Insiemi - introduzione all'analisi matematica

Lezione 1

25/09/2017

Simbologia

∈ Appartiene   ∃ Esiste   ⊂ Contenuto strettamente

∉ Non appartiene   ∃! Esiste unico   ⊆ Contenuto

⇒ Contiene strettamente   ⇒ Implica   ≠ Diverso

⊇ Contiene   ⇔ Se e solo se   ∃ : 1 tale che

∀ Per ogni   ⊂,⊆,∅,∈,Δ,σ(∃),∈,ρ (rho)

Teoria degli insiemi

1. Rappresentazione estensiva   A: {0, 1, 2, 3, 4}
2. Rappresentazione intensiva   A: { x | x ∈ N e x < 5 }
3. Rappresentazione con diagrammi   Eulero-Venn

Un insieme può essere contenuto in un altro, si dice allora che B è un sottoinsieme di A.   B ⊆ A

∅ Insieme vuoto (privo di elementi)

Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.   A ∩ B

Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.   A ∪ B

Si definisce complementare di B rispetto all'insieme X, l'insieme degli elementi che stanno in X ma non in B.

X \ B: B^c = { x ∈ X e x ∉ B }

Insiemi numerici

Naturali (ℕ) {0, 1, ...+∞} è un insieme discreto (valori specifici), dove addizione e prodotto sono operazioni ben definite (interne).

Interi (ℤ) {-∞, +∞} permette la sottrazione tra numeri naturali, mentre la divisione non è ancora ben definita.

Lezione 1

25/09/2017

Simbologia

• ∈ Appartiene
• ∃ Esiste
• ⊂ Contenuto strettamente
• ∉ Non appartiene
• ∃! Esiste unico
• ⊆ Contenuto
• ⟹ Implica
• ≠ Diverso
• ∋ Contiene strettamente
• ⇔ Se e solo se
• ∋ Tale che
• ∀ Per ogni
• α, β, γ, δ (r), Δ, σ (Σ), ε, ρ (rho)

Teoria degli insiemi

1. Rappresentazione estensiva A: {0,1,2,3,4}
2. Rappresentazione intensiva A: {x | x ∈ ℕ e x < 5}
3. Rappresentazione con diagrammi Eulero-Venn

Un insieme può essere contenuto in un altro, si dice allora che B è un sottoinsieme di A. B ⊆ A

Ø Insieme vuoto (privo di elementi)

Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B. A ∩ B

Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. A ∪ B

Si definisce complementare di B rispetto all'insieme X, l'insieme degli elementi che stanno in X ma non in B.

X \ B: {x ∈ X e x ∉ B}

Insiemi numerici

Naturali (ℕ) {0,1,...,+∞} è un insieme discreto (valori specifici), dove addizione e prodotto sono operazioni ben definite (interne).

Interi (ℤ) {-∞,+∞} permette la sottrazione tra numeri naturali, mentre la divisione non è ancora ben definita.

Razionali (Q)

questo insieme comprende:

• numeri interi relativi
• decimali finiti relativi
• decimali infiniti periodici relativi
• decimali infiniti periodici misti relativi

Si possono effettuare tutte le operazioni eccetto l'estrazione di radice con radicando negativo e indice pari.

Reali (R)

dove R/Q (irrazionali) consente tutte le operazioni eccetto l'estrazione di radice con un radicando negativo.

Complessi (C)

dove i è un'unità immaginaria z = 2 + ib con a e b reali e i² = -1.

Sottoinsiemi di R

Intervallo chiuso

[a,b]

a---b

Intervallo aperto

(a,b) ]a,b[

a---b

Intervallo illimitato superiormente/inferiormente aperto/chiuso

a---b

-∞ +∞ -∞ +∞

Intervallo illimitato

]-∞,+∞[

x ∈ R

Intorno di centro x₀ e raggio δ

I(x₀,δ) = (x₀-δ, x₀+δ) cioè {x ∈ R: |x-x₀| < δ, δ > 0}

Intorno destro e sinistro

(x₀, x₀+δ) e (x₀-δ, x₀)

Intorno di -∞ e +∞

(-∞, a) cioè {x ∈ R: x < 3}

(a, +∞) cioè {x ∈ R: x > 3}

L'insieme A, contenuto strettamente in R, è limitato se esiste un intorno (p,r) che lo contiene.

A ⊂ R è limitato se ∃ I(p,r) che lo contiene.

K ∈ R è maggiorante (minornate) per A se:

• K è confinabile con ogni x ∈ A
• ∀ x ∈ A: x ≤ K (x ≥ H)

A è limitato superiormente se ∃ K ∈ R: x ≤ K, K maggiorante di A

A è limitato inferiormente se ∃ H ∈ R: H ≤ x, H minorante di A

A è limitato se lo è sia superiormente che inferiormente

Si definisce estremo superiore di A e si indica con sup A, il minimo dei maggioranti di A se esiste; mentre indicato con inf A l'estremo inferiore è il più grande dei minoranti.

sup A e inf A se esistono sono unici.

Un punto x₀ si dice interno ad A se esiste un suo intorno I(x_o,δ) con δ>0 contenuto in A.

Si dice esterno ad A se è interno al complementare: C A (A^c)

Si dice di frontiera per A se non è ne interno ne esterno.

A interni ad A/∂A FA frontiera.

x_o è un punto di accumulazione per un insieme A se in ∀I(x_o,δ) esiste un punto di A diverso da x_o (in ogni intorno di x_o) infiniti elementi di A.

D A: derivato di A, è l'insieme dei punti di accumulazione per A.

Se x_o ∈ DA allora può aversi x_o ∈ A oppure x_o ∉ A.

Se D A=∅ discreto

Se D A=A perfetto

A ⊆ R si dice aperta se ogni x ∈ A è un punto interno, cioè se A ⊆ A.

A si dice chiusa se A_c è aperto.

R=∅ sono sia aperti che chiusi.