Integrale di Riemann e integrali definiti - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

Integrale di Riemann

Teorema: somme inferiori < somme superiori

Significato geometrico dell' integrale di Riemann

Proprietà dell' integrale di Riemann:

• Additività
• Positività / negatività
• Monotonia
• Valore assoluto

Lemma di Riemann

Teorema integrazione funzioni monotone

Teorema integrazione funzioni continue

Toorema media integrale

Teorema funzioni integrabili in sottoinsiemi del dominio

Integrale definito

Funzione integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema di Torricelli

Integrazione per parti degli integrali definiti

Integrazione per sostituzione degli integrali definiti

Lunghezza di un grafico

Volume di un solido di rotazione

INDICE DOCUMENTO

Integrale di Riemann

Teorema: somme inferiori < somme superiori

Significato geometrico dell' integrale di Riemann

Proprietà dell' integrale di Riemann:

• Additività
• Positività / negatività
• Monotonia
• Valore assoluto

Lemma di Riemann

Teorema integrazione funzioni monotone

Teorema integrazione funzioni continue

Toorema media integrale

Teorema funzioni integrabili in sottoinsiemi del dominio

Integrale definito

Funzione integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema di Torricelli

Integrazione per parti degli integrali definiti

Integrazione per sostituzione degli integrali definiti

Lunghezza di un grafico

Volume di un solido di rotazione

Integrale di Riemann

Consideriamo l'intervallo [a,b] ⊆ ℝ

Il punto x₂ spezza l'intervallo in 2 sottointervalli, il punto x₂ spezza l'intervallo in 3 sottointervalli

Generalizzando: se voglio dividere l'intervallo [a,b] in n parti, servono n+1 punti ordinati da x₀ a x_n

Def: Decomposizione o suddivisione

Dicono che l'insieme Δ = {x₀, x₁, ..., x_n} dove a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b è una decomposizione o suddivisione dell'intervallo [a,b]

Ogni sottointervallo [x_i, x_i+1] è disgiunto dall'altro [x_j, x_j+1] e la loro unione restituisce [a,b]

Def: Decomposizione più fine

Dicono che la suddivisione Δ₂ è più fine della suddivisione Δ₁, se la suddivisione Δ₁ è contenuta nella suddivisione Δ₁, (Δ₁ ⊇ Δ₂)

(Più fine = ampiezza dei sottointervalli più piccoli)

Oss: Date Δ* e Δ' la suddivisione Δ* = Δ* ∪ Δ' è più fine sia di Δ* sia di Δ'

TEOR. (INTEGRALE DI RIEMANN)

Sia F: _[a,b] → ℝ una funzione limitata in _[a,b]

(Nel disegno è continua ma potrebbe pure non essere continua)

La funzione ha quindi un inf ed un sup se fosse continua

sup=max inf=min

Costruiamo una suddivisione dell'intervallo _[a,b] in n punti e consideriamo l'inf di ogni sottintervallo e il sup di ogni sottint.

Poniamo:

m₁ = infF_[x0,x1]

m₂ = infF_[x1,x2]

...

m_n = infF_[xn-1,xn]

H₁ = supF_[x0,x1]

H₂ = supF_[x1,x2]

...

H_n = supF_[xn-1,xn]

È chiamata SOMMA INFERIORE la somma delle aree dei rettangoli la cui base corrisponde agli estremi del sott. intervallo _[xi,xi+1] e la cui altezza corrisponde ad m_i (1 ≤ i ≤ n)

• s(Δ;f) = m₁(x₁-a) + m₂(x₂-x₁) + ... + m_n(b-x_n)

È chiamata SOMMA SUPERIORE la somma delle aree dei rettangoli la cui base corrisponde ad _[xi,xi+1] e la cui altezza corrisponde ad H_i (1 ≤ i ≤ n)

• S(Δ;f) = H₁(x₁-a) + H₂(x₂-x₁) + ... + H_n(b-x_n)

Naturalmente, S > s e la si può vedere anche graficamente

Man mano che aumentiamo le decomposizioni/suddivisioni, gli intervalli diventano sempre più piccoli e allora S ≈ s

Somma con n div. più piccole sempre più piccole ⇒ ∫

TEOREMA SOMME INFERIORI < SOMME SUPERIORI

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione limitata, allora ∀ ∆₁, ∆₂ subdivisioni di [a,b] si ha che le somme inferiori sono sempre minori o uguali delle somme superiori.

s(∆, f) ≤ S(∆, f)

OSS: La disuguaglianza si mantiene anche se ∆₁ ≠ ∆₂

DIMOSTRAZIONE

∆₁

a x₁