Introduzione al calcolo di reazioni vincolari in strutture isostatiche

Introduzione  al  calcolo  di  reazioni  

vincolari  in  strutture  isostatiche  

1.   Statica  dei  corpi  rigidi  

1.1   Forza  e  momento  di  una  forza  

Una   struttura   è   normalmente   soggetta   all’azione   di   carichi   (ad   esempio   il   peso   proprio,   la   folla,   la  

neve)   e   l’effetto   visibile   che   possiamo   percepire,   anche   se   lieve,   è   il   fatto   che   la   struttura   si   sta  

deformando.  Ad  esempio  una  trave  appoggiata  ai  due  estremi,  sotto  effetto  di  forze,  nel  tempo  si  

inflette  e  il  punto  in  mezzeria  subisce  un  abbassamento.    

C’è  un  forte  dualismo  tra  statica  (forze)  e  cinematica  (spostamenti  e  deformazioni).  Possiamo  vedere  

la   forza   come   la   causa   che   produce   come   effetto   uno   spostamento.   Nell’intera   dispensa,  

distingueremo  con  due  colori  diversi  i  due  ambiti.    

Anzitutto  parliamo  di  forze,  e  per  farlo  occorre  introdurre  il  concetto  di  vettori.  Un  vettore  è  un  oggetto  

dotato  di  una  direzione,  un  verso  e  un’intensità.  La  forza  non  è  altro  che  un  vettore  applicato  in  un  

punto.  La  gravità  è  ad  esempio  una  forza.  Se  chiamiamo  l’asse  della  trave  asse   ,  le  grandezze  statiche  

nel  piano  hanno  tre  componenti:  forza  orizzontale    ,  forza  verticale    e  momento  .  Ora,  se  una  

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forza  non  è  direttamente  visibile,  lo  è  il  suo  effetto  sulla  struttura,  che  è  appunto  quello  cinematico  

(vediamo  ad  esempio  un  corpo  che  cade  a  terra).  Per  il  dualismo  statica-­cinematica  citato,  una  forza  

orizzontale  produce  uno  spostamento  orizzontale  ,  una  forza  verticale  uno  spostamento  verticale    

e  un  momento  una  rotazione    (Figura  1).    

  1  

Figura  1  

Introduciamo  il  concetto  di  momento  di  una  forza.  Come  detto,  il  momento  è  la  grandezza  statica  che  

produce  rotazione.  Definiamo  il  momento  di  una  forza  applicata  in  un  punto     rispetto  a  un  polo    

(Figura  2a)  come  il  prodotto  vettoriale  tra  

 e  la  forza   .  Secondo  la  definizione  di  prodotto  vettoriale  

(si  rimanda  all’algebra  lineare),  l’unica  componente  di    che  ha  efficacia  è  quella  ortogonale  a  ,  ed  

è  definita  braccio   .  Per  semplicità,  per  trovare  il  braccio  di  una  forza  rispetto  a  un  polo,  basta  tracciare  

la  retta  d’azione  della  forza  e  la  parallela  a  tale  retta  passante  per  il  polo.  Il  braccio  è  la  distanza  tra  

le   due   rette   (Figura   2b)   ed   il   momento   di   rispetto   a   è   quindi   ,   e   si   considera   positivo   se  

antiorario,   negativo   se   orario.   Sempre   secondo   la   teoria   dei   vettori,   il   momento   ha   direzione  

ortogonale  al  piano,  e  si  rappresenta  come  in  figura  1  in  basso.  Nella  Figura  2c,  il  polo    appartiene  

alla  retta  d’azione  della  forza,  per  cui  essendo  il  braccio  nullo  è  nullo  anche  il  momento.  A  livello  più  

intuitivo,   questo   corrisponderebbe   a   spingere   una   porta   sul   suo   cardine:   l’effetto   cinematico   è  

ovviamente  che  la  porta  non  si  apre.  Più  la  forza  che  spinge  la  porta  si  allontana  dal  cardine,  e  quindi  

più  il  braccio  aumenta,  maggiore  è  l’effetto  cinematico  prodotto.  

  2  

Figura  2  

Nella  Figura  3  è  rappresentato  un  sistema  di  forze  applicate,  espresse  in  ,  e  se  ne  vuole  calcolare  

il  momento  risultante  rispetto  al  polo    (origine  del  sistema  cartesiano).  Le  distanze  siano  espresse  

in  metri.      

Figura  3  

  3  

Dal  calcolo  otteniamo:  

= 200    0 +  100  3 + 200  3 − 300  1 − 50  6 + 500   − 300    

(0)  

= 500    

Da  notare  che  i  due  momenti  500  Kgm  e  –  300  Kgm  devono  essere  sommati  così  come  sono  senza  

aggiungere  braccio  e  anche  se  applicati  nel  polo.    

Oltre  a  definire  il  momento  di  una  forza,  dobbiamo  introdurre  il  concetto  di  coppia  di  forze.  In  figura  

4  osserviamo  due  forze  uguali,  opposte  e  parallele,  poste  a  distanza  .    

Figura  4  

Queste  due  forze  sono  definite  coppia  di  forze,  la  quale  equivale  a  un  momento  in  questo  caso  orario  

che  ha  valore  −    ed  è  indipendente  dal  polo.  Nel  calcolo  dei  momenti  di  un  sistema  di  forze  rispetto  

a  un  polo,  le  coppie  vanno  sommate  anche  se  applicate  nel  polo,  come  nell’esempio  precedente.  Ora,  

facendo   uso   di   una   coppia   di   forze,   dimostriamo   che   l’effetto   cinematico   di   un   momento   è   una  

rotazione.  Nella  figura  5a  è  rappresentata  una  porta,  e  le  due  forze,  che  costituiscono  una  coppia,  

rappresentano  due  persone  che  spingono  e  tirano  la  porta  con  la  stessa  intensità  ma  in  due  punti  

diversi.      

Figura  5  

La   persona   che   tira   la   porta   verso   l’alto,   a   massima   distanza   dal   cardine,   ovviamente   ha   effetto  

cinematico  maggiore  della  persona  che  spinge  la  porta,  con  la  stessa  intensità,  ma  a  distanza  minore.  

L’effetto  finale  è  che  la  porta  ruota  in  senso  antiorario  (Figura &nb