Integrali tripli

Domini normali in e integrali tripli

Dato un dominio normale in , con appartenenti ad esso i punti del D R(3) tipo , si definisce dominio normale rispetto a E xyx , y R (praticamente è perpendicolare al piano terra e si può proiettare su esso):

{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∈E= x , y , z : x , y D , α x , y ≤ z ≤ β x , y , α x , y ≤ β x , y

Si ha che la misura del dominio (che stavolta non è una parte di piano, ma E una parte di spazio) è:

• ❑∬ [ ]( )−α ( )β x , y x , y dxdy

Ossia, che sul piano D vanno sottratti il volume della zona più piccola alla zona più grande. Si prenda come esempio:

In cui il dominio è quella piccola parte leggermente evidenziata, fra le due E funzioni, calcolata sul dominio D. In questo caso, il dominio è sempre normale al piano terra, dato il dominio e le funzioni.

Domini normali rispetto ai piani

Analogamente si può definire un dominio normale rispetto al piano xz:

{ }( ) ( ) ( ) ( )∈E= x , y , z : x , z D, α x , z ≤ y ≤ β x , z

E un dominio normale rispetto al piano yz:

{ }( ) ( ) ( ) ( )∈E= x , y , z : y , z D , α y , z ≤ x ≤ β y , z

Definizione di integrale triplo

Data la nozione di un dominio normale in tre dimensioni, si può passare alla definizione di integrale triplo.

Integrale triplo

Dato dominio normale in E ∈ C f(x, y, z) E R, viene definita la:

{ } P= E , E … E partizione del dominio costituita da domini normali 1 2 n sottoinsiemi di a due a due disgiunti (sono dei piccoli cubetti infinitesimi), E e vengono definite la somma inferiore e la somma superiore come:

• n n ∑ ∑( ) ( )( )= ( ) ( )= ( ) s P m E min f x , y , z , S P m E max f x , y , z i i E E i=0 i=0 i i

Dato che la funzione è continua, in ogni parte della partizione la funzione ammette minimo e massimo per Weierstrass. Presa ogni coppia di partizioni del dominio, si ha che:

P , Q ( ) ( ) s P ≤ S Q

Si dimostra che i due insiemi sono contigui, e date le due partizioni risulta inoltre che:

( ) ( )( ) ( ) ¿ s P ≤ inf S Q ∈ P Π ∈ Π Q

Con insieme delle partizioni Π. Ed esiste un unico elemento separatore, detto integrale triplo della funzione, e si indica come:

• ❑∭ ( ) f x , y , z dxdydz E

Formule di riduzione

Che, come l’integrale doppio, presenta delle formule di riduzione. Nel caso in cui il dominio fosse normale al piano E xy, si avrebbe che:

( ) β x , y ❑ ❑∭ ∬ ∫ ( ) ( ) f x , y , z dxdydz = dxdy f x , y , z dz E D ( ) α x , y 2

In cui è un dominio normale di D R. Se il dominio non è normale, si può scomporre in vari domini normali e si possono sommare gli integrali (le stesse proprietà degli integrali doppi valgono per quelli tripli). Le formule per i domini normali ai piani e sono analoghe xz yz.

Calcolo del volume del solido

A tal proposito, si calcoli il volume del solido fra il piano terra e la S xy:

{ } 2 22 2 ( ) ( ) funzione , calcolato sul dominio . + − x = x + − 1 D = x , y : x y ≤ 0, y ≥ 0 f x , y y

Per poter applicare la formula però bisogna sapere quale funzione sia maggiore dell’altra in questo dominio. In questo caso va analizzato il dominio per D ( ) 1 , 0 :

primo, che è il semicerchio con centro 2

E si ha in questo caso che la x è compresa fra e , andando a vedere x 0 1 2 2 la funzione , essa se minore o uguale di 0, si può confrontare con il + − 1 x y dominio sopra, in cui si sottrae 1 a entrambi i lati e diventa:

2 2 + − 1 ≤ x y x − 1 ≤ 0

Il tutto è minore o uguale a 0 perché la x è compresa in quell’intervallo. In definitiva, la funzione nel dominio è negativa.

Quindi il tutto, andrà calcolato considerando negativamente la funzione, partendo quindi dalla misura del solido si ha:

• ❑ ❑∬ ∬( ) ( ) 2 2 2 2( ) = − + − 1 + m S x y dxdy = 1 − x y dxdy D D

Data la situazione stessa, si fa il passaggio a coordinate polari, avendo come ( ) 1 1 +, 0 x = ρ cos θ cent