Riassunto esame Infrastrutture idrauliche ed elementi di idrologia, prof. De Girolamo

Principali teorie del moto ondoso:

teoria lineare.

Onde progressive periodiche di forma costante

Alessandro Trapella

lunedì 22 luglio 13 Equazione di continuità



ρ

∂ ( )

ρ

+ ∇ ⋅ =

V 0

∂t

Ma essendo il fluido incomprimibile si assume l’equazione di continuità come



∇ ⋅ =

V 0

lunedì 22 luglio 13 Equazioni di Eulero

Se si escludono gli sforzi viscosi l’equazione di conservazione della quantità di moto

diviene:

 

D

V

ρ ρ

= −∇p + G

Dt

Avendo assunto quindi il fluido come non viscoso, cioè ideale o perfetto, le

onde di breve

equazioni di Eulero non possono risolvere problemi riguardanti

periodo, le equazioni non sono valide per lo strato limite in prossimità del fondo

solido impermeabile

lunedì 22 luglio 13 Equazione di Bernulli

Partendo dalle ipotizzando il fluido irotazionale esse diventano

equazioni di Eulero

φ

∂ 1 p

φ

+ ∇ + + =

2 gz 0

ρ

∂t 2

lunedì 22 luglio 13 Moti a potenziale di continuità,

Una considerevole semplificazione nella risulozione delle equazioni

di conservazione della quantità di moto,

(Eulero, svorzi viscosi e turbolenti nulli fluido ideale, perfetto).

Ipotesi

Fluido non viscoso e forze conservative

La vorticità delle particelle è nulla secondo il teorema di kelvin

L’applicazione del teorema di Stokes (flusso del rotore del campo vettoriale

attraverso una superficie è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera)

lunedì 22 luglio 13 Posso allora introdurre una funzione potenziale

( )

φ x, y, z,t

il cui gradiente è proprio uguale alla velocità

 φ φ φ

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

( )

φ

= ∇ ≡ ≡

V u,v,w , ,

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂x ∂y ∂z

Il rotore della velocità perciò risulta essere nullo.

Sostituendola nella equazione di continuità:



∇ ⋅ =

V 0 di Laplace.

Ottengo così l’Equazione

lunedì 22 luglio 13 Equazione di Laplace

φ φ φ

∂ ∂ ∂

2 2 2

φ

∇ = + + =

2 0

∂x ∂y ∂z

2 2 2

lunedì 22 luglio 13 Condizioni al contorno

Laplace

la risoluzione dell’equazione di per un assegnato volume richiede di

assegnare delle condizioni al contorno per tutto il volume in esame. le condizioni al

fondo impermeabile

contorno possono essere rappresentate dal oppure dalla

superficie libera.

La presenza di superfici solide rende poco plausibile l’applicazione della teoria dei

fluidi ideali poiché il fluido è soggetto a rotazionalità.

Condizioni di fondo impermeabile

per indicare il fondo del mare impermeabile devo imporre che



∂ v =

 0

∂ n

lunedì 22 luglio 13 Qualsiasi superficie può essere descritta da una funzione



( ) ( )

=

F x, y, z,t F x,t

q

indicando con il di un punto qualsiasi di questo oggetto allora

vettore velocità

 

( )

+ + =

F x qdt,t dt 0

la dovrà essere nulla per soddisfare la condizione

derivata totale ∂F 

+ ⋅∇F =

q 0

∂t

lunedì 22 luglio 13 l’equazione dovrà valere per ogni punto dotato di velocità

 ( ) φ

= = ∇

V u,v,w

del fondo marino

l’equazione che si trova a:

( )

= −h

z x, y

allora

( )

= + =

F z h x, y 0

lunedì 22 luglio 13 ∂F ∂F

 

( )

φ φ

+ ∇ ⋅ ∇F = + ∇F ∇ ⋅ =

n n 0

∂t ∂t

essendo n la normale alla superficie solida

φ

∂



φ

∇ ⋅ =

n ∂n

derivata della velocità

ma la attraverso una superficie solida è nulla!

( )

= + =

F z h x, y 0

ottengo quindi

∂h ∂h

+ + =

u v w 0

∂x ∂y

lunedì 22 luglio 13 ovvero la condizione cinematica sul fondo

φ φ φ

∂ ∂h ∂ ∂h ∂

+ + = 0

∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

Condizioni sulla superficie libera

Per le onde di oscillazione il moto avviene sempre in condizione di superficie libera;

l’equazione è

della superficie libera

( )

ζ

=

z x, y,t

sia l’elevazione che il potenziale sono incogniti, andranno quindi impostate 2

condizioni

ζ φ

? ?

lunedì 22 luglio 13 Condizione cinematica della superficie libera

In assenza di frangimento una particella appartenente alla superficie libera è

destinata a rimanerci essendo vincolata a muoversi solo tangenzialmente a tale

superficie.

Anche in questo caso è valida l’equazione

 

( ) ( )

= + + =

F x, y, z,t F x qdt,t dt 0

( ) ( )

ζ

= − =

F x, y, z,t z x, y,t 0

ζ φ ζ φ ζ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

ζ

= → + + + =

z x, y,t 0

∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

lunedì 22 luglio 13 dt

Nell’intervallo di tempo la particella subisce uno spostamento verticale pari a

ζ ζ

∂ ∂

= +

wdt u dt dt

∂x ∂t

ζ ζ

∂ ∂

= +

w u ∂x ∂t

Aggiungendo l’equazione di Bernoulli

 

φ φ

∂ ∂

2 ( )

1 ζ

=

2

+ + ⋅∇ = z x, y,t

per

g V V 0

∂t ∂z

2 2

lunedì 22 luglio 13 Principali teorie del moto ondoso: Teoria lineare

Introducendo il potenziale delle velocità le equazioni del moto si riducono alle

Laplace Bernoulli.

equazioni di e

Tali equazioni con opportune equazioni al contorno costituiscono la base delle

del moto ondoso, sotto le seguenti ipotesi:

teorie irrotazionali 1.fluido ideale non viscoso

2.forze conservative

3.moto irrotazionale

Avendo preso in esame la bisogna le condizioni della

teoria lineare linearizzare

superficie libera.

Posto che il fondo del mare sia fisso e impermeabile è possibile linearizzare

l’equazione che govrna il moto del fluido e

di Laplace la condizione cinematica sul

lineari.

sono entrambe

fondo del mare

lunedì 22 luglio 13 condizioni sulla superficie libera

le ζ φ ζ φ ζ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

ζ

= → + + + =

z x, y,t 0

∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

⎡ ⎤

φ φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1

ζ + + + +

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂x ∂x

2 ⎣ ⎦

non lineari. ordini di

Esse risultano Per linealizzarle si fa ricorso agli

grandezza se ho delle grandezze che oscillano, l’ordine di grandezza è l’ampiezza

dell’oscillazione. Ad esempio l’altezza della superficie libera varia per H, allora

( )

ζ = H

lunedì 22 luglio 13 velocità

Passando alla posso dire che

π H

φ = T

( )

φ = cH

In natura un’onda con un a ripidità

H

ε = = 0,5

L

è un’onda ripida, se si considerano i termini in cui compare la ripidità molto piccoli

essi diventano trascurabili perciò l’equazione è linearizzabile.

lunedì 22 luglio 13 la relazione

φ ζ

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

H H

= = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

O O c

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂z ∂t

T L

⎛ ⎞

φ ζ φ ζ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞

2

H H

= = = ⎜ ⎟

O c O

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∂x ∂x ∂y ∂x ∂z

⎝ ⎠

2

L L

Posto che il fondo del mare sia impermeabile, l’equazione che governa il

di Laplace

moto del fluido e la condizione cinematica sul fondo del mare

lunedì 22 luglio 13 Condizione cinematica sul fondo del mare

∂h ∂h

+ + =

u v w 0

∂x ∂y

ovvero

φ φ φ

∂ ∂h ∂ ∂h ∂

+ + = 0

∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

Secondo le ipotesi fatte riguardandi gli ordini di grandezza i termini quadratici

possono essere trascurati

lunedì 22 luglio 13 due

Il problema sta nella dereivazione di soluzioni analitiche è causato dalle

condizioni della superficie libera:

ζ φ ζ φ ζ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + − = 0

∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

⎡ ⎤

2

φ φ φ φ

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂ ∂

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1

ζ + + + + =

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

g 0

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

∂t ∂x ∂y ∂z

2 ⎢ ⎥

⎣ ⎦

linearizzazione

allora devo procedere alla perchè esse risultano non lineari nelle

incognite potenziale velocità e superficie libera.

lunedì 22 luglio 13

Si linearizza grazie agli ordini di grandezza, in particolare si fa riferimento alla

ripidità.

φ

∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

H H

= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

O O c

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂z T L

ζ φ

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

H

= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

O O

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂z

T ⎛ ⎞

φ ζ φ ζ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞

2

H H

= = = ⎜ ⎟

O c O

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

⎝ ⎠

2

L L

Qeste relazioni mostrano che l’ordine di grandezza dei termini non lineari che

appaiono nella prima condizione della superficie libera è pari a H/L volte l’ordine di

grandezza de