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INTEGRALE CURVILINEO
( )
( ) ( ) ( )
ϕ ∈[a
=
Data una curva , con la curva regolare, ( )
t x t , y t , t , b] f x , y
( )
[ ]
ϕ
continua su , viene definito “integrale curvilineo” ciò che segue:
a , b
( )
t ¿
x'
¿
( )
' t
¿
y
¿
¿ 2
¿
( )
( ) ( ) ¿
f x t , y t √
b b
❑ | |
| |
∫ ∫ ∫
'
( )
( ) ( ) ( )
ϕ ϕ ¿
f x , y ds ↔ f t t dt=
ϕ a a
Ovviamente definito su una funzione continua.
| |
| |
'
ϕ
Se è regolare a tratti, allora ha punti di discontinuità di prima
( )
ϕ t
specie, la funzione è comunque continua, quindi:
❑ ❑
n−1
∫ ∑ ∫
( ) ( )
ϕ → f x , y ds= f x , y ds
[ ]
t ,t
i i+ 1 =1
i
ϕ ϕ
[ ]
t ,t
i i+ 1
Quindi la funzione viene spezzettata e poi sommata. Se la funzione è
f
costante e uguale a 1, allora il risultato dell’integrale è la lunghezza della
curva.
Geometricamente, l’integrale curvilineo di una funzione definito su una curva
dato un determinato sostegno, è uguale all’area compresa fra la funzione e il
piano , con la funzione tagliata dalla curva, ad esempio si prenda la
xy
seguente funzione:
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