Integrali definiti

Questo equivale a dire che preso un epsilon maggiore di 0 trovo una partizione

dipendente da epsilon tale che:

( )−s ( )< ( )−I ( )

−s <

0 ≤ S Pε Pε ε , quindi 0 ≤ S Pε ≤ ε , e 0 ≤ I Pε ε

L’integrale definito è un numero appartenente a R (la x è detta variabile muta

poiché ha valore solo all’interno dell’integrale), se f è positiva allora l’integrale

è positivo, se non ha segno costante si controlla man mano e se le somme

inferiore e superiore sono maggiori o minori di 0, a sua volta la funzione è

maggiore o minore di 0.

Data una funzione f positiva e g suo opposto, l’integrale di g è uguale

all’integrale di (-f) e di conseguenza all’integrale negativo, motivo per il quale i

segni escono dagli integrali.

Per quel che riguarda le funzioni costanti, dato che estremo superiore e

inferiore sono uguali per tutti i termini a c, l’integrale sarà c(b-a).

Ecco alcune proprietà:

b a

∫ ∫

( ) ( )

f x dx=− f x dx

a b

Se a < b, vale l’opposto.

a

∫ ( )

f x dx=0

a

Perché non viene considerato nessun intervallo.

b

n n

∑ ∫ ∑

( )

( −x )≤ (x −x )

m x f x dx ≤ M

k k k−1 k k k−1

k=1 k=1

a

In cui la prima sommatoria è f(x-min), la seconda è f(x-max), qui viene spiegata

la presenza di dx (differenziale), che è l’incremento infinitesimo all’interno delle

sommatorie.

Additività rispetto al dominio di integrazione:

Dati a < c < b:

b c b c b c

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

f x dx= f x dx f x dx , quindi f x dx= f x dx+ f x dx

a a c a a b

GLI INTEGRALI HANNO LO STESSO SEGNO DELLA FUNZIONE.

( )

αf x

b b

∫ ∫

( ) ( )

(¿+ )) +

βg(x dx=α f x dx β g x dx

a a

b

∫ ¿

a

Con alfa e beta appartenenti a R.