Introduzione alla fisica - formulazione della legge del periodo del pendolo semplice

L'isocronismo è la caratteristica di un fenomeno che si svolge in un tempo costante. Nel caso del

pendolo, si osserva che le oscillazioni si svolgono (all'incirca) tutte nello stesso tempo, a

prescindere dalla loro ampiezza. Il periodo di oscillazione cresce con la radice quadrata della

lunghezza del pendolo: dunque, un pendolo lungo oscilla più lentamente di uno corto. Al fenomeno

dell'isocronismo è collegato quello della risonanza. Huygens osservò che, disponendo a fianco e

sulla stessa parete due pendoli, questi tendevano a sintonizzare il proprio movimento oscillatorio,

quasi come se "volessero assumere lo stesso ritmo".

La configurazione di equilibrio del pendolo è quella nella quale il centro di sospensione O, il filo

teso e il centro della sferetta sono allineati lungo una verticale (volgarmente: configurazione del filo

a piombo). Se a filo teso, allontaniamo la sferetta dalla posizione di equilibrio, lasciandola libera,

essa inizia ad oscillare attorno a questa posizione su un piano verticale. L’ampiezza delle

dall’angolo θ tra la verticale e il filo. Una grandezza caratteristica del

oscillazioni è individuata

pendolo è il suo periodo T definito come: il minimo intervallo di tempo dopo il quale la sferetta

riassume la stessa posizione con la stessa velocità vettoriale e la stessa accelerazione vettoriale. Si

vuole ricavare sperimentalmente la legge del periodo del pendolo in funzione della sua lunghezza e

di altre grandezze fisiche. Se trascuriamo la resistenza del mezzo ( nel caso di piccole ampiezze la





velocità della sferetta è piccola) le forze che determinano il moto del pendolo sono: ( : vettore

m g

g





accelerazione di gravità) e la tensione del filo. A priori si può supporre che il periodo T possa

dipendere: dalla massa m, dal materiale di cui è fatta la sferetta, dalla lunghezza del pendolo l, dalla

lunghezza dell’arco di traiettoria o l’ampiezza delle oscillazioni θ, dal campo gravitazionale



attraverso il vettore di accelerazione di gravità . Considerata la piccola variazione di quota della

g



sferetta nel suo moto il vettore può considerarsi costante per cui la nostra indagine consiste nella

g

determinazione del periodo T osservando l’influenza delle altre entità, una per volta.

Per l’esecuzione dell’esperienza si dispone di un metro a nastro di sensibilità 1 mm/div fissato su

una verticale, un filo non estensibile legato ad un supporto che scorre lungo l’asta dove si trova

posizionato il metro, una pallina collegata al filo e un cronometro di sensibilità 0,01 s/digit.

Prima di iniziare l’esperimento vero e proprio facciamo alcune misure preliminari. Mentre il

pendolo è già in moto da diverse oscillazioni, si fa scattare il cronometro quando la sferetta passa

per la posizione di equilibrio, ad esempio con il verso della velocità rivolto a sinistra, e lo si arresta

dopo n passaggi (oscillazioni) per la stessa posizione nelle stesse condizioni cinematiche. La misura

dell’intervallo t , corrispondente alle n oscillazioni, consente la determinazione del periodo del

n 1

pendolo T = t /n. Il riferimento alla posizione di equilibrio rende più facile per lo sperimentatore

n

stabilire quando avviare/arrestare il cronometro.

Valutiamo l’errore a priori. Con un pendolo di lunghezza l = 87.9 cm, ampiezza di oscillazione θ <

15°, si osserva che l’intervallo di tempo di n = 20 oscillazioni è t = 33.7 s. S può anche constatare

20

che ripetendo alcune volte la misura questa presenta una semidispersione massima di 0.2 s che

dovuti principalmente ai riflessi dell’operatore.

assorbe tutti gli errori casuali

L’errore massimo sul periodo, T = t / 20 e allora:

20

ΔT = Δt / 20 = 0.2 /20 = 0.01 s con un errore relativo ΔT / T = 0.01 / 1.69 = 0.0059 = 5.9%.

20

T = 1.69 risulta essere la media dei 10 tempi presi a 10 quote diverse diviso il numero delle

oscillazioni = 20.

Per la misura della lunghezza l, che include il raggio della sferetta, assumiamo un errore

abbondante:

Δl = 0.5 cm che dà luogo ad un errore relativo Δl / l = 0.5 / 87.9 = 0.006 = 0.6%

Possiamo ritenere che le misure del periodo T e della lunghezza l siano sufficientemente accurate per

procedere nell’esperimento della determinazione della legge del pendolo. Lo sperimentatore può anche

verificare che a parità di lunghezza, per ampiezze grandi θ = 50°, 70°, 80°, il periodo non è più costante. Lo

sperimentatore può anche verificare che il periodo T rimane invariato, entro l’errore di misura:

se ripete alcune volte la misura dell’intervallo di tempo t , senza mai arrestare il pendolo, con ampiezze di

20

oscillazione che vanno diminuendo;

se ripete le misure con sferette di diversa massa;

se ripete le misure con sferette di diverso materiale.

Possiamo ora osservare l’effetto della variazione della lunghezza sul periodo. La tabella sottostante riporta la

misura degli intervalli di tempo per 20 oscillazioni t e i rispettivi periodo T al variare della lunghezza del

20

pendolo con ampiezze di oscillazione piccole (inferiori a 15°).

l ± Δl (cm)

MISURA N° t (s) T (s)

20

1 29.0 ± 0.5 21.7 ± 0.2 1.09 ± 0.01

2 40 ± 0.5 25.1 ± 0.6 1.26 ± 0.03

3 50 ± 0.5 28.0 ± 0.1 1.40 ± 0.01

4 60 ± 0.5 30.80 ± 0.05 1.540 ± 0.003

5 70 ± 0.5 33.2 ± 0.1 1.66 ± 0.01

6 80 ± 0.5 35.75 ± 0.08 1.788 ± 0.004

7 90 ± 0.5 37.91 ± 0.06 1.896 ± 0.003

8 100 ± 0.5 39.4 ± 0.5 1.97 ± 0.03

9 110 ± 0.5 41.5 ± 0.5 2.08 ± 0.03

10 120 ± 0.5 43.64 ± 0.03 2.182 ± 0.002

Nel grafico n°1 in allegato sono riportati i periodo del pendolo al variare della lunghezza. Appare

chiaramente che la curva tracciata unendo i punti sperimentali non è una retta, ciò indica che la legge del

periodo non dipende linearmente dalla lunghezza. Osservando il grafico si vede che se la curva è

inizialmente approssimata con una retta, essa tende poi a flettere verso il basso denotando una legge

esponenziale il cui esponente intuiamo possa essere minore di 1. Le considerazioni fatte ci inducono a

proporre per la descrizione dei dati sperimentali, la seguente legge:

n

T = C l 

g

dove n, C sono costanti; C contiene il valore del modulo del vettore .

Per la determinazione delle 2 costanti si riscrive la formula precedente in forma lineare, Y = A + BX,

facendo il logaritmo naturale: 2

ln T = ln C + n ln l.

e ponendo:

Y = ln T, A = ln C, B = n, X = ln l .

Nella tabella sottostante invece riportiamo i valori delle variabili funzionali X = ln l, Y = ln T con le

rispettive incertezze (Δ ln l = Δl / l; Δ ln T = ΔT /T) determinando le giuste cifre significative per esprimere

tali valori. ln l ± Δl/l ln T ± ΔT/T

QUOTA N°

1 3.37 ± 0.02 0.0086 ± 0.009

2 3.69 ± 0.01 0.231 ± 0.02

3 3.91 ± 0.01 0.336 ± 0.007

4 4.094 ± 0.008 0.432 ± 0.002

5 4.248 ± 0.007 0.507 ± 0.006

6 4.382 ± 0.06 0.581 ± 0.002

7 4.500 ± 0.006 0.640 ± 0.002

8 4.605 ± 0.005 0.68 ± 0.02

9 4.700 ± 0.005 0.73 ± 0.01

10 4.787 ± 0.004 0.780 ± 0.001

Il grafico n°2 mostra la rappresentazione dei dati sperimentali tramite la variabile ln l verso la variabile ln T.

Abbiamo scelto di assegnare a ln T il ruolo di variabile indipendente poichè Δln T / ln T > Δln l/ln l; cioè

eseguiamo la regressione di ln T sulla variabile ln l. L’eccellente distribuzione dei punti su una retta indica

che l’ipotesi fatta sula relazione funzionale è valida.

Si procede adesso alla determinazione dei parametri A e B mediante il metodo grafico.

Poiché i valori delle due variabili del grafico n° 2 presentano molte cifre significative, è difficile espandere

sufficientemente le scale in ordinate e in ascisse per rappresentare tutti gli errori. Si traccia la retta che

meglio si adatta ai punti sperimentali e si tracciano i relativi errori rappresentabili. Scegliamo sulla retta due

punti a piacere, P = ( 3.37 ; 0.09), P = (4.79 ; 0.78), dalla pendenza della retta si ricava la costante n:

1 2  

ln T ln T 0

.

78 0

.

09 0

.

69

    

2 1

B n 0

.

4859

 

ln l ln l 4

.

79 3

.

37 1

.

42

2 1

Per la valutazione dell’errore, non potendo tracciare sul grafico le rette di massima e minima pendenza,

alla formula di propagazione dell’errore:

perché gli errori non sono tutti rappresentabili, ricorriamo

3 

 2 l

2 T

   

    

n ln T ln T ln l ln l 2 * 0

.

005 2 * 0

.

012

l

T

      

2 1 2 1

     

n ln T ln T ln l ln l ln T ln T ln l ln l 0

.

78 0

.

09 4

. 79 3

.

37

2 1 2 1 2 1 2 1

0

.

01 0

.

024

     

0

.

014 0

.

017 0

.

031 3

.

1

%

0

.

69 1

.

42

ottenendo:

Δn = 0.031*0.4859 = 0.02

Quindi il valore della costante n, con il suo errore massimo è:

n = 0.49 ± 0.02.

noto n e scelto a piacere sulla retta un punto P = ( ln l = 4.25 ; ln T = 0.51), si calcola il parametro A con il

0 0 0

suo errore.  

        

A ln C ln T n ln l 0

.

51 0

. 49 * 4

.

25 0

.

51 2

. 08 1

.

57

;

0 0    

          

A ln T ln l * n n * ln l 0

.

06 4

.

25 * 0

.

02 0

.

49 * 0

.

007

0 0 0

    

0

.

006 0

.

085 0

.

0034 0

.

09 0

.

1

Avendo assunto: Δ ln l = 0.007, Δ ln T = 0.006, che sono le incertezze dei dati sperimentali delle

0 0

coordinate del punto P , abbiamo:

0 A = - (1.6 ± 0.1)

Passiamo ora al calcolo della costante C: ΔC = e * ΔA = 0.1 * 0.2019 = 0.02

A -1.6 A

C = e = e = 0.2019 -0.49

Di conseguenza C = ( 0.20 ± 0.02) s * cm

Concludendo la legge del periodo del pendolo semplice, ottenuta dal metodo grafico è:

(0.49 ± 0.02)

T = ( 0.20 ± 0.02) l

La meccanica classica prevede per il periodo del pe