Insiemi numeri, teorema fondamentale, estremi, esponenziali, principio induzione, fattoriali, coefficienti binomiali

Numeri Interi, Numeri Razionali e Operazioni

• Operazioni insiemistiche:
• A, B, C ... insiemi - A = { a, b, c ... }
• P(A) - insieme delle parti di A
• ∅ - insieme vuoto
• a ∈ A - a appartiene ad A
• A ⊆ B ↔ ∀a appartenente ad A a ∈ B (⊆ contenuto)
• A = B ↔ ( ⊆ se e solo se )
• A ∪ B - A unione B
• A ∩ B - intersezione di A e B
• A \ B - differenza di A con B
• A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }

Relazioni d'ordine ≤ su insieme X

• Riflessiva ∀x ∈ X x ≤ x
• Antisimmetrica ∀x, y ∈ X, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
• Transitiva ∀x, y, z ∈ X , x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z

Insieme dei Numeri Naturali e Operazioni

• ℕ = { 0, 1, 2, 3, ..., n, n+1, ... }
• insieme ordinato 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
• operazioni di somma e prodotto (+, ·)
• proprietà:
• Associativa ∀a, b, c ∈ ℕ
• (a + b) + c = a + (b + c)
• Elemento neutro
• 0 + n = n = n + 0
• 1 · n = n = n · 1
• Commutativa
• a + b = b + a
• a · b = b · a

DISTRIBUTIVA

a • (b+c) = a • b + c • a

COMPATIBILITA' CON L'ORDINAMENTO

m ≤ u ⇒ m+ k ≤ u + k   ∀k ∈ ℕ

m ≤ u ⇒ m • k ≤ u • k   ∀k ∈ ℕ

INSIEME DEI NUMERI RELATIVI

ℤ = {...-3,-2,-1,0,1,2,...}

ℕ ⊂ ℤ

• ℤ è un insieme ordinato
• Operazioni di somma e prodotto
• Proprietà: ∀m ∈ ℕ ⇒ ∀m ∈ ℤ
• −m ∈ ℤ
• Compatibilità con l'ordinamento dati u,m,k ∈ ℤ

m ≤ u ⇔ m + k ≤ u + k

DEF

A ⊂ R   si dice che:

• A è superiormente limitato se ∃ M ∈ R tale che a ≤ M     ∀ a ∈ A
• A è inferiormente limitato se ∃ m ∈ R tale che m ≤ a     ∀ a ∈ A
• A è limitato se lo è sia superiormente che inferiormente

INTERVALLI APERTI

Es:

(a, b) = {x ∈ R: a < x < b} limitato

(a, +∞) = {x ∈ R: x > a} inferior limitato

(-∞, a) = {x ∈ R: x < a} superior limitato

INTERVALLI SEMI-APERTI

[a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b}     sup inf

(a, +∞) = {x ∈ R: x > a} inf limitato

(-∞, a] = {x ∈ R: x ≤ a} sop limitato

• intervalli chiusi perché ±∞ ∉ R

INTERVALLO CHIUSO LIMITATO

[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}

Fattoriali e Coefficienti Binomiali

Dato un intero m > 1 si definisce m! il prodotto dei primi m interi:

m! = 2∙3∙...∙(m−1)∙m m! = m(m−1)!

Dati m, n ∈ ℕ, n ≤ m ≥ 1, si definisce coefficiente binomiale:

∂

∂

Alcune Convenzioni

• 0! = 1
• n₀ = 1
• n_n = 1
• m_k−1 + m_k = m^n+1_k

Triangolo di Tartaglia

Modo pratico per ottenere i coefficienti binomiali

Potenza del Binomio

a, b ∈ ℝ m ∈ ℕ allora

(a+b)ⁿ = Σ_{k = 0}ⁿ n_k a^k b^m-k

Σ serve per scrivere in modo compatto le somme di un numero finito di addendi che dipendono da un indice