Integrali impropri ed integrali generalizzati

INDICE DOCUMENTO

Integrali generalizzati

• Teorema: Criterio del confronto asintotico
• Teorema: Criterio del confronto
• Teorema assoluta integrabilità

Integrali impropri

• Teorema: Criterio del confronto asintotico
• Teorema: Criterio del confronto
• Teorema assoluta integrabilità

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI NON LIMITATE

INTEGRALI GENERALIZZATI

Sia f: [a,b[ → ℝ continua in [a,b[ e supponiamo che

lim_x→b F(x) = +∞

Quindi la funzione non ha un estremo superiore (sp).Fissiamo δ > 0 e poniamo sp = b - ε.

Quindi la funzione risulta continua e limitata nell'intervallo [a,b-ε]:

∃ ∫_a^b-ε f(x)dx

1. Diciamo che f è INTEGRABILE in [a,b[ se ∃ finito

lim_ε→0 ∫_a^b-ε f(x)dx = K

⇒ ∫_a^b f(x)dx

In questo caso L'INTEGRALE CONVERGE

2. Diciamo che f NON è INTEGRABILE in [a,b[ se

lim_ε→0 ∫_a^b-ε f(x)dx = +∞

⇒ ∫_a^b f(x)dx

In questo caso L'INTEGRALE DIVERGE

3. Diciamo che NON ESISTE INTEGRALE di f in [a,b[ se

lim_ε→0 ∫₀^b-ε f(x)dx

⇔

Analogamente vale per le funzioni f: [a,b] → ℝ, basta considerare i limiti per ε→a⁺

Se fosse, invece, composta da due punti:

si considerino due parti distinte

⇒ ∫_a^c-ε f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx

CRITERI DI INTEGRABILITÀ PER LE FUNZIONI NON LIMITATE

TEOR. CRITERIO DEL CONFRONTO

Siano f,g continue in [a,b]. Supponiamo che

lim_x->b^- f(x) / g(x) = +∞

Allora, se 0 ≤ f(x) ≤ g(x)

l'integrale è integrabile

f non integrabile => g non integrabile

DIMOSTRAZIONE: Per la monotonia dell’integrale, si ha

• ∫_a^b-ε f(x)dx ≤ ∫_a^b-ε g(x)dx

TEOR. ASSOLUTA INTEGRABILITÀ

Se ∫_a^b |f(x)| dx converge => ∫_a^b f(x) converge e si

dice che f è assolutamente integrabile.

ESEMPIO

∫₀¹ 1/x^1/2 sin 1/x dx

Consideriamo allora:

• ∫₀¹ 1/x^1/2 sin 1/x dx
• f(x) = 1/x^1/2 sin 1/x, g(x) = 1/x^1/2

Si ha che f(x) < g(x) (per ε ≤ x ≤ 1)

Studiamo ∫₀¹ 1/x^1/2 => per α=1/2 => g è integrabile => per il teorema del confronto

= > f è integrabile => f è assolutamente integrabile

ESEMPIO (CONFR. ASINTOTICO)

_∞∫⁰ x^α + 2 dx

• Consideriamo

F(x) = x^α + 2 = x^α(1 + ²/_x^α) = ¹/_x⁴(1 + ^xα/_x⁴) = ¹/_x⁴(1 + ¹/_x²)

• Consideriamo

g(x) = ¹/_x⁴ con α = 2

F(x) = ¹/_x⁴(1 + ²/_x²) = ¹/_x⁴(1 + ¹/_x²)

= ¹/_x²

lim_x→+∞ ^{1 + 2/_x2}/_{1 + ¹/x²} = 1

→ Per il criterio del confronto asintotico F è integrabile perché g è integrabile (d = 1)

ESEMPIO (CONFR. ASINTOTICO)

_∞∫^{0 1}/_{√x² + 4} dx

• Consideriamo

F(x) = ¹/_{x² + 4} = ¹/_{√(x² (1 + ⁴/x²))} = ¹/_{|x| √(1 + ¹/x²)} = ¹/_√x = ¹/_x^1/2

g(x) = ¹/_x^1/2 con α = 1

lim_x→+∞ F(x)/g(x) = ¹/_x^1/2 * √(1 + ¹/_x²) = ¹/_x^1/2 - x * 1

→ Per il criterio del confronto asintotico f non è integrabile perché g non è integr. per d = 1