Integrali definiti

Integrali definiti

Per definizione, un integrale definito è l'area sottesa al grafico di una funzione continua e maggiore o uguale a 0. Si approssima per calcolarlo mettendolo fra l'area di un rettangolo che ha come lunghezza la lunghezza dell'intervallo in cui si considera l'area, e come altezza la costante corrispondente al minimo, e fra il rettangolo che ha lunghezza uguale a quello di prima e altezza uguale alla costante corrispondente al massimo.

Più precisamente, si suddivide in intervalli il grafico ciascuno nei quali si prende il minimo ed il massimo, tale che ne escano fuori due successioni:

[ ] [ ] [ ] ∪ ∪ = ] x crescente, a=x, b=xa, b x, x x, x … [ x, x, in cui n 0 n0 1 1 2 n-1 n

Si definiscono quindi i singoli minimi e massimi di ogni elemento della successione:

{ }[ ](∈) =infm f x: x x, x_k k-1 k

[ ](f x): x∈ x, x = ¿M k-1 k k

Calcolo delle aree dei rettangoli

In particolare:

(x_k - x_k-1) M_k e (x_k - x_k-1) m_k

Sono le aree dei rettangoli rispettivamente grande e piccolo di ogni parte (infinitesima della funzione), in definitiva, cosa che porta alla definizione di integrale:

n ∑ (x_k - x_k-1) ≤ ∑ (x_k - x_k-1) m_k area sottesa al grafico ≤ M_k k=1 k=1

Funzione limitata e partizione

Adesso si rimuova l'ipotesi di continuità, ma sia la funzione limitata e definita in un intervallo [a, b], sia P una partizione uguale a x₀, x₁, …, x_n. La somma inferiore della partizione rispetto alla funzione è la sommatoria di ogni minimo per ogni parte infinitesima, analogo discorso per la somma superiore, per definizione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∪ Qs P ≤ S P, dati s P ≤ S Q: s P ≤ s P∪ Q ≤ S P ≤ S(Q)

Inoltre:

{ }( ) (S) s P ≤ P

Ossia che ogni elemento della somma inferiore è minore di ogni elemento della somma superiore.

Elemento separatore e integrabilità

Esiste un elemento separatore I per ogni P, ma non è detto che sia unico se i due insiemi sono abbastanza distanti. Definito se l'elemento separatore è unico, diciamo che la funzione è integrabile (secondo Riemann) e I è detto l'integrale definito da “A” a “B” della funzione.