Riassunto esame Infrastrutture idrauliche ed elementi di idrologia, prof. De Girolamo

L T

lunedì 22 luglio 13 Quindi la costanza della forma della perturbazione di superficie porta alla

conclusione che sia l’elevazione della superficie libera che il potenziale della velocità

possano essere scritti

( ) ( )

ζ ζ θ

=

x,t

( ) ( )

φ φ θ

=

x, z,t ,t

passando alle nuove coordinate posso scrivere

( )

φ θ

φ φ θ π φ π φ

∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 2

, z 2 2

= = = = ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠

θ θ θ

∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂x ∂x ∂ ∂

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

⎣ ⎦ L L

di Laplace

quindi riscrivo l’equazione come

φ φ

∂ ∂

2 2

+ =

2

k 0

θ

∂z ∂

2 2

lunedì 22 luglio 13 condizione della superficie libera

invece la diventa

φ ω φ

φ φ ∂ ∂

∂ ∂ 2 2

2 + =

+ = 0

g 0 θ

∂z ∂

∂t ∂z 2

2 g

condizione di periodicità

la φ φ

∂ ∂

( ) ( )

=

0, z,t L, z,t

∂x ∂x

diventa

φ φ

∂ ∂ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

t t

θ π θ π

= = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 , z 2 1− , z

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

∂x ∂x

T T

lunedì 22 luglio 13 x t

Il cambiamento di variabili ha eliminato sia che

posso scrivere perciò

⎛ ⎞

x t

θ π ω

= − = −

⎜ ⎟

2 kx t

⎝ ⎠

L T

soluzione

La del problema viene ricercata usando il metodo della separazione

delle variabili

( ) ( ) ( )

φ θ θ

= ⋅

, z f Z z

di Laplace

L’equazione diventa

( ) ( ) ( ) ( )

θ θ

+ =

'' 2 ''

Z z f k f Z z 0

lunedì 22 luglio 13 dividendo tutto per

φ = ⋅

f Z

( ) ( )

θ

'' ''

Z z f

= −k 2

z f

l’uguaglianza delle due funzioni sussiste solo se esse sono entrambe uguali ad una

lamda.

costante

( ) ( )

λ

=

''

Z z Z z

( ) ( )

θ λ θ

+ =

2 ''

k f f 0

lunedì 22 luglio 13 Risolvendo le due equazioni caratteristiche associate

( ) λ λ

= +

z z

Z z A e A e

1 2

λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( )

θ θ θ

= +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

f B cos B sin

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

k k

Se sostituisco alle costanti di integrazione

+ −

A A A A

= =

* *

1 2 1 2

A A

2

1 2

2

lunedì 22 luglio 13 ottengo

( ) λ λ

= + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

λ λ λ λ

+ −

* z * z z x z z

e e e e

Z z A e A e ( ) ( ) ( )

λ λ

= + = +

Z z A A A cosh z A sinh z

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 2

1 2 2 2

inoltre a causa dell’arbitrarietà tra B e B

1 2

λ

⎛ ⎞

( )

θ θ δ

= +

⎜ ⎟

f Bsin ⎝ ⎠

k

lunedì 22 luglio 13

Prima condizione al contorno Seconda condizione al contorno

Periodicità Fondo

( )

φ

∂

derivando la soluzione dZ z

= = 0

∂z dz

( ) '

θ λ

⎡ ⎤

⎛ ⎞

df θ δ

= +

⎜ ⎟

Bsin

⎢ ⎥

⎝ ⎠

θ ⎣ ⎦

d k Z

utilizzando la soluzione per e

e sostituendola nella z

derivando rispetto a

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

df t df t

θ π θ π

= −2 = = ⎡ ⎤

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dZ

2 1−

⎜ ⎟ ( ) ( )

= −kh + −kh =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

θ θ A k sinh A k cosh 0

⎢ ⎥

d T d T 1 2

⎣ ⎦

dz

ottengo sviluppando il secondo cioè

membro che la relazione è ( )

=

A A tanh kh

2 1

verificata solo se ( ) ( ) ( ) ( )

= +

λ = Z z A cosh kh A tanh kh sinh kh

k 1 1

lunedì 22 luglio 13 A cosh(kh)

Mettendo in evidenza e dividendo tutto per

1 ( )

+

⎡⎣ ⎤⎦

cosh k h z

( ) =

Z z A ( )

1 cosh kh potenziale delle

Alla fine sostituendo le equazioni trovate nell’equazione per il

velocità ottengo

( )

+

⎡⎣ ⎤⎦

cosh k h z

( ) ( )

φ ω

= −

x, z,t A B sin kx t

( )

1 cosh kh

lunedì 22 luglio 13 della superficie

per eliminare le costanti A e B prendo in esame l’andamento

1 libera φ

∂

1

ζ = − ∂t

g

allora derivando il potenziale della velocità rispetto al tempo e sostituendolo col

corrispettivo ottengo che

ω ω

( ) H

ζ ω

= − = =

dove

A B cos kx t A B a

1 1 g 2

g ( )

ζ ω

= −

a cos kx t

lunedì 22 luglio 13

perciò è possibile ricavare il prodotto A B e sostituirlo nell’equazione del potenziale

1

delle velocità

( )

+

⎡⎣ ⎤⎦

cosh k z h

ag

( ) ( )

φ = −

x, z,t sin kx wt

( )

ω cosh kh

e ammettendo che l’onda possa propagarsi nello spazio (x,y,z,) si ottiene

( )

+ 

⎡⎣ ⎤⎦ ( )



cosh k z h

ag

( )

φ ω

= ⋅ −

x, y, z,t sin k x t

( )

ω cosh kh

lunedì 22 luglio 13 Relazione di dispersione e celerità di fase

Resta ancora arbitrario il numero d’onda, per risolvere questo problema si ricorre

alla condizione di superficie libera, sulla base di questa si calcolano le seguenti

derivate

φ

∂

⎡ ⎤ ag ( ) ( )

ω

= −

k tanh kh sen kx t

⎢ ⎥ ω

∂z

⎣ ⎦ z=0 φ

⎡ ⎤

∂ 2 ( )

ω ω

= −ag −

sen kx t

⎢ ⎥

∂t 2

⎣ ⎦ z=0

da sostituire nella

φ φ

∂ ∂

2 + =

g 0

∂t ∂z

2

lunedì 22 luglio 13 le quali forniscono

( )

ω =

2 gk tanh kh

relazione di dispersione.

che prende il nome di ω

h k

Fissato il tirante idrico la relazione di dispersione ci da la relazione tra e

T L.

quindi tra ed

=

L cT

ω = kc

allora

g ( )

=

2

c tanh kh

k

lunedì 22 luglio 13 g ( )

=

2

c tanh kh

k

celerità di fase

è definita

Il significato fisico della relazione di dispersione

ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

dc d 1 d 1 1 dk

ω

= = + = −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ω ω ω ω

2

d d k k d k k k d

( )

ω d kc

d dc

= = +

c k

dk dk dk

dalla celerità di fase

lunedì 22 luglio 13 alla fine ottengo che

dk 2

= ( )

ω

d c 1+ G

con

2kh

=

G ( )

sinh 2kh

perciò il significato fisico della relazione di dispersione

⎛ ⎞

dc c 1− G

= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ω ω

d 1+ G

lunedì 22 luglio 13 ⎛ ⎞

dc c 1− G

= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ω ω

d 1+ G

Questa equazione mostra che per profondità costante la derivata della celerità

rispetto alla frequenza angolare è minore di zero poiché 0<G<1.

Questo implica se in un punto dello spazio vengono generate onde con una diversa

frequenza angolare, quindi con periodo differente, in un punto posto ad una

generica distanza arriveranno per prime le onde caratterizzate da una frequenza

angolare minore(cioè periodo maggiore) alle quali risulta associata una celerità di

onde sinusoidali

fase maggiore rispetto alle altre. Di conseguenza le si

disperdono nello spazio in base alla loro frequenza angolare, questo fenomeno

dispersione

prende il nome di per questo viene chiamata relazione di

dispersione. Le onde sinusoidali vengono dette onde dispersive in frequenza.

lunedì 22 luglio 13 volendo calcolare L

π

⎛ ⎞

2

gT 2 h

= ⎜ ⎟

L tanh ⎝ ⎠

π

2 2

che però è un’equazione trascendente in L la cui soluzione può essere ricavata per

tentativi.

Riscrivendola come

ω 2 h 1 ( )

= tanh kh

g kh

quindi usando il metodo iterativo oppure graficamente.

lunedì 22 luglio 13

La lunghezza d’onda in può essere generalmene valutata come

acqua profonda

= 2

L 1,56T

0

In acqua profonda il termine kh>>1allora anche la celerità di fase si semplifica e

diventa

gL

= 0

c π

2

Per condizioni di e

acqua bassa onde lunghe

lunedì 22 luglio 13 Principali teorie del moto ondoso Fondamenti di oceanografia e idraulica marittima per ingegneri

Figura 6.4: Calcolo grafico della lunghezza d’onda con la relazione di dispersione

lunedì 22 luglio 13 Velocità delle particelle

Derivando l’espresione del potenziale

( )

+

⎡⎣ ⎤⎦

φ

∂ cosh k h z

ag

( ) ( )

ω

= = −

u x, z,t k cos kx t

( )

ω

∂x cosh kh

( )

+

⎡⎣ ⎤⎦

φ

∂ sinh k h z

ag

( ) ( )

ω

= = −

w x, z,t k sin kx t

( )

ω

∂z cosh kh

le due funzioni indicano l’andamento delle velocità in funzione del tirante idrico e

delle caratteristiche dell’onda. In particolare si nota che in acqua profonda le

z=-L/2

velocità risultano prsticamente nulle per

lunedì 22 luglio 13 Pressione

Dall’equazione di Bernoulli, derivata dall’equazione di Eulero

φ

∂

ρ ρ

+ = −

p gz ∂t

( )

+

⎡⎣ ⎤⎦

cosh k h z ( )

ρ ρ ω

+ = − −

p gz ga cos kx t

( )

cosh kh

( )

⎧ ⎫

ζ +

⎡⎣ ⎤⎦

⎪ ⎪

cosh k h z

ρ

= −

⎨ ⎬

p g z

( )

⎪ ⎪

cosh kh

⎩ ⎭

( )

ζ ω

= −

a cos kx t<