s esso risulterà avere lo stesso senso ed intensità uguale.

Esempi di strutture non simmetriche

1. Anche se F ≠ [...], non è simmetrica perché le forze sono diverse.
2. Anche se è simmetricamente caricata, i vincoli non sono sullo stesso piano di una struttura simmetrica.

Simmetria ed assimmetria delle strutture

Una struttura si dice simmetrica rispetto a un piano π ortogonale al piano della struttura quando la parte destra risulta essere la parte speculare di quella di sinistra. Nello stesso modo possiamo definire una sollecitazione simmetrica rispetto al piano π se i carichi agenti a destra del piano sono la figura speculare di quelli agenti a sinistra.

È ovvio che il piano π ortogonale al piano della struttura è chiamato piano di simmetria e che la traccia di tale piano è l'asse di simmetria S (che si trova nel piano in cui è contenuta la struttura). In questo modo possiamo dire che una struttura piana è simmetrica se compiendo una rotazione di 180° attorno all'asse S di simmetria, ricopre se stessa.

Esempio

Questo è un esempio di struttura simmetrica geometricamente e simmetricamente caricata del momento che facendo compiere al carico distribuito q a sinistra una rotazione attorno ad S esso risulterà avere lo stesso senso ed intensità uguale.

Esempi di strutture non simmetriche

1. Com F ≠ P; mom = simm. perché le forze sono diverse
2. Anche se è simmetricamente caricata, i vincoli non sono unici; primo, i mom ≠ una struttura simmetrica.

Acciaio e rame: la struttura ha gli stessi vincoli e forze simmetriche ma è costruita da materiali differenti perciò non è simmetrica. In particolare modo, la struttura è una struttura caricata in modo emisimmmetrico o antisimmmetrico poiché se cambiamo i carichi, invertendo agiscono su un lato del piano di simmetria, si perviene a una struttura simmetricamente caricata.

Esaminiamo la simmetria e l'emisimmmetria delle caratteristiche della sollecitazione

Vediamo il caso di trave appoggiata - appoggiata. Simmetrica geometricamente e simmetricamente caricata rispetto al proprio asse di simmetria. Calcoliamo la legge di variazione del momento flettente tratto en tratto. Per questa struttura appena studiata ricordiamo che le reazioni vincolari in A, B sono state inserite in virtù del fatto che esse devono costituire una coppia opposta a quella costituita dai carichi esterni. Possiamo notare che il diagramma del momento flettente è simmetrico rispetto all'asse di simmetria mentre il diagramma del taglio risulta emisimmmetrico.

Vediamo ora il caso della trave emisimmmetricamente costruita (anche per questa struttura le reazioni in A, E dovranno costituire una coppia opposta a quella costituita dai carichi esterni). Facendo l'equazione di equilibrio attorno al modo A otteniamo le reazioni orizzontali dei carrelli. In maniera del tutto analoga al caso precedente riaviamo il diagramma del momento flettente e del taglio. Notiamo che il diagramma di (M) è emisimmmetrico mentre quello del taglio è simmetrico.

In generale possiamo dire che per le strutture simmetriche e caricate simmetricamente, le reazioni vincolari, le deformazioni, il diagramma del momento e dello sforzo normale sono simmetrici rispetto all'asse di simmetria mentre quello del taglio è emisimmmetrico. Vale il viceversa per le strutture emisimmmetriche.

Sollecitazione e spostamenti sull'asse di simmetria

Prendiamo una struttura simmetrica e simmetricamente caricata. Esempio caricato simmetricamente, le caratteristiche della sollecitazione saranno anch'esse simmetriche. Infatti, se dovessimo prendere un corpo elementare di trave in corrispondenza dell'asse di simmetria avremmo:

Possiamo vedere che in base a ciò il momento e lo sforzo normale possono essere diversi da zero in quanto soddisfano sia la condizione di equilibrio sia quella di simmetria. Altrimenti il taglio, soddisfi queste due condizioni, dev'essere necessariamente nullo. Se invece sul tratto in mezzeria esiste una forza _{F pp} il equilibrio alla traslazione verticale, ^V.