Interazione spin orbita

Separazione variabili e quantizzazione perché posso assegnare autovalori comuni.

(per grandezze compatibili tra loro e i relativi operatori)

Se ho piu` quantita` con stessi autovalori → Operatori corrispondenti che commutano con il loro operatore quantita` conservata devono valere a commutare tra loro.

(autofunzioni comuni) costanti legate agli autovalori.

Potenziali con simmetria sferica

(x,y,z) → (r,θ,ℓ)

x = r sin θ cos ℓ

y = r sin θ sin ℓ

z = r cos θ

potenziali con simmetria sferica

U(x) non dipende da θ & ℓ

(momenti torcenti per rotazioni)

F = -∇U = dU/dr (altre) forza “centrale” diretta radialmente

F x r = 0 (F // r)

(Il momento torcente e` nullo → momento angolare si conserva L)

Conseguentemente: L² si conserva

L², T², Ln, Ln, Ln, L_t, L² sono quantita` conservate

Per sfruttare la simmetria sferica, riscrivo l’eq. di Schrödinger in coordinate sferiche polari

H = (-ħ²/2m) ∇²U(x)

per la funzione d’onda Ψ(r, θ, ℓ)

Operatore Laplaciano in coordinate sferico polari:

Si utilizza la regola di derivazione a catena.

∂² ∂_r² 2 ∂_r 1 ∂_θ²

∂_r² r ∂_r r²

cosθ 1 ∂_φ²

r² sinθ sin²θ

energia cinetica. orbitale∆T² = ∆T_r + ∆T_θ =

1/2 m∆r² + 1/2 m²²m²²

L² = m² r²

∆T = 1/2

L_z conserva (non dipende da θ)

1/2 m² 1 k² ²

2m ∂_r² 2 ∂_r 1 r

∂_r² r ∂_r

1/2 ² + k² cotθ

2m

ecco perché la seconda parte di r - energia cinetica orbitale

2m²² [H₀]

energia cinetica orbitale

H = k² 2m ∇²

energia cinetica radiale

H = Eψ

dV_e = dx dy dz = in coordinate sferico polari diventa:

r² sinθ dθdφ - probabilità di trovare a particella

normalizzazione:

∫₀^∞ ∫₀^π ∫₀^2π

Separazione variabile in 3d

Insieme di osservabili

mutualmente compatibili

tra loro

autovalori comuni

regole di quantizzazione

numeri quantici

potenziale a simmetria sferica

Immersione tra moltitudini

Proprietà di mutuo compatibilità

(per simmetrie sferiche)

Costantemente i valori L_x, L_y, L_z commutano

Per accaduto

Supponiamo di sapere che L_x, L_y con certezza

Principio di indeterminazione

Algebra dei momenti angolari

Momenti angolari ↔ campi magnetici

momento angolare orbitale ↔ momento angolare intrinseco (spin)

momento angolare orbitale genera un momento di dipolo magnetico

Gestire con un campo magnetico esterno

b) Momento di dipolo magnetico _μ = _I ^A

generato da una spira percorsa da corrente elettrica di un campo esterno

_B = _μ × t

momento torcente _τ = _μ × _B

L'energia potenziale magnetica

_Ub = -_μ ⋅ _B

(_μ ḟisso ₂)

_Ub = _{μ B} cos

Momento angolare orbitale genera un momento di dipolo magnetico

elettrone in orbita circolare

= ^e/2m_e

spira percorso da corrente

area racchiusa dalla spira A = π² = ^e/2m_e

T = _2πr/_v periodo di rivoluzione dell'elettrone

Im config magnetico esterno

in allineato con i (non è ḟisso)

T = 2π/ω _ω = ^eq₁/_2m

moto di precessione ↔ moto di precesione che comporta di t L

precessione di Larmor

frequenza di Larmor (frequenza angolare del moto di precessione)

ω = ^dφ/_dt

_I ^L dt

n

2

Se invece voglio conoscere _z con certezza.

₁₂₃ noti con certezza

₂₃ precedono (almeno a ₃) in modo che sia modulo alpari.

(basato su rappresentazione semiclassica e precessione)

₂₃ noti con certezza

₂₂ non sono noti con certezza

Osservabile: mutualmente compatibile

2 modi alternativi di descrivere gli stati di ₁₃

• (1) noti ₁₃, m_l, m_s
• (2) noti ₁₂ (→conosciamo j₃)

→ j₂₃ (2 soluzioni: +½ ↔ ½)

Considero con certezza gli stati j↔ m_j

• noti ₂₃₂₃₂

facendo però una rotazione generale

In generale ₁₃≠0

).m_j non compatibile con S_z, L_z

Esempio

L=1, S=½

quanti stati possibili?

(1) 6 stati (3 x 2 per (m_l, m_s))

m_l=1,0,÷1

m_s=+½,÷½

(2) j: _l(⊕)=3/2 _l(⊕)=3/2

gi stati dedicati da ↔

j=3/2 _{m j}: 3/2

2D note per m_j

• → j: (3/2 ↔ ↔ j)

6 stati ↔ ↔

j=3/2

( ↔ → G, ↔ S=1/2

+ ↔ ↔ j

Il numero di stati è lo stesso ma siamo 2 rappresentazioni attorno.

In assenza di forze estreme: j si conserva, ₃₃ no

(j,m_j) è la scalta migliore

Im presenza di forte campo magnetico esterno B/2

tanto più vero quanto

pi forte è il campo

stati dedicate da (m_S, m_S)