Integrale di Riemann e integrali definiti - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

Integrale di Riemann

Teorema: somme inferiori < somme superiori

Significato geometrico dell' integrale di Riemann

• Additività
• Positività / negatività
• Monotonia
• Valore assoluto

Lemma di Riemann

Teorema integrazione funzioni monotone

Teorema integrazione funzioni continue

Teorema media integrale

Teorema funzioni integrabili in sottoinsiemi del dominio

Integrale definito

Funzione integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema di Torricelli

Integrazione per parti degli integrali definiti

Integrazione per sostituzione degli integrali definiti

Lunghezza di un grafico

Volume di un solido di rotazione

Integrale di Riemann

Considero l'intervallo [a, b] ⊆ R

Il punto x₁ spezza l'intervallo in 2 sotto intervalli, il punto x₂ spezza in ulteriori 3 subdivisioni.

Generalizzando

Se voglio dividere l'intervallo [a, b] in n parti servono n+1 punti ordinati da x₀ a x_n.

Def Decomposizione o Suddivisione

Diciamo che l'insieme Δ = {x₀, x₁, ..., x_n} dove a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b è una decomposizione o suddivisione dell'intervallo [a, b].

Ogni sottointervallo [x_i, x_i+1] è disgiunto dall'altro [x_j, x_j+1] e la loro unione restituisce [a, b].

Def Decomposizione più fine

Diciamo che la suddivisione Δ₂ è più fine della suddivisione Δ₁ se la suddivisione Δ₁ è contenuta nella suddivisione Δ₂ (Δ₁ ⊇ Δ₂).

(Più fine = ampiezza dei sottointervalli più piccole).

Oss: Date Δ₁ e Δ₂ le suddivisioni Δ = Δ₁ ∪ Δ₂ è più fine sia di Δ₁ sia di Δ₂.

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL'INTEGRALE DI RIEMANN

Sia F: [a, b] → ℝ continua e limitata.

Esprimiamo F(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]

Consideriamo:

(R_f) = {(x, y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ F(x)}

EPIGRAFICO DI F => cioè il piano sottostante il grafico della Funzione (F) => AREA DEL SOTTOGRAFICO

Allora, se f è integrabile in [a, b] si ha che

∫_a^b F(x) dx = m(R_f)

MISURA DI R_f

⇣

MISURA DI RIEMANN-JORDAN

Essendo F continua in [a,b], F è uniformemente continua in [a,b].

Per il teorema di Cantor, ovvero che in corrispondenza ad ε>0

∀x,y ∈ [a,b], |x-y| < σ ⇒ |F(x) - F(y)| < ε

Sia D_σ ∈ [a,b]

S(F) = s_σ(F)

L = f(x₁...f(x_n etc.)

ε [(x₁-x₂)+... +f(c_b-x_m) = ε(b-a)

s(D_σF) - S(D_σF) < ε(b-a)

TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE

Sia F: [a,b] → R continua in [a,b]

Allora ∃ c ∈ [a,b] :

∫_a^b f(x)dx = f(c) ⋅ (b-a)

DIMOSTRAZIONE

Si f(x) R-integrabile in [a_n, b]

inf_[a,b] F ⋅ (b-a) < ∫_a^b f(x)dx < supF ⋅ (b-a)

Siccome la funzione è continua min = infF

e max = supF

minF ⋅ (b-a) < ∫_a^b f(x)dx < maxF ⋅ (b-a)

(Dividendo per (b-a))

minF < 1a F(c)dx < maxF

Allora per il teorema dei valori intermedi

∃ c ∈ [a,b] : F(c) = 1a F(c)dx

⇒ F(c) ⋅ (b-a) = ∫_a^b F(x)dx

Teor. (Integrazione per istituzione per integr. Riman.)

Siano F: [a, b] → R continuo e ψ: [c, d] → [a, b] derivabile con derivata continua in [c, d]. Allora ∀α, β ∈ [a, b] si ha:

∫_α^β F(x)dx = ∫_αʹ^βʹ F(ψ(t)) · ψʹ(t)dt

con α = ψ(αʹ), β = ψ(βʹ)

Se ψ è invertibile βʹ = ψ^-1(β) e αʹ = ψ^-1(α)

Esempio

∫₀¹ e^x² dx =

Poniamo F(x) = e^x ⇒ x = t²

quindi ψ(t) = t² t ∈ [0, 1]

dx = 2t dt

x = 0 ⇔ t = 0

x = 1 ⇔ t = 1

= ∫₀¹ e^t22t dt = ∫₀¹ t · e^t dt

⇒ Poniamo come nell'esempio precedente ⇒

∫₀¹ (1/e) [e^t] -2 = - (2/e) [e -1] =

- 2/e - 2/(1/e) ∙ -4 = -2/(1/e)

= 2/e + 2 = 4/e + 2 =

= (2/(1/e) + 1)

Esempio

∫₀^e 1/(x² · e^x) dx =

= ∫₁^e 1/(t · 1/t) e^t dt =

∫₁^e 1/(t² + 1) dt = [arctg t]₁^e = arctg(e) - arctg(1) =

= [arctg(e) - π/4]