Ingegneria - Calcolo 3

Esercizi proposti su curve e forme differenziali

Il sistema è stato realizzato da G. Faraco (Dipartimento di Matematica) utilizzando i materiali messi a disposizione dall'Università di Akron (www.math.uakron.edu/dpstory/latx2.html). Lo scopo del lavoro è quello di fornire all'utente tracce di esercizi inerenti alcuni degli argomenti trattati nel corso di Calcolo 3.

Contenuti

• 1. Parametrizzazioni
• 2. Lunghezza di un arco di curva
• 3. Integrali curvilinei di campi scalari
• 4. Integrali curvilinei di campi vettoriali
• 5. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi (forme differenziali chiuse ed esatte). Calcolo del potenziale (primitiva).
• 6. Applicazione della formula di Gauss-Green
• 7. Esercizi di riepilogo con svolgimento

1. Parametrizzazioni

1. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo di un triangolo di vertici (0,0), (1,2), (2,1).

2. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo del dominio \(D = A \cup B\) dove \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}\) e \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2xy \geq 1\}\).

3. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo del dominio \(D = A \cup B\) dove \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | y \geq 0, x^2 + 4y^2 = 4\}\) e \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 3, 2y \leq 1\}\).

4. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo del dominio \(D = A \setminus B\) dove \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2\}\) e \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | (x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1\}\).

5. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo della parte di piano situata nel I quadrante esterna alla circonferenza di raggio \(r = 1\) e centro \(C(0, 0)\), e interna alla circonferenza di raggio \(r = 1\) e centro \(C(0, \frac{1}{2})\).

6. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo della parte di piano situata nel I quadrante limitata dalle curve \(x^2 + y^2 = 1\), \(y = x\), \(y = 0\).

7. Parametrizzare la curva, percorsa in senso antiorario, che costituisce il bordo del dominio limitato dalle curve \(x^2 - y^2 = 1\), \(y = x + 1\), \(xy = 2\), \(x = 0\).

2. Lunghezza di un arco di curva

1. Calcolare la lunghezza della curva \(\mathbf{r}(t) = t^2\mathbf{i} + t^3\mathbf{j} + t^4\mathbf{k}\) con \(t \in [0, 1]\).

2. Calcolare la lunghezza della curva \(y = \ln x\) con \(x \in [1, 3]\).

3. Calcolare la lunghezza della curva \(r = 2(1 + \cos\theta)\) con \(\theta \in [-\pi, \pi]\).

4. Calcolare la lunghezza della curva \(y = e^x\) con \(x \in [1, 2]\).

5. Calcolare la lunghezza della curva \(\mathbf{r}(t) = e^{\pi t} \cos t\mathbf{i} + e^{\pi t} \sin t\mathbf{j}\) con \(t \in [0, 2]\pi\).

3. Integrali curvilinei di campi scalari

1. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C (3x + y^2) \, ds\) dove \(C\) è il segmento di \(\mathbb{R}^2\) congiungente i punti (0,0) e (1,1).

2. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C \sqrt{2x^2 + z^2} \, ds\) lungo la retta intersezione dei due piani \(-x + y - z = 0\), \(x + 2y + z = 0\), che va dall'origine al punto (3,-2,1).

3. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C \frac{ds}{x + y + 1}\) dove \(C\) è la frontiera del dominio caratterizzato dalle limitazioni \(x^2 + (y - 1)^2 \leq 1\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).

4. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C x \, ds\) dove \(C\) è la curva \(\mathbf{r}(t) = \cos t\mathbf{i} + \sin t\mathbf{j}\) con \(0 \leq t \leq 2\pi\).

5. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C (x^2 + z^2) \, ds\) dove \(C\) è la curva di equazioni \(\mathbf{r}(t) = e^{-t}\mathbf{i} + 2t\mathbf{j} + e^{t}\mathbf{k}\) con \(0 \leq t \leq 1\).

6. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C \sqrt{x^2 + y^2} \, ds\) dove \(C\) è la curva \(\mathbf{r}(t) = e^{t} \cos t\mathbf{i} + e^{t} \sin t\mathbf{j}\) con \(0 \leq t \leq 2\pi\).

4. Integrali curvilinei di campi vettoriali

1. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C 2xy \, dx + (x^2 + y^2) \, dy\) dove \(C\) è l'ellisse di equazione \(9x^2 + 4y^2 = 36\) percorsa una sola volta in senso antiorario.

2. Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata \(\int_C (x^2 - 2xy) \, dx + (2xy + y^2) \, dy\) dove \(C\) è l'arco di parabola compreso fra i punti (1, 1) e (2, 4).

3. Calcolare il seguente integrale curvilineo \(\int_C 2x \, dx + x \, dy\) dove \(C\) è data dall'unione del segmento che va da (0,0) a (0,1) e dal segmento che va da (0,1) a (1,1).

4. Calcolare il seguente integrale curvilineo \(\int_C 2x \, dx + x \, dy\) dove \(C\) è il segmento che va da (1,1) a (0,0). Il risultato degli ultimi due integrali è lo stesso. Spiegare il perché.

5. Calcolare \(\int_\gamma \omega\) dove \(\omega = y \, dx + xy \, dy\) e \(\gamma\) di equazione parametrica: (i) \(\mathbf{r}(t) = \cos t\mathbf{i} + \sin t\mathbf{j}\) con \(t \in [0, \pi/2]\); (ii) \(\mathbf{r}(t) = \sin t\mathbf{i} + \cos t\mathbf{j}\) con \(t \in [0, \pi/2]\).

6. Calcolare \(\int_\gamma \omega\) dove \(\omega = y \, dx - x \, dy\) e \(\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2\), con \(\gamma_1 : \mathbf{r}_1(t) = \cos t\mathbf{i} + \sin t\mathbf{j}\) con \(t \in [0, \pi]\) e \(\gamma_2 : \mathbf{r}_2(t) = \sin t\mathbf{i} + \cos t\mathbf{j}\) con \(t \in [0, \pi]\).

7. Calcolare \(\int_\gamma (y \, dx + x^2 \, dy)\) essendo \(\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3\), dove \(\gamma_1\) è l'arco di circonferenza di equazione \(x^2 + y^2 = 1\) del primo quadrante, \(\gamma_2\) è l'arco di parabola di equazione \(y^2 = x - 1\) che si trova al di sotto dell'asse delle ascisse, \(\gamma_3\) è il segmento di retta di equazione \(y = x + 1\) e \(\gamma_4\) è percorsa in verso orario.

8. Calcolare i seguenti integrali curvilinei: (a) \(\int_C (x^3 + 4xy^2) \, dx - (6x^2y^2 - 5y^3) \, dy\) dove \(C\) è il segmento di estremi (3,0) e (-2,-1) percorso in senso antiorario; (b) \(\int_C \frac{x \, dy - y \, dx}{(x-y)}\) dove \(C\) è l'arco di circonferenza di centro (0,0) e raggio 1, nel IV quadrante percorso in senso antiorario; (c) \(\int_C \frac{(x+2y) \, dx + y \, dy}{(x+y)}\) dove \(C\) è il segmento di estremi (1,1), (3,1) percorso in senso antiorario.

5. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi (forme differenziali chiuse ed esatte)

1. Sia \(\omega = (xy + 1) \, dx + (y^2 + 3x) \, dy\)

• (i) \(\omega\) è chiusa in \(\mathbb{R}^2\)?
• (ii) \(\omega\) è esatta in \(\mathbb{R}^2\)?

2. Sia \(\omega = e^x \cos y \, dx - e^x \sin y \, dy\)

• (i) \(\omega\) è chiusa in \(\mathbb{R}^2\)?
• (ii) \(\omega\) è esatta in \(\mathbb{R}^2\)?
• (iii) Calcolare \(\int_\gamma \omega\), dove \(\gamma\) è un cammino che unisce i punti (0, 0) e (1, \(\pi/2\)).

3. Verificare che le seguenti forme differenziali sono esatte in \(\mathbb{R}^2\). Si determini per ognuna di esse la primitiva che nel punto \(A = (0, 0)\) vale 2:

• (a) \(\sin x \, dx + \cos y \, dy\)
• (b) \((2e^y - ye^x) \, dx + (2xe^y - e^x) \, dy\)

4. Siano:

• (a) \(\omega = (2x^2 + y^2) \, dx + (2y^2 + x^2) \, dy\)
• (b) \(\omega = \frac{dx}{(1+x^2)^{1/2}} - \frac{2xy}{(1+x^2)^{3/2}} \, dy\)
• (c) \(\omega = \left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \, dx + \left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \, dy\)
• (d) \(\omega = \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) \, dx + \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right) \, dy\)

Dire se sono forme differenziali chiuse nel loro dominio.

5. Considerati la forma differenziale \(\omega = \frac{-x}{x^2 + y^2} \, dy + \frac{y}{x^2 + y^2} \, dx\) e gli insiemi:

• \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \neq 0 \text{ o } y \neq 0\}\)
• \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x < 0 \text{ o } y \neq 0\}\)

e la curva \(\alpha(t) = (3\cos t, 2\sin t)\) con \(0 \leq t \leq 2\pi\), si chiede:

• (a) se \(\omega\) è chiusa in \(A\);
• (b) l’integrale di \(\omega\) lungo \(\alpha\);
• (c) se \(\omega\) è esatta in \(A\);
• (d) una primitiva di \(\omega\) in \(B\);
• (e) l’integrale di \(\omega\) lungo una curva che parte dal punto \(P(1, \sqrt{3})\), si avvolge 2 volte attorno all’origine e finisce nel punto \(Q(0, -1)\).

6. Calcolare \(\int_\gamma \frac{-y}{(x - 1)^2 + y^2} \, dy\) dove \(\gamma\) è l'ellisse di equazione \(\frac{x^2}{19} + \frac{y^2}{4} = 1\) percorsa una sola volta in senso orario.

7. (Appello del 16/07/02) Considerati la forma differenziale \(\omega = u \, dx + v \, dy\) con:

• \(u(x, y) = \frac{2y}{(x - 1)^2 + y^2}\)
• \(v(x, y) = \frac{-x}{(x - 1)^2 + y^2}\)

e gli insiemi:

• \(A = \mathbb{R}^2 \setminus \{(1, 0)\}\)
• \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \leq 1, y = 0\}\)

e la curva \(\alpha(t) = (5 \cos t, 3 \sin t)\) con \(0 \leq t \leq 2\pi\), si chiede:

• (i) se \(\omega\) è chiusa in \(A\);
• (ii) l’integrale di \(\omega\) lungo \(\alpha\);
• (iii) se \(\omega\) è esatta in \(A\);
• (iv) una primitiva di \(\omega\) in \(B\).

8. Considerati la forma differenziale \(\omega = u \, dx + v \, dy\), gli insiemi \(A\) e \(B\) e le curve \(\alpha\) e \(\beta\) dove:

(a) (Appello del 18/12/02)

• \(u(x, y) = \frac{3y + 1}{1 + y^2}\)
• \(v(x, y) = \frac{-6xy}{1 + y^2}\)
• \(A = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, -1)\}\)
• \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | y+1 \geq 0, x = 0\}\)
• \(\alpha(t) = (2 \cos t, 2 \sin t)\) con \(0 \leq t \leq 4\pi\)
• \(\beta(t) = (t \sin t, 1 - \cos t)\) con \(2\pi \leq t \leq 4\pi\)

(b) (Appello del 24/09/02)

• \(u(x, y) = \frac{15xy - y}{(x - 1)^2 + y^2}\)
• \(v(x, y) = \frac{-x}{(x - 1)^2 + y^2}\)
• \(A = \mathbb{R}^2 \setminus \{(1, 0)\}\)
• \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq 1, y = 0\}\)
• \(\alpha(t) = (2 \sin t, 2 \cos t)\) con \(-\pi \leq t \leq \pi/2\)
• \(\beta(t) = (2 - t, -t^2)\) con \(-2 \leq t \leq 1\)

si chiede:

• (i) se \(\omega\) è chiusa in \(A\);
• (ii) l’integrale di \(\omega\) lungo \(\alpha\);
• (iii) se \(\omega\) è esatta in \(A\);
• (iv) se \(\omega\) è esatta in \(B\), e in caso affermativo una primitiva di \(\omega\) in \(B\);
• (v) l’integrale di \(\omega\) lungo \(\beta\).

9. (Appello del 03/09/02) Considerati la forma differenziale \(\omega = u \, dx + v \, dy\) con:

• \(u(x, y) = \frac{2xy + y}{(1 + x^2y)^2}\)
• \(v(x, y) = \frac{-x}{(1 + x^2y)^2}\)

l'insieme:

• \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \leq 0, y \neq 0\}\)

e le curve:

• \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t)\) con \(0 \leq t \leq 6\pi\)
• \(\beta(t) = (3\cos t, 1 - 4\sin t)\) con \(0 \leq t \leq 2\pi\)

si chiede:

• (i) se \(\omega\) è chiusa in \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\);
• (ii) l’integrale di \(\omega\) lungo \(\alpha\);
• (iii) se \(\omega\) è esatta in \(D\);
• (iv) una primitiva di \(\omega\) in \(D\);
• (v) l’integrale di \(\omega\) lungo \(\beta\).