Integrali impropri ed integrali generalizzati

INDICE DOCUMENTO

Integrali generalizzatiTeorema: Criterio del confronto asintoticoTeorema: Criterio del confrontoTeorema assoluta integrabilità

Integrali impropriTeorema: Criterio del confronto asintoticoTeorema: Criterio del confrontoTeorema assoluta integrabilità

INDICE DOCUMENTO

Integrali generalizzati

• Teorema: Criterio del confronto asintotico
• Teorema: Criterio del confronto
• Teorema assoluta integrabilità

Integrali impropri

• Teorema: Criterio del confronto asintotico
• Teorema: Criterio del confronto
• Teorema assoluta integrabilità

Integrazione di funzioni non limitate

Integrali generalizzati

Sia f: [a,b[ => R continua in [a,b[ e supponiamo che

lim_x->b F(x) = +∞

Quindi la funzione non ha un estremo superiore (sup). Fissiamo δ>0 e poniamo sup=b-δ.

Quindi la funzione risulta continua e limitata nell'intervallo [a,b-ε]

⇒ ∃ ∫_a^b-ε f(x)dx

• Diciamo che f è integrabile in [a,b[ se ∃ finito

lim_ε->0 ∫_a^b-ε f(x)dx = (K)

⇒ ∫_a^b f(x)dx

In questo caso l'integrale converge

• Diciamo che f non è integrabile in [a,b[ se

lim_ε->0 ∫_a^b-ε f(x)dx = (+∞ or -∞)

⇒ ∫_a^b f(x)dx

In questo caso l'integrale diverge

• Diciamo che non esiste l'integrale di f in [a,b[ se

lim_ε->0 ∫_a^b-ε f(x)dx

⇔

Analogo ragionamento vale per le funzioni f: ]a,b] -> R, basta considerare i limiti per ε -> a⁺

Se fosse, invece, composta da due parti:

⇒ ∫_a^c-ε f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx

ESEMPIO 1

∫₀¹                               1                 dx

                                                                                      1-x

CE ⇒ 1-x ≠ 0

                                            x ≤ 1

lim          ≡      ∞

  x → 1^-1-x

lim   ∫₀^1-ε     1                 dx

  ε → 0      ≈  log(1-x)₀^1-ε  — log(ε)+log(1)  ≈         log      

lim       ≈ ∞  → L'integrale diverge

ESEMPIO 2

∫₀¹   1                   dx

  √1-x

CE ⇒ 1-x ≠ 0               x ≤ 4

lim      →∞

  ε→0          √

lim     ±2√&Sim; √1-x^1-εdx

  ε→0 ±2√ε+2 ±2

≈ log(ε) ≈ ±2 ≈ Σ L'integrale converge

ESEMPIO 3

∫₀¹   1             dx

            (1-x²)² ⇒

∫₀^1-ε   1         1-ε

            ±  L'integrale diverge → ∼ log(ε) ≈ ∞

Generalizzando:

∫_a^b 1/(b-x)^α dx

dove

• a₁ = 1 nel 1º esempio
• a₂ = 2 nel 2º esempio
• a₃ = 2 nel 3º esempio

∫_a^b-ε 1/(b-x)^α dx = [1/(1-α)] * [-(ε^1-α) + (b-a)^1-α]

lim_ε→0 [1/(1-α)] * [-(ε^1-α) + (b-a)^1-α]

• +∞ se α>1 ⇒ L'integrale diverge
• (b-a)^1-α/(1-α) se α ∫_a^b f(x) converge e si dice che f è assolutamente integrabile.

  ESEMPIO

  1 ∫¹₀ 1/x sin(1/x) dx

  Consideriamo allora:

  ∫₀¹ (1/x) sin(1/x) dx; al denominatore il criterio del confronto con (x-1)² con x = 1/2

  per x→0

  sin x < 1/x

  = g(x) = 1/sqrt(x)

  si ha che F(x) < g(x)

  Studiamo:

  ∫ 1/x è integrabile => per ε poniamo ∫ confronti => F(x) è integrabile => f assolutamente integrabile

  INTEGRAZIONE SU INTERVALLI ILLIMITATI

  INTEGRALI IMPROPRI

  Sia F : [a; +∞[ → ℝ

  continua.

  Fissiamo T > 0 e consideriamo la funzione ristretta nell'intervallo [a;T].

  Dato che F risulta essere continua e quindi integrabile, quindi

  ∃ ∫_a^T F(x) = K ∈ ℝ ∀ T ≥ a

  • Diciamo che f è integrabile in [a;+∞[ se ∃ finito

  lim_T→+∞ ∫_a^T F(x)dx = def ∫_a^+∞ F(x)dx = K

  In questo caso L'INTEGRALE CONVERGE

  • Diciamo che f non è integrabile in [a;+∞[ se

  lim_T→+∞ ∫_a^T F(x)dx = +∞

  In questo caso L'INTEGRALE DIVERGE

  Diciamo che non esiste l'integrale di f in [a;+∞[ se

  lim_T→+∞ ∫_a^T F(x)dx

  ≠ lim_T→+∞ ∫_α^T F(x)dx

  Analogamente, se F : ]−∞,b] → ℝ continua, si pone

  ∫_−∞^b F(x)dx = def lim_T→−∞ ∫_T^b F(x)dx

  Se invece F : ]−∞,+∞[ → ℝ continua, si pone

  ∫_−∞^+∞ F(x)dx = ∫_−∞^c F(x)dx + ∫_c^+∞ F(x)dx

  con c ∈ ℝ

  Teor. (Criterio del Confronto)

  Siano f,g: [a, +∞) → ℝ continue.

  Supponiamo _a ≤ F(x) ≤ g(x) in [a, +∞) Allora:

  • g integrabile ⇒ f integrabile
  • f non integrabile ⇒ g non integrabile

  Teor. (Criterio del Confronto Asintotico)

  Siano f,g continue in [a, +∞], e supponiamo f,g > 0

  Supponiamo anche che ∃

  lim_x→+∞ F(x)/g(x) = lim_x→+∞ f(x)/g(x) = l ∈ ℝ⁺

  Allora F integrabile ⇔ g integrabile

  Esempio (Teor. Confronto) Studiare R integrale

  ∫₁^+∞ e^-x² dx

  Sia x ≥ 1, in questo caso possiamo maggiorare con e^-x

  Infatti x² ≥ x ⇒ -x² ≤ -x ⇒ e^-x² ≤ e^-x

  ⇒ ∫₁^+∞ e^-x² dx = ∫₁^+∞ e^-x dx

  Consideriamo ∫₁^T e^-x dx = [e^-x]₁^T = (e^-T - e) = e^-T - 1/e

  ⇒ lim_T→+∞ (e^-T / e) = 0 + e = 1/e!

  Dal momento che abbiamo f(∞) ≤ g(x)dove g converge per le teorema delconfronto ⇒ f è integrabile

  ESEMPIO

  ∫₁^∞ 1/x^α dx con α>0

  Distinguamo se α=1:

  • Se α=1 allora si ha ∫₁^T 1/x dx = [&log; x] x ⇒ e^x² < e^xx e^x

    ∫₁^+∞ e^-x² dx < ∫₁^+∞ e^-x dx

    (assolutamente n integrale e di studio integrale improprio da studiare)

    Consideriamo:

    ∫₁^x(e^-x) dx

    Consideriamo ∫₁ e^-x dx = [ e^-x ]₁^x = (-e^-t/e) = → lim T → +∞ -e^-t/e= lim T → +∞ -1/e^t + e = 0 + 1/e = 1/e

    Dal momento che abbiamo f(x) ≤ g(x) dove g converge per theorema del confronto ⇒ f è integrabile

    ESEMPIO

    ∫₀^{+∞ 2} + 1 / ³ + + 4 dx

    • Consideriamo

    () = ² + 1 / ³ + + 4 = ²(1 + 1 / ²) / ³(1 + 1 / ² + 4 / ³)

    • Consideriamo

    () ∼ 1 / ^α con α = 3

    1. () / () = (² + 1 / ³ + + 4) / 1 / ³

    lim_→+∞ () / () = 1 / 1 = 1

    Per il criterio del confronto asintotico è integrabile perché è integrabile (d = 1)

    ESEMPIO

    ∫₀^+∞ 1 / √² + 1 dx

    • Consideriamo

    () = 1 / √² + 1 = 1 / || √1 + 1 / ²

    () = 1 / ^α con α = 1

    lim_→+∞ () / () = 1 / 1 × 1 = 1

    Per il criterio del confronto asintotico non è integrabile perché non è integrabile per d = 1