Integrali tripli

DOMINI NORMALI REGOLARI DI 3

R

È dato un dominio normale (rispetto a )

xy

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

∈ 2

, con dominio normale di , il

E= x , y , z : x , y D , α x , y ≤ z ≤ β x , y D R

1

( ) ( ) ( )

dominio è anche regolare se le due funzioni e , inoltre

α x , y ∈C

β x , y D

( ) ( )

< . Vale la decomposizione per domini a due a due disgiunti.

α x , y β x , y

Si ha che, se si vuole calcolare il volume del dominio, come per gli integrali

doppi: β

❑ ❑

∭ ∬ ∫

( )=

m E dxdydz= dxdy dz

E D α 2 2

( )

Si prenda la funzione , essa è un paraboloide circolare ed è

=x +

f x , y y ( ) ( )

maggiore di 0 per ogni coppia di valori , e se si fa l’intersezione con

x , y ≠ 0, 0

2

gli assi ad esempio si ha , quindi viene una parabola schiacciata

x=0 z= y

sul piano , analogo discorso per l’altra variabile. Se si fanno le intersezioni

yz 2 2

per tutti i piani del tipo si ha , che è l’equazione di una

z=k + =k

x y

√

circonferenza di raggio , risultato dell’intersezione di un particolare piano

k

di quel tipo con la funzione, che è:

Se si aggiunge alla funzione un qualche numero, essa viene alzata o abbassata

di quel numero, se si mette un meno davanti, viene con la concavità verso il

basso, se la si moltiplica per una costante si schiaccia.

Considerando la funzione di prima, che era un paraboloide circolare, si ha

infatti che:

In cui la piccola parte in rosso è il dominio, la funzione è tutta negativa, come

calcolato.

Adesso si calcoli:

❑

∭ ( )

+

z x− y dxdydz

E { }

3

( )

Con , che è l’equazione di un piano

∈ +2 +

E= x , y , z R , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 4 x y z ≤ 8

che risiede nel primo ottante. Si vede dalle equazioni che ,

0 ≤ z ≤ 8−4 x−2 y

quindi il dominio è normale rispetto a e l’integrale viene:

xy

[ ]

8−4 x−2 y

❑ ❑ 2

( )

8−4 x−2 y

∬ ∫ ∬

( ) ( )( )

= + −2

I dxdy z+ x− y dz= x− y 8−4 x y dxdy

2

D 0 D

Considerando che il dominio è direttamente la proiezione del dominio

D E

su con , e quindi , si ha che

xy z=0 y=4−2 x

{ }

( ) e l’integrale viene:

D= x , y :0 ≤ x ≤ 2, 0≤ y ≤ 4−2 x

[ ]

2 4−2 x 2

( )

8−4 x−2 y

∫ ∫ ( ) ( )

+

dx x− y 8−4 x−2 y dy=16

2

0 0

Si calcoli adesso l’integrale:

❑

∭ ( )

+

x y dxdydz

E

Con dominio spaziale compreso fra il piano e il paraboloide

E xy

[ ] [ ]

2 2 , sul dominio uguale al quadrato , si ha quindi:

D 0,1 × 0, 1

+

z=x y { }

2 2 2

[ ]

( ) ( ) ∈ +

E= x , y , z : x , y 0, 1 , 0 ≤ z ≤ x y

Quindi l’integrale viene:

2 2

+

x y 1 1

❑ ❑ 5

∬ ∫ ∬ ∫ ∫

( ) ( )

2 2 3 3 2 2

( ) ( )

= + + +

I dxdy x+ y dz= x+ y x y dxdy= dx x y x y+ x y dy= 6

D 0 D 0 0

PASSAGGIO A COORDINATE CILINDRICHE ( )

È dato un dominio regolare, con definiti in esso punti del tipo , si

E u , v , w

( ) ∈

prenda per ipotesi una trasformazione , essa restituisce dei

Φ : u , v , w E

( )

( ) ( ) ( )

valori in definiti come: , tali che ogni

3 x u , v , w , y u , v , w , z u , v , w

R ( )

1 ( )

componente sia di classe , considerando che la trasformazione è di

C Φ E

1 ( )

classe per ipotesi, viene inoltre definito il determinante Jacobiano

C E

come: x x x

( ) u v w

∂ x , y , z

( )=det =det

J u , v , w y y y

( ) u v w

∂ u , v , w z z z

u v w

Per ipotesi, la trasformazione è iniettiva e invertibile. In tal modo si può

Φ

applicare un metodo di sostituzione in modo che in generale, data una funzione

0

( ) ( ) si può applicare la trasformazione tale che:

∈C

f x , y , z D

( ) ( ) ( )

x u , v , w , y u , v , w , z u , v , w

¿

¿

f

❑ ❑

∭ ∭

( ) ¿

f x , y , z dxdydz= −1

D ( )

Φ D

Nel caso particolare delle coordinate, dato il seguente disegno di un generico

( )

punto di coordinate si ha:

P x , y , z

Si ha che il punto ha una determinata quota , invece per quel che

P z

riguarda le coordinate sul piano , si adotta il passaggio a coordinate polari:

xy

il punto sarà distante dall’origine, e si ha che:

ρ

( )=

x ρ , θ ρcos θ

( ) =ρ

y ρ, θ sin θ

( )=z

z ρ , θ

In cui il determinante Jacobiano, adottando la formula sopra, viene , si ha in

ρ

definitiva quindi:

❑ ❑

∭ ∭

( ) ( )

f x , y , z dxdydz= f ρ cos θ , ρ sin θ , z ρdρdθdz

D −1 ( )

Φ D

Questa trasformazione è utile se si ha a che fare con domini limitati da superfici

sferiche o cilindriche.

Si veda un’applicazione calcolando il seguente integrale triplo:

❑

∭ 2

8 z x dxdydz

E { }

( )

2 2 2 2 2

Calcolato sul dominio , quindi si ha

( ) ( ) ∈ + + +

E= x , y , z : x , y D , z ≥ x y , 4 x y z ≤ 3

√ 3 ( )

2 2 2 2

che , ossia è maggiore del paraboloide cilindrico

z

+ − +

x y ≤ z ≤ x y

4 √ 3

centrato nell’origine e minore della sfera con centro nell’origine e raggio .

2

Considerando che si hanno i termini dell’ascissa e dell’ordinata combinati al

quadrato nel dominio e la quota isolata (quindi, si ha un dominio di tipo

cilindrico), si può passare alle coordinate cilindriche, ottenendo:

{ }

√ 3

' 2 2

( ) ( ) ∈

= −

E ρ ,θ , z : ρ ,θ D , ρ ≤ z ≤ ρ

4

Per quel che riguarda il dominio , dal disegno si sa che , perché

D 0 ≤θ ≤ 2 π

viene disegnato un cerchio completo attorno all’origine, mentre per quel che

riguarda il raggio si fa uso delle disequazioni sopra per vedere dove si

congiungono e dove si ha la delimitazione:

√ √

3 3 2

2 2 4 2

= −ρ + − =0→

ρ → ρ ρ ρ=

4 4 2

Questo poiché l’intersezione fra il paraboloide e la sfera viene proiettata sul

√ 2

piano , quindi si ha che , determinate le limitazioni, si può

xy 0 ≤ ρ≤ 2

integrare, adottando direttamente le sostituzioni viene:

√

√

2 3 2

− ρ

2 π 2 4

❑ 7

∭ ∫ ∫ ∫

2 2 3 2

8 z ρ cos θ ρdρdθdz= dθ dρ 8 z ρ cos θ= π

96

E' 0 0 2

ρ

Il cui disegno è: √ 2 2

Data la funzione , se si fa l’intersezione con , vengono

z=k

( ) = +

f x , y x y | |

tutte circonferenze di raggio , mentre per o viene o

k x=0 y=0 z= x

| | , motivo per il quale, il grafico della funzione è proprio un cono. Si

y

comporta come il paraboloide per le variazioni. √ 2 2

Esercizio: si calcoli il volume del solido fra e

2 2 +

+ z=x y

z=2− x y

Per calcolare il volume del solido, basta fare:

❑

∭ dxdydz

E

Si può attuare subito il passaggio a coordinate cilindriche, arrivando a:

2

ρ ≤ z ≤ 2− ρ 2

Considerando che, risolvendo l’equazione si ha come unica soluzione

=2−ρ

ρ

(prendendo solo quella positiva) e considerato che va a decrescere, si

ρ=1

2

ha che la funzione minore è e quella maggiore l’altra, si ha inoltre che

ρ

, mentre per quel che riguarda , dal disegno si vede che esso

0 ≤ ρ≤ 1 θ

compie un giro completo, quindi , quindi il dominio finale è:

0 ≤θ ≤ 2 π

{ }

2

( )

E= ρ ,θ , z : 0≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ ρ ≤ 1, ρ ≤ z ≤2−ρ

E quindi l’area del dominio sarà: considerando che l’unica funzione è in :

ρ

2 π 1 2−ρ 1 56

∫ ∫ ∫ ∫ ( )

2 3

−ρ

dθ dρ ρdz=2 π 2 ρ−ρ dρ= π

0 0 0

2

ρ

Per il passaggio a coordinate cilindriche, le modifiche vengono attuate solo su

, questo deriva dall’invarianza di .

xy z

PASSAGGIO A COORDINATE SFERICHE

3

Per esiste un altro tipo di trasformazione, detto passaggio a coordinate

R

sferiche, in cui anche la viene considerata diversamente, e mentre prima i

z

punti della funzione percorrevano un cilindro, in questo caso percorrono una

sfera: si ha stavolta

L’aggiunta riguarda l’angolo fra l’asse e la congiungente di un

φ z

particolare punto considerato, le sostituzioni diventano:

x=ρ sin φ cos θ

y=ρ sin φ sin θ

z=ρ cos φ 2

( )

Applicando la formula della matrice Jacobiana, si ha che e in

=ρ

J ρ ,φ , θ sin φ

definitiva si ha:

❑ ❑

∭ ∭ 2

( ) ( )

f x , y , z dxdydz= f ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos θ ρ sin φ dρdφdθ

E −1 ( )

Φ E

Si applichi la sostituzione calcolando il seguente integrale:

❑ √

∭ 2 2 2

+ +

x y z dxdydz

E ( )

12

{ }

3 2 2 2 , 0, 0

( )

Con , che è la sfera di centro e raggio

∈ + + −x

E= x , y , z R : x y z ≤0

1 (le formule sono analoghe a quelle in due dimensioni), passando alle

2

coordinate sferiche si ha:

2 −ρ

ρ sin φ cos θ ≤ 0 → 0≤ ρ ≤ sin φ cos θ √

In tre dimensioni e con le coordinate polari, il raggio è .

2 2 2

ρ + +

x y z

L’angolo , se si va a proiettare su due dimensioni ponendo il

θ z=0

dominio, si ha la circonferenza sempre con lo stesso centro, ma manca la ,

z

−π π

≤θ≤

e si è già visto che in questo caso , si ha graficamente infatti:

2 2

Per quel che riguarda , dato che è una circonferenza con centro non

φ

nell’origine ma ci passa, l’angolo si sviluppa dall’asse delle per , quindi

z π

(è l’equivalente dell’angolo per il semipiano ). Quindi, dato

0 ≤ φ ≤ π θ xz<