Introduzione alla fisica - studio della legge del moto di caduta libera di un grave

L’obbiettivo di questo esperimento è quello di verificare nella caduta libera di un grave

l’accelerazione di gravità ad un certo livello della superficie terrestre perché questa varia al variare

della distanza dal centro della terra. L'accelerazione di gravità è l'accelerazione che un corpo

subisce quando è lasciato libero di muoversi in campo gravitazionale. L'accelerazione di gravità (g)

prodotta dal campo gravitazionale terrestre nei pressi della superficie del pianeta è spesso usata

2

come unità di misura non-SI ed è stata posta uguale al valore convenzionale di 9,80665 m/s . Il

valore di g è un valore medio assunto convenzionalmente che approssima il valore

dell'accelerazione di gravità prodotta al livello del mare ad una latitudine di 45,5° dalla Terra su un

grave lasciato in caduta libera. Il valore dell'accelerazione di gravità aumenta con la latitudine

perché la rotazione della Terra, che produce una forza centrifuga che si oppone all'attrazione

2 2

gravitazionale fa sì che l'accelerazione di gravità sia 9,823 m/s ai poli e 9,789 m/s all'equatore.

Una piccola sferetta di metallo qualsiasi e di qualsiasi massa viene lasciata cadere da ferma e da

una certa altezza, sotto l’azione della gravità, descrive una traiettoria verticale raggiungendo una

quota finale. Fissato come riferimento un asse z che coincide con la traiettoria e orientato verso il

basso, indichiamo con z la quota da cui inizia la caduta del corpo al tempo t = 0 e con z la quota

f

finale fissa, per esempio la quota del sensore dove poggia la pallina per bloccare il cronometro,

raggiunta al tempo t. Ipotizzando che il moto della sferetta sia uniformemente accelerato si ha la

seguente equazione oraria che individua lo spazio percorso dal corpo:

1

   2

s (

t ) s v t a t

0 0 2

è la velocità iniziale, t è il tempo e a è l’accelerazione.

Dove s è lo spazio al tempo zero, v

0 0

la velocità iniziale risulta essere trascurabile per cui l’èquazione

Dato che la sfera parte da fermo

precedente diventa: 1

  2

s (

t ) s a t

0 2

Considerando che:  

v (

t ) v a t

0

scompare dall’equazione abbiamo:

E che il fattore v 0  

v (

t ) a t

Noi sappiamo che l’accelerazione gravitazionale è rivolta verso il basso perché è direzionata verso

il centro della terra quindi assume valore negativo e l’equazione viene modificata a :

1

  2

s (

t ) s g t

0 2

1

s (t) nel nostro caso viene indicato con z mentre s lo indichiamo con z che sostituiti

f o 0

nell’equazione la fanno diventare:

1

  2

z z g t

f 2

Questo esperimento, se condotto nel modo più appropriato possibile, ci consente di verificare se la

con l’equazione precedentemente scritta e quindi ci fa capire

caduta della sferetta sia descrivibile

che il moto è uniformemente accelerato, inoltre, ci permette di determinare a priori l’intensità

dell’accelerazione costante g ( nel nostro caso non nota ) di sferette di diverso materiale e di diversa

massa.

La strumentazione fornita in laboratorio comprende due sferette metalliche di diversa massa e di

un’asta millimetrata di lunghezza pari a 200.0 cm con scala decrescente verso il

diverso materiale,

basso di sensibilità 0.1cm/divisione. Su questa asta si trova un piccolo meccanismo che trattiene la

sferetta ad altezza regolabile e la rilascia a comando. A questo meccanismo è collegato un sensore

che lascia partire un cronometro di sensibilità 0.0001 s/digit quando la sfera viene lanciata e che

viene bloccato all’arrivo della stessa su un altro sensore che è una piccola piattaforma che lo blocca

appena avviene il contatto.

La sferetta viene posta tramite l’apposito meccanismo alla quota iniziale z scelta a piacere dallo

sperimentatore. Quando la sfera si trova nel meccanismo si deve azzerare il cronometro e questo

non parte fino al rilascio perché il circuito è chiuso. Appena la pallina viene rilasciata il cronometro

parte e al suo arrivo sulla piattaforma il circuito viene richiuso tramite il contatto e il cronometro si

ferma indicando sul display il valore del tempo determinato a quell’altezza dalla base. Come punto

di riferimento per la determinazione di z e z si prende il punto più basso della sferetta infatti da la

i f

con una squadretta si determina lo z ed è proprio quel punto che tocca per primo la piattaforma.

i

Questo procedimento viene ripetuto a otto quote diverse per sfera e per ogni quota si effettuano

dell’errore viene

cinque lanci. Di questi cinque lanci si effettua la media dei tempi e il calcolo

effettuato tramite semidispersione massima. Dato che la quota è sempre la stessa come errore sulla

media delle misure della quota viene presa la sensibilità dello strumento (0.1 cm) e a questa viene

associata un valore in più perché occorre stabilire ad occhio la posizione (0.2 cm) e si potrebbe

commettere un errore di parallasse. Una volta effettuate tutte le medie avremo otto quote e otto

tempi a sfera. Di questi valori di tempo se ne calcola il quadrato. Inoltre viene determinato anche il

valore di z con una squadretta che rappresenta il punto di contatto tra la pallina e la piattaforma.

f

Se per il calcolo dell’errore “a priori” facciamo riferimento alla quota z = (132.1 ± 0.4) cm, che è un

Δz/z = 0.3%. Come già detto l’errore

valore intermedio tra le quote misurate, il suo errore relativo è

sui tempi di caduta è stato valutato tramite la semidispersione massima delle cinque misure per ogni

quota; il valore più alto osservato è Δt = 0.006 s. Facciamo ora una valutazione dell’errore sul

quadrato del tempo di caduta riferendoci sempre alla quota, z = 132,1 cm, per la quale

2 2 2 2

t = (0.520 ± 0.001) s. Abbiamo che Δ(t) = 2 t Δt , con un errore relativo Δt

= 0.001 s /t =

0.01/0.270 = 0.037 = 3.7%. 1

 

Tenendo presente l’equazione possiamo stimare l’errore per l’accelerazione:

2

z z g t

f 2

  

 

( z z ) 2 t

g 0

.

2 0

.

2 2 * 0

.

001 0

.

4 0

.

002

         

f i 0

.

006 0

.

004 0

.

01 1

%

 

g ( z z ) t 195

.

5 132

,

1 0

.

520 63

.

4 0

.

520

f i 2

La seguente tabella riporta la media delle cinque misure dello z per tutte le otto quote:

i

SFERA 1 SFERA 2

1 14.4 ± 0.2 cm 17.0 ± 0.2 cm

1 1

19.5 ± 0.2 cm 23.9 ± 0.2 cm

2 2

28.1 ± 0.2 cm 34.1 ± 0.2 cm

3 3

42.1 ± 0.2 cm 45.5 ± 0.2 cm

4 4

57.3 ± 0.2 cm 63.4 ± 0.2 cm

5 5

73.4 ± 0.2 cm 72.2 ± 0.2 cm

6 6

86.3 ± 0.2 cm 84.5 ± 0.2 cm

7 7

112.9 ± 0.2 cm 99.9 ± 0.2 cm

8 8

z = 195.5 ± 0.2 cm z = 195.5 ± 0.2 cm

f f

La seguente tabella, invece, riporta la differenza tra lo z - z :

f i

SFERA 1 SFERA 2

82.6 ± 0.4 cm 95.6 ± 0.4 cm

8 8

109.2 ± 0.4 cm 111.0 ± 0.4 cm

7 7

122.1 ± 0.4 cm 123.3 ± 0.4 cm

6 6

138.2 ± 0.4 cm 132.1 ± 0.4 cm

5 5

153.4 ± 0.4 cm 150.0 ± 0.4 cm

4 4

167.4 ± 0.4 cm 161.4 ± 0.4 cm

3 3

176.0 ± 0.4 cm 171.6 ± 0.4 cm

2 2

181.1 ± 0.4 cm 178.5 ± 0.4 cm

1 1

1 Questi numeri indicano il numero della quota a cui ci stiamo riferendo.

3

La tabella seguente indica il tempo impiegato dalla pallina a cadere, ossia ad arrivare a z partendo

f

da z :

i SFERA 1 SFERA 2

0.415 ± 0.004 s 0.443 ± 0.002 s

1 1

0.4751 ± 0.004 s 0.4773 ± 0.0008 s

2 2

0.502 ± 0.001 s 0.493 ± 0.006 s

3 3

0.533 ± 0.002 s 0.520 ± 0.001 s

4 4

0.5612 ± 0.0004 s 0.5548 ± 0.0003 s

5 5

0.5863 ± 0.0006 s 0.5748 ± 0.0004 s

6 6

0.600 ± 0.001 s 0.594 ± 0.001 s

7 7

0.615 ± 0.002 s 0.6052 ± 0.0009 s

8 8

La seguente tabella invece riporta i tempi della tabella precedente al quadrato:

SFERA 1 SFERA 2

2 2

0.172 ± 0.003 s 0.196 ± 0.002 s

1 1

2 2

0.2257 ± 0.0008 s 0.2278 ± 0.0004 s

2 2

2 2

0.252 ± 0.001 s 0.243 ± 0.006 s

3 3

2 2

0.284 ± 0.002 s 0.270 ± 0.001 s

4 4

2 2

0.3149 ± 0.0005 s 0.3078 ± 0.0003 s

5 5

2 2

0.3437 ± 0.0007 s 0.3304 ± 0.0005 s

6 6

2 2

0.360 ± 0.001 s 0.353 ± 0.001 s

7 7

2 2

0.378 ± 0.003 s 0.367 ± 0.001 s

8 8

4

Si precisa che per il calcolo della media delle cinque misure sia del tempo che di z per ogni quota

i

viene effettuata con la seguente formula: n

 x

i

= 1

i

m N

Invece il calcolo dell’errore delle cinque misure del tempo da associare ad ogni quota viene

calcolato con la formula della semidispersione massima:



x x

  max min

x ;

2

L’errore da associare al tempo al quadrato viene calcolato con la seguente formula:



t  

2

( ) 2 * t * t

t

Adesso per l’elaborazione dei dati si sceglie di usare come variabili –

funzionali la differenza z z ,

f i

2

che rappresenta lo spazio percorso dalla pallina in caduta e t , il quadrato del tempo di caduta, in tal

caso la relazione tra le variabili è una retta passante per l’origine. Elaborando l’equazione:

1

  2

z z g t

f 2

Otteniamo che: 2 z 2

 

f

2

t z

g g

Che assume la forma dell’equazione di una retta Y = A + BX passante per l’origine degli assi,

ponendo: 2

Y= t ; A = 2 z /g; B = -2/g; X = z;

f 2

Si assegna il ruolo di variabile dipendente a t , ossia si esegue la regressione di questa variabile

sulla variabile z.

In allegato a questo documento vi è un foglio di carta millimetrata dove sono presenti i quadrati dei

2 ,

z – z )

tempi (t ) in funzione delle quote z (calcolate come scegliendo le scale delle ascisse e delle

f i

ordinate in modo da utilizzare tutto il foglio. I punti vengono interpolati dal valore più piccolo al

valore più grande. Alla fine si osserva che i punti sono ben distribuiti lungo un