R8. Calcolare i seguenti integrali curvilinei:

a) (x +4xy ) dx+J I C2 2 4−(6x y 5y ) dy dove C é il segmento di estremi(3,0) e (-2,-x dy−y dxR1) percorso in senso antiorario

b) dove C é l’arcoPagine 11 di 33 2C (x−y)di circonferenza di centro (0,0) e raggio 1, nel IV quadranteIndietro (x+2y) dx+y dyRpercorso in senso antiorario

c) dove C é il2C (x+y)segmento di estremi (1,1), (3,1) percorso in senso antiorarioPieno SchermoChiudiEsci

5. Campi vettoriali irrotazionali e con-Home Page servativi (Forme differenziali chiuseed esatte).Titolo della Pagina Calcolo del potenziale (primitiva).Contenuti

1. Sia 2JJ II ω = (xy + 1) dx + (y + 3x) dy2(i) ω è chiusa in ?RJ I 2(ii) ω è esatta in ?RPagine 12 di 33 2. Sia x xIndietro −ω = e cos y dx e sin y dyPieno Schermo 2(i) ω è chiusa in ?R 2(ii) ω è esatta in ?RR(iii) Calcolare ω, dove γ è un cammino che unisce i puntiChiudi γ(0, 0) e (1, π/2)Esci 3.

Verifica forme differenziali

(a) ω = sin x dx + cos y dy

(b) ω = (2e^y) dx + (2xe^e) dy

(c) ω = (2x + y^2) dx - (x^2y) dy

(d) ω = (x^2 + y^2) dx + (2xy) dy

(e) ω = -x^2y + x + y dx + dy

Si determini per ognuna di esse la primitiva che nel punto A = (0, 0) vale 2.

Dire se sono forme differenziali chiuse nel loro dominio.

Considerati la forma differenziale ω = -x^2y + x + y dx + dy e gli insiemi:

A = {(x, y) | x ≥ 0 o y = 0}

B = {(x, y) | x < 0 o y = 0}

Si chiede:

a) se ω è chiusa in A

b) l'integrale di ω lungo α

c) se ω è esatta in A

AJJ II d) una primitiva di ω in Be)l'integrale di ω lungo una curva che parte dal punto di√J I P (1, 3) ,si avvolge 2 volte attorno all'origine e finisce nel-1)punto Q(0,Pagine 14 di 33 6. Calcolare -y -Z x 1Indietro dx + dy,2 2 2 2- -(x 1) + y (x 1) + yγPieno Schermo dove γ è l'ellisse di equazione :2 2x yChiudi + =19 4Esci percorsa una sola volta in senso orario.7. (Appello del 16/07/02) Considerati la forma differenzialeHome Page ω = u dx + v dyTitolo della Pagina con 2y y-u(x, y) =Contenuti 2 2-2 (x 1) + y-x 1v(x, y) = xy +JJ II 2 2-(x 1) + ygli insiemiJ I 2 \{(1,A = 0)},R2 2\{(x, ∈ |x ≤B = y) 1, y = 0}R RPagine 15 di 33 e la curva ≤ ≤α(t) = (5 cos t, 3 sin t) 0 t 2πIndietro si chiede:Pieno Schermo (i) se ω è chiusa in A;(ii) l'integrale di ω lungo α;Chiudi (iii) se ω è esatta in A;(iv)una primitiva di ω in

lungo α(iii) se ω è esatta in A;

Indietro (iv)se ω è esatta in B, e in caso affermativo una primitiva diω in B;

(v)l’integrale di ω lungo β.

Pieno SchermoChiudi 9. (Appello del 03/09/02) Considerati la forma differenziale

Esci ω = u dx + v dy

conHome Page 22xy y−u(x, y) = 2 2 2 2 2(1 + x y ) x + y

Titolo della Pagina 2 x2x y +v(x, y) = 2 2 2 2 2(1 + x y ) x + y

Contenuti l’ insiemeJJ II 2 2\{(x, ∈ |x ≤D = y) 0, y = 0}

R Re le curveJ I ≤ ≤α(t) = (cos t, sin t) 0 t 6π

Pagine 18 di 33 − 1 31 cos 2πx2{(x, ∈ |y ≤ ≤ }β(t) = y) = xR 2−4(2 (sin πx) ) 2 2

Indietro si chiede: 2 \{(0,(i) se ω è chiusa in 0)};R

Pieno Schermo (ii) l’integrale di ω lungo α;

(iii) se ω è esatta in D;

Chiudi (iv)una primitiva di ω in D;

(v) l’integrale di ω lungo β;

Esci 6. Applicazione della formula di GAUSS-Home Page GREEN

Titolo della Pagina 1. (Appello

(Appello del 24 Settembre 2001) Considerata la forma differenziale ω(x, y) = (xy - 2x + y) dx + (x - y + x^2) dy

e l'insieme ∪D = D1 ∪ D2 ∪ D3 con

D1 = {(x, y) | -1 ≤ x ≤ 0, -x ≤ y ≤ x + 4}

D2 = {(x, y) | -1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ x + 4}

D3 = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x + 4}

(Appello del 16 Luglio 2002) Considerata la forma differenziale ω(x, y) = (2xy ) dx + (x y + y) dy

e l'insieme D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 8, x + 4y ≤ 64}

Calcolare, utilizzando la formula di Gauss-Green, l'integrale di ω sul bordo di D percorso una sola volta in senso antiorario.

3. (Appello del 18 Dicembre 2002)

Considerata la forma differenziale ω(x, y) = (xy²) dx + (2xy) dy

Pagine 20 di 33 e l'insieme

Indietro p2 2{(x, ∈ |0 ≤ x ≤ − ≤ ≤ y ≤ 3, 9 x y x + 3,

Pieno Schermo Utilizzando la formula di Gauss-Green calcolare l'integrale di ω sul ∂D percorso una sola volta in senso orario.

Chiudi

4. (Appello del 3 Aprile 2003)

Considerata la forma differenziale ω(x, y) = (4xy - 6xy) dx + (4x y - 12x) dy

e l'insieme

Home Page 2 2 2{(x, ∈ |0 ≤ x ≤ ≤ ≤ y ≤ 1, (x-2) +y 1}

Titolo della Pagina Provare, utilizzando la formula di Gauss-Green che l'integrale di ω sul ∂D percorso una sola volta in senso antiorario vale

Contenuti 395JJ II

5. (Appello del 10 Aprile 2002)

Considerata la forma differenziale ω(x, y) = (xy - 2x y) dx + (x y - x²) dy

e l'insieme

Pagine 21 di 33 ∪D = D D1 2con

Indietro 2{(x,

Il secondo integrale è nullo poiché la funzione integranda è dispari rispetto alla variabile x e il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse y.

Osserviamo inoltre che D può essere visto come unione dei due domini: D = D1 ∪ D2, dove:

D1 = {(x, y) | -∞ ≤ x ≤ -1, 1 ≤ y ≤ 4x}

D2 = {(x, y) | -1 ≤ x ≤ 2, -4x ≤ y ≤ 0}

Allora, essendo xy una funzione pari della variabile x ed essendo D simmetrico rispetto all'asse y, si ha:

I = ∫∫D xy dxdy = ∫∫D1 xy dxdy + ∫∫D2 xy dxdy = 2∫∫D1 xy dxdy

Titolo della Pagina

Contenuti

√2y = 4-x^2

-x^2-4 ≤ y ≤ 0

0 ≤ x ≤ 2

I = ∫∫D1 xy dxdy = ∫∫D1 x√(2y) dxdy

J = ∫∫D1 x dxdy = ∫∫D1 dx√(2y)

J = ∫(1-(-x+1))dx = ∫(2x-1)dx = x^2-x

.2 2 3 4 3−2 −2

Pagine 24 di 33 da cui : 4 8

Indietro I =2 = .3 3

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

ESERCIZIO 2