Integrali tripli

Integrali tripli

Consideriamo l'integrale triplo definito su un dominio H dato da:

{ (x,y,z) ... }∫∫∫_H f(x,y,z) dx dy dz

Dominio normale rispetto a xy

Il dominio H è definito come:

H = { (x,y,z) . (x,y) ∈ D, α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y) }

L'integrale triplo può essere espresso come:

∫∫∫_H f(x,y,z) dx dy dz = ∫∫_D [ ∫_α(x,y)^β(x,y) f(x,y,z) dz ] dx dy

Calcolo del volume di H

Per calcolare il volume del dominio H:

∫∫∫_H 1 dx dy dz = Vol_H

Rappresentazione matematica degli integrali tripli

Consideriamo le definizioni seguenti:

• \( f(x,y,z) \rightarrow \mathbb{R} \)
• \( D = \lbrace (x,y,z) \ldots \rbrace \)
• \( G(f) = \lbrace (x,y,z,w) \mid w = g(x,y,z) \rbrace \)

L'integrale triplo è rappresentato come:

\( \iiint_{H} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \)

Se f(x,y,z) = 1, il volume del dominio H è dato da:

\( \iiint_{H} 1 \, dx \, dy \, dz = \text{Vol } H \)

Formula generale per gli integrali tripli

Per un dominio normale rispetto a xy:

H = { (x,y,z) | (x,y) ∈ D, α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y) }

L'integrale triplo si calcola come:

\( \iiint_{H} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iint_{D} \left[ \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f(x,y,z) \, dz \right] \, dx \, dy \)