Integrali doppi e tripli

INTEGRALI DOPPI

y = f(x)

• x ∈ I intervallo chiuso
• I = (a, b)
• f(x) sia continua

∫_a^b f(x) dx

f(x) ≥ 0

∑_i=1ⁿ f(c_i) Δi = somme di Riemann

lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(c_i) Δi esiste finito e indipendente dal modo della scelta di c_i

∫_a^b f(x) dx = Area A

Area A

z = f(x, y)

• (x, y) ∈ D chiuso e limitato
• D = rettangolo nel piano

Retangolo

• R_ij = c_ij

∑ f(c_ij) Area R_ij

• Area R_ij

Se lim_{Area Rij→0} ∑ f(c_ij) Area R_ij esiste finito per ogni suddivisione di D

allora ∫∫ f(x, y) dx dy = ∫_D f(x, y) dA

Volume del solido sotto al grafico

• Area R_ij
• ∑ f(c_ij) Area R_ij Volume del solido sotto al grafico

∫∫_D f(x, y) dx dy = ∫∫_D f(x, y) dA

dA = dx dy = area infinitesima

Teorema:

Se f(x, y) è continua su un dominio chiuso e limitato allora ∫∫ f(x, y) dx dy esiste finito

Proprietà:

1. Se f(x, y) ≥ 0 → ∫∫ f(x, y) dx dy = le volume sotto della funzione
2. Se f(x, y) ≤ 0 → f(c_ij)R_ij = opposto del volume del parallelepipedo di base R_ij e altezza f(c_ij)

∫∫ f(x, y) dx dy = -volume del solido

3)

Determinacy of the double integral

1. p(x,y), g(x,y) continuous in D, closed, and limited

2. ∫∫(f(x,y) + g(x,y)) dx dy = ∫∫f(x,y) dx dy + ∫∫g(x,y) dx dy

3. p(x,y)

   g(x,y) continuous in D, closed, and limited

   p(x,y) continuous in D

∫∫[f(x,y)] dx dy = ∫∫f(x,y) dx dy

V = vector space of functions p(x,y) continuous on D

J: V → ≡ R

J(p(x,y)) = ∫∫f(x,y) dx dy and is linear

4)

∫p(x,y) dA ≥ ∫g(x,y) dA

(g(x,y) - f(x,y) ≥ 0)

f(x,y) ≥ 1

∫∫dA = Area D

∫∫dA = λ Area D

5)

D = D₁ ∪ D₂ with D₁, D₂ having in common some points of the boundary

p(x,y) continuous in D

∫p(x,y) dA = ∫p(x,y) dA + ∫p(x,y) dA

D: x² + y² ≤ a²

in ℝ²

disk of radius a with center in (0,0)

f(x,y) ≡ 1 if (x,y) ∈ D

p(x,y) = -p(-x,y)

∫p(x,y) dA = ∫p(x,y) dx dy = 0

f(x,y) ≥ 0 if (x,y) ∈ D

Volume of the solid above D₁ and below

the graph of the function on D₁

= Volume of the solid below D₂ and above

the graph of the function on D₂

D ⊂ ℝ²

d(y) ⊂ [c, d]

c ≤ y ≤ d

∃ f(x, y) ≥ 0

y = y₀

Area A = ∫_d(y) f(x, y₀) dx

= ∫_a^bf(x, y) da = ∫_d(y)f(x, y) dx

esercizio:

∫∫01 x/(1+y) dx dy

D ⊂ ℝ² elimitato da asse x, y=x, x²+y²=2

D₁ = ∫_0^√2 ∫_0^y dy x=−x

D₂ = ∫_√2^y ≤ x²

0 ≤ y ≤ √2−y²

D₄ = ∫∫_0^x dx dy, ∫∫_0¹ x/(1+y)

∫∫_0^√2 dy, ∫_0^x (√2−x²) dx

D₃ = ∫_0^x y ≤ x ≤ √(a−y²)

∫∫_0^y dx dy, ∫∫_0^√2 x/√(1+y)

x²→√(1+y²)

(√2⁰) = ∫¹/(1+y) (a−y²)/1+y

= 1/√2 (∫_0¹ (x√2y²)/(1+y)

= ∫_−1¹ dy / 1+y + ∫_0^(1+y) dy

= log (1+x²)₀ (1+y)²/2

√2

∫_(1+√2)/(1+x)

=(1−√2)/2

1/2

Applicazioni:

Baricentro

B=(_xd,_yd)

D chiuso e limitato

x_d = il valor medio delle ascisse dei punti di D

y_d = il valor medio delle ordinate dei punti di D

x= x

(x,y) ∈ D

x = y

(x,y) ∈ D

^{∬ x dxdy}/_{Areea D} = x_d

^{∬ y dxdy}/_{Areea D} = y_d

Esercizio

D= ∫ (x, y) ∈ R²

0 ≤ y ≤ a²-x²

0 ≤ x

Trovare le coordinate del baricentro di D

y=a²-x²

x = -a/√2 = √x

Area D: a∫₀(a²-x²)dx = 2∫(a²-x²)dx = 2∫[a^x x³/3] = a³/3

∬ x dxdy = 0 per questioni di simmetria

∬ y dxdy = ∬_a^{x+ ≤ y ≤ a2-x2}dy

y_d = ∫₀ (x + o)^a[a⁴+2a^xx]dx

x= a∫₀ (a²x+ 2√5a⁴)dx

(a⁵)2✓= 2a∫[3/(a⁹)

2√5×a = a^f/q(1/3) = 3(a◎3)

x = y (a⁵)

y_d= a5/3¹6/3 = a² 2/5

B = (0, 2√5/a)

Volume della finestra di Viviani

Tracciare il volume della regione di spazio interno al cilindro di equazione

x² + y² = a²

ed esterno alla superficie di equazione x² + y² = z² ≤ a² e sopra il piano xy

Volume = ∬_D √(a²z² - z⁴) dx dy

z = √(a² - x² - y²)^1/2

D = D': 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 2a sin θ

∬_D √(a² - z²) z dz dx dy = ∫₀^π ∫₀^{2a sin θ} √(a² - x² - y²)^3/2 (a³) dθ

= 8a³ ∫(cos θ)^3/2 dθ = 8a³ [2/3 sin θ cos(θ + 90°) - a³]

= - 8a³

Esercizio

Tracciare il volume del solido

• x + y ≤ z ≤ 1
• x² + y² + z² ≤ 1
• z ≥ 0

D = x²/a² + y²/a² ≤ 1

Esercizio:

Trovare il volume del solido S definito da:

B = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | -a ≤ x ≤ a, 0 ≤ z, y ≤ a²} = aa'

S = B ∩ (z ≥ 0)

z₁, y ≤ a² z = {z₂, y², x²}

Volume S = 2 Volume S₀

• D = {z, y ≤ a² z}
• -a'² ≤ x ≤ a'

Volume S₀ = ∬_D x₂ y_max y + c

D = {x² , y² z ≤ a²}

D = {0 ≤ r ≤ a² , 0 ≤ θ ≤ 2π}

Volume = ∫₀^2π ∫₀^{√(a2 - x2 )} 2πr dr

• L'assegna in coordinate cartesiane
• D = {√(c² - y²) x²}

∫_a^{√(c2 - y2)} x dx

D = {y ≤ √(c² - y²) · dy }

• (√(a² z), √(c² - y²))

(c² - y²) dx

x₀ √(a² - y²) ∫_y 0 y dy = ∫_{√(a² - y²) √(x²) x dx}

• (A (c³ , a³ = 8a³))

y = K piano // a x ≠ z

• -a < c < a

c x² ≠ y² c² z