Insiemi numeri, teorema fondamentale, estremi, esponenziali, principio induzione, fattoriali, coefficienti binomiali

Notazioni insiemistiche

• A, B, C insieme → A = {a, b, c, ...}
• P(A) insieme delle parti di A
• ∅ insieme vuoto
• a ∈ A "a appartiene ad A"
• A ⊆ B "A appartenente ad A, a ∈ B" (⊆ contenuto)
• A = B ⇔ (se e solo se) A ⊆ B e B ⊆ A
• A ∪ B A unione B
• A ∩ B intersezione di A e B
• A - B differenza di A con B
• A × B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}

Relazioni d'ordine ≤ su insieme X

riflessiva ∀x ∈ X, x ≤ x

antisimmetrica ∀x,y ∈ X, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y

transitiva ∀x,y,z ∈ X, x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z

INSIEME DEI NUMERI NATURALI E OPERAZIONI

• N = {0, 1, 2, 3, ..., n, m + 1, ...}
• insieme ordinato 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
• operazioni di somma e prodotto (+, •)
• proprietà:
• ASSOCIATIVA ∀a, b, c ∈ N (a+b)+c = a+(b+c)
• ELEMENTO NEUTRO 0 + n = n = n + 0 1 • n = n = n • 1
• COMMUTATIVA a + b = b + a a • b = b • a

Notazioni insiemistiche

• A, B, C insieme - A = {a, b, c, ...}
• P(A) insieme delle parti di A
• ∅ insieme vuoto
• a ∈ A "a appartiene ad A"
• A ⊆ B "A è contenuto in B" a∈B (⊆ contenuto)
• A = B (se e solo se) A ⊆ B ∧ B ⊆ A
• A ∪ B A unione B
• A ∩ B intersezione di A e B
• A - B differenza di A con B
• A × B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}

Relazioni d'ordine

Riflessiva ∀ x ∈ X, x ≤ x

Antisimmetrica ∀ x, y ∈ X, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y

Transitiva ∀ x, y, z ∈ X, x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z

Insieme dei numeri naturali e operazioni

• N = {0, 1, 2, 3, ..., n, n + 1, ...}
• insieme ordinato 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
• operazioni di somma e prodotto (+, ·)

Proprietà :

Associativa ∀ a, b, c ∈ N (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro 0 + n = n = n + 0 1 · n = n = n · 1

Commutativa a + b = b + a a · b = b · a

DISTRIBUTIVA

a · (b + c) = a · b + c · a

COMPATIBILITÀ CON L’ORDINAMENTO

m ≤ u ⇔ m + k ≤ u + k ∀k ∈ ℕ

m · k ≤ u · k ∀k ∈ ℕ \ {0}

INSIEME DEI NUMERI RELATIVI

• ℤ = {0, 1, 1, 2, 2, …, m, m, …}
• ℕ ⊆ ℤ
• ℤ è un insieme ordinato
• Operazioni di somma e prodotto
• Proprietà:
  • ogni n ∈ ℕ ∃ m ∈ ℤ, ∃ u ∈ ℤ | u + m = 0 u = -n opposto di n
• Compatibilità con l’ordinamento dati u, m, k ∈ ℤ
  • m ≤ u ⇔ m + k ≤ u + k

INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI

Q = _m/_{m < Z, m < N - {0}} Z < Q

• Insieme ordinato a/b _{c/d m * b < n * a}
• Operazione di somma e prodotto
  • a/b + a/m = (m * b + a * m)/m * b
  • a/b * a/m = a * m/b * m
• Proprietà: tutte quelle esistenti in Z
  • l'esistenza dell'inverso rispetto al prodotto
  • a_b/m = 1
  • a uno di segno
    • b = a > 0
    • b < a < 0
    • -b se a > 0
    • b se a < 0
• Compatibilità con l'ordinamento canonico in Z
• Rappresentazione decimale
  • a_b1b2...bn a < Z, b1...bn < N
  • a1_{b1...bn c1...ck c1 ck}
• Es
  • 1/3 = 0,3333... = 0,3
  • 1/4 = 0,25
  • 1 = 0,9

Fatto interessante: tra ogni coppia di razionali c'è un terzo razionale

∀a,b∈ℚ ∃ c:= ^a+b⁄₂ | a<c<b

"È blu a riempire i buchi lasciati da ℤ e porre a sono delle lacune."

Es. ∄ a∈ℚ | a²=2

dim (per assurdo)

sia ^m⁄_n ∈ℚ / (^m⁄_n)²=2;

che scriviamo nella forma

m²=2n² *

Teorema fondamentale aritmetica

u:= ^e₁⁄_p1 ^e₂⁄_p2 ... ^e_k⁄_pk

m = q₁^s₁ q₂^s₂ ... q_k^s_k

p_j = primi

r_i ∈ℕ : ∃ϑ

* ^2e₁⁄_p1 ^2e₂⁄_p2 ... ^2e_k⁄_pk = 2 q₁^2s₁ q₂^2s₂ ... q_k^2s_k

se il fattore primo '2' compare a sinistra allora a coppare un numero pari di volte, a destra il numero primo '2' compare un numero dispari di volte. Assurdo!!

Conclusione

A:=∫_a^ba

B:=∫_b^œ b

∀a∈A, ∀b∈B ⇒ a<b

A∪B=ℝ

Il campo ordinato dei numeri reali

• R insieme dei numeri reali
• Q ⊆ R

È un insieme numerico dotato di un ordinamento compatibile con quello di Q e di due operazioni (compatibili con quelle di Q) con le seguenti proprietà:

• • associativa
  • commutativa
  • elemento neutro (0)
  • ogni elemento ha un opposto
  somma
• • associativo
  • commutativo
  • elemento neutro (1)
  • ogni elemento ≠ 0 ha un inverso
  prodotto
• distributiva
• compatibilità con l'ordinamento

Vale in oltre la seguente proprietà

• elemento separatore Dati A, B ⊆ R tale che

A ∪ B = R,

∀a ∈ A ∀b ∈ B ⇒ a < b

allora esiste uno e uno solo s ∈ R tale che

a ≤ s ≤ b

Es

√2 elemento separatore di A: {a ∈ R : a² < 2}

B: {b ∈ R : b² ≥ 2}

• I numeri reali hanno un'espansione decimale possibilmente infinita non necessariamente periodica

DEF

A ≤ R si dice che:

• A è superiormente limitato se ∃ M ∈ R tale che a ≤ M ∀ a ∈ A
• A è inferiormente limitato se ∃ m ∈ R tale che m ≤ a ∀ a ∈ A
• A è limitato se lo è sia superiormente che inferiormente

INTERVALLI APERTI

ES.

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

(a, +∞) = {x ∈ R : x > a}

(-∞, a) = {x ∈ R : x < a}

INTERVALLI SEMI-APERTI

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a}

(-∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}

INTERVALLO CHIUSO LIMITATO

[a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

ESTREMI SUPERIORI E INFERIORI

DEF Sia A ⊂ ℝ inferiormente limitato

• un minorante di A è un qualsiasi m ∈ ℝtale che m ≤ a ∈ A
• l'estremo inferiore di A è il più grande dei minoranti di A. Si scrive inf A

OSSERVAZIONE

inf A esiste ed è unico grazie alla esistenza e unicità dell'elemento separatore

DEF Sia A ⊂ ℝ superiormente limitato

• un maggiorante di A è un qualsiasi M ∈ ℝtale che a ≤ M ∈ A
• l'estremo superiore è il minore dei maggioranti di A. Si scrive sup A

CONVENZIONE

• Se A non è superiormente limitato l'estremo superiore di A è +∞
• Se A non è inferiormente limitato l'estremo inferiore di A e -∞

ES

Trovare inf sup dell'insieme

A = {x ∈ ℝ : x+1 < -x²+4}

1. x²+x-3 < 0   x > -1

2. x²-x-5 < 0   x < -1

► x²+x-3 < 0   x > -1

∆ = 13   x_1,2 = ±1+√13/2

⇧  ^-√13⁄₂ ≤ x ≤ ¾± √&ftinsp;13/2

⇒ x_1,2 = ≈  √²¹4

⇒ S…- ¾√³ ≤ x , s/2 < x, ―√21  /2

s' l'insieme X contiene numeri nell'intervallo

l'estremo superiore è mentre l'inferiore

NOTA BENE: Se l'estremo superiore e/o inferiore sono inclusi nell'intervallo considerato allora si parla di massimo e minimo della funzione.

Radici Potenze e Logaritmi

• n ∈ N a ∈ R, n, a > 0 ∃! b ∈ R b > 0 che risolve bⁿ = a

'b' è chiamata radice ennesima di 'a' e si pone b = ^n√a

o b = a^1/n

• ∃ m ∈ Q e a > 0 si definisce a^m/n = ^n√a^m

potenze razionali dei numeri reali

• La precedente definizione si estende (con un argomento di approssimazione) onde definire a^r a, r ∈ R a > 0

a^r soddisfa le usuali proprietà delle potenze.

• Consideriamo l'equazione a^x = b a, b ∈ R, a > 0 a ≠ 1 b > 0. L'equazione ha una e una sola soluzione :

x = log_ab ^{(logaritmo in base 'a' di 'b')}

Se a = e (numero di Nepero (2,71...). Scriviamo semplicemente log (si usa spesso ln)

PRINCIPIO DI INDUZIONE

Questo principio è un metodo basilare per dimostrare proposizioni di questo tipo: ^{n n₀},vale la proprietà (m).

f ₀ è il più piccolo intero per cui si vuole che la proprietà sia vera.

FUNZIONAMENTO:

1. Si dimostra che (m) è vera per m=m₀
2. Si dimostra che la proprietà è vera per qualsiasi m generico > m₀ verificando che sia vera per (m+1)

SOMMATORIA GAUSS

1+2+3+...+n =  ^m(m+1)/₂ ← ipotesi induttiva

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE

n=m₀=1 → ^1·(1+1)/₂ = 1

n → n+1

1+2+...+n+(n+1) = ^m(m+1)/₂+(m+1) = ^(m+1)(m+2)/₂

k= m+1 → ^k(k+1)/₂

SOMMA DELLA PROGRESSIONE GEOMETRICA

^{m ≥ 0} 1+q+q²+...+q^m = ^1-qm+1/_1-q

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE

n=m₀=0 q⁰ = ^1-q1/_1-q 1=1 √

n→n+1

1+q+q²+...+q^m+q = ^1-qn+1/_1-q + q^m+1 = ipotesi induttiva

=^{1-qm+1 + qm₁/_1-q}

= ^1-qm+2/_1-q

= ^1-qn+2/_1-q / / / ^1-q = / /