Introduzione alla probabilità

Lezioni Blitzstein

Lezione 1

Spazio dei campioni: è l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento.

Evento: è un sottoinsieme dello spazio di campioni.

Definizione naïve della probabilità

La probabilità di un evento A, P(A) = #casi favorevoli ad A / #casi possibili

Questa definizione fa una grande assunzione: che tutti gli esiti sono equiprobabili e che lo spazio degli esiti sia finito.

Scrivere contare gli insiemi

Regola della moltiplicazione: Se abbiamo un primo esperimento, con m₁ possibili esiti e un secondo esperimento tale che per ogni esito del primo ci sono m₂ possibili esiti, ...al k-esimo esperimento, allora ci sono m₁...m_k possibili esiti.

Es. per un gelato ci sono 4 coni e 3 gusti possibili:

Diagramma

3 · 2 = 6 possibili esiti

Es. probabilità di un full, in una mano da 5 carte

Coefficienti binomiale: (n k) = m! / (m-k)!k!

0 ≤ k ≤ m

Per scegliere una sottosequenza di k elementi da m, dove non conta l’ordine:

Denote:

m(m-1)...(m-k+1) / k! = m! / (m-k)!k!

Lezione 1

Spazio dei campioni

È l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento.

Evento

È un sottoinsieme dello spazio dei campioni.

Definizione naïve della probabilità

La probabilità di un evento A, P(A) = #casi favorevoli ad A / #casi possibili

Questa definizione fa una grande assunzione: che tutti gli esiti sono equiprobabili e che lo spazio degli esiti sia finito.

Evitare contare gli insiemi

Counting

Regola della moltiplicazione

Se abbiamo un primo esperimento con m₁ possibili esiti e un secondo esperimento tale che, per ogni esito del primo, ci sono m₂ possibili esiti, e per ogni esito ci sono m_y possibili esiti per y-esimo esperimento, allora ci sono m₁·m₂·m_y possibili esiti.

Es. per un gelato ci sono 2 coni e 3 gusti possibili.

C/ \W C\ /V

3·2 = 6 possibili esiti

Es. probabilità di un full, in una mano da 5 carte

S = (52) / (5)

Coefficiente binomiale

n / k = m! / (m-k)!k! = 0 se k>m

Per scegliere una sottoinsieme di k elementi da n, dove non conta l'ordine:

Denne de m(m-1)...(m-k+1) / K! = m! / (m-k)!k!.

Che succede al coefficiente x l'ordine conta?

Tabella di confronto: scegliere k oggetti da n

Lezione 2

Es: dividere 10 persone in un team da 6 e uno da 4 è (C10 6) = (C10 4) possibilità...

…equivalentemente possiamo pensare: in quanti modi è possibile mettere k oggetti indistinguibili in m scatole distinguibili?

Supponiamo di avere 4 box: m = 4 k = 6

Obbligiamo k+m-1 = m+k-1 posizioni

Oppure scegliere m-1 separatori:

Story proof: proof by interpretation

Es. 1:

Es. 2:

Immaginiamo di prendere k persone da m, con una di queste designato come presidente.

Scegliere presidente da m e poi:

Scegliere altri membri della commissione = scegliere k-1 da m per la commissione e poi scegliere presidente tra k-1

Abbiamo contato in 2 modi la stessa cosa.

Es. 3

Identità di Vandermonde

Abbiamo due gruppi di m persone e uno di n e ne scegliamo k

Non-naive definition of probability

A Probability Space is composed of S and P, where S is a sample space, and P is a function that takes an event A ⊂ S as input and returns P(A) ∈ [0,1] as output, such that:

P(Ø) = 0, P(S) = 1

P(∪_mA_n) = ∑_n=1P(A_n) if A₁, A₂, ... are disjoint and countable

Lezione 3

Il problema del compleanno

k persone, trovare la probabilità di 2 persone abbiano lo stesso compleanno. Escludendo il 29 febbraio, assumiamo i 365 giorni equiprobabili e indipendenti.

Se k > 365, P = 1

Se k < 365, P(no match) = 365 · 364 · ... · (365 - k + 1) / 365^k

P(match) ≈50.7% per k = 23

97.0% per k =