Riassunto esame Infrastrutture idrauliche ed elementi di idrologia, prof. De Girolamo

Principali teorie del moto ondoso: teoria lineare

Onde progressive periodiche di forma costante

Alessandro Trapella

Lunedì 22 luglio 13

Equazione di continuità

ρ∂ ( )ρ+ ∇ ⋅ =V 0∂t

Ma essendo il fluido incomprimibile si assume l’equazione di continuità come ∇ ⋅ =V 0.

Lunedì 22 luglio 13

Equazioni di Eulero

Se si escludono gli sforzi viscosi l’equazione di conservazione della quantità di moto diviene:

 DVρ ρ= −∇p + GDt

Avendo assunto quindi il fluido come non viscoso, cioè ideale o perfetto, le onde di breve periodo, le equazioni di Eulero non possono risolvere problemi riguardanti le equazioni non sono valide per lo strato limite in prossimità del fondo solido impermeabile.

Lunedì 22 luglio 13

Equazione di Bernoulli

Partendo dalle equazioni di Eulero, ipotizzando il fluido irrotazionale esse diventano:

φ∂ 1 pφ+ ∇ + + =2 gz 0ρ∂t 2

Lunedì 22 luglio 13

Moti a potenziale di continuità

Una considerevole semplificazione nella risoluzione delle equazioni di conservazione della quantità di moto, (Eulero, sforzi viscosi e turbolenti nulli, fluido ideale, perfetto).

Ipotesi

• Fluido non viscoso e forze conservative.
• La vorticità delle particelle è nulla secondo il teorema di Kelvin.
• L’applicazione del teorema di Stokes (flusso del rotore del campo vettoriale attraverso una superficie è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera).

Lunedì 22 luglio 13

Posso allora introdurre una funzione potenziale ( )φ x, y, z, t, il cui gradiente è proprio uguale alla velocità:

 φ φ φ⎛ ⎞∂ ∂ ∂( )φ= ∇ ≡ ≡V u,v,w , ,⎜ ⎟⎝ ⎠∂x ∂y ∂z

Il rotore della velocità perciò risulta essere nullo. Sostituendola nella equazione di continuità: ∇ ⋅ =V 0 di Laplace. Ottengo così l’Equazione di Laplace.

Lunedì 22 luglio 13

Equazione di Laplace

φ φ φ∂ ∂ ∂2 2 2φ∇ = + + =2 0∂x ∂y ∂z2 2 2

Lunedì 22 luglio 13

Condizioni al contorno

La risoluzione dell’equazione di Laplace per un assegnato volume richiede di assegnare delle condizioni al contorno per tutto il volume in esame. Le condizioni al contorno possono essere rappresentate dal fondo impermeabile oppure dalla superficie libera.

La presenza di superfici solide rende poco plausibile l’applicazione della teoria dei fluidi ideali poiché il fluido è soggetto a rotazionalità.

Condizioni di fondo impermeabile

Per indicare il fondo del mare impermeabile devo imporre che ∂ v = 0∂ n

Lunedì 22 luglio 13

Qualsiasi superficie può essere descritta da una funzione ( ) ( )=F x, y, z,t F x,t q indicando con il vettore velocità di un punto qualsiasi di questo oggetto allora:

 ( )+ + =F x qdt,t dt 0

La derivata totale dovrà essere nulla per soddisfare la condizione:

∂F + ⋅∇F =q 0∂t

Lunedì 22 luglio 13

L’equazione dovrà valere per ogni punto dotato di velocità  ( ) φ= = ∇V u,v,w del fondo marino.

L’equazione che si trova a: ( )= −hz x, y allora ( )= + =F z h x, y 0.

Lunedì 22 luglio 13

∂F ∂F ( )φ φ+ ∇ ⋅ ∇F = + ∇F ∇ ⋅ =n n 0∂t ∂t

Essendo n la normale alla superficie solida:

φ∂φ∇ ⋅ =n ∂n

Ma la derivata della velocità attraverso una superficie solida è nulla!

( )= + =F z h x, y 0

Ottengo quindi:

∂h ∂h+ + =u v w 0∂x ∂y

Lunedì 22 luglio 13

Ovvero la condizione cinematica sul fondo:

φ φ φ∂ ∂h ∂ ∂h ∂+ + = 0∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

Condizioni sulla superficie libera

Per le onde di oscillazione il moto avviene sempre in condizione di superficie libera; l’equazione della superficie libera è ( )ζ=z x, y,t.

Sia l’elevazione che il potenziale sono incogniti, andranno quindi impostate 2 condizioni:

ζ φ? ?

Lunedì 22 luglio 13

Condizione cinematica della superficie libera

In assenza di frangimento una particella appartenente alla superficie libera è destinata a rimanerci essendo vincolata a muoversi solo tangenzialmente a tale superficie.

Anche in questo caso è valida l’equazione:

 ( ) ( )= + + =F x, y, z,t F x qdt,t dt 0

( ) ( )ζ= − =F x, y, z,t z x, y,t 0

ζ φ ζ φ ζ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂( )ζ= → + + + =z x, y,t 0∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

Lunedì 22 luglio 13

Nell’intervallo di tempo dt la particella subisce uno spostamento verticale pari a:

ζ ζ∂ ∂= +wdt u dt dt∂x ∂t

ζ ζ∂ ∂= +w u ∂x ∂t

Aggiungendo l’equazione di Bernoulli:

 φ φ∂ ∂2 ( )1 ζ=2+ + ⋅∇ = z x, y,tperg V V 0∂t ∂z2 2

Lunedì 22 luglio 13

Principali teorie del moto ondoso: teoria lineare

Introducendo il potenziale delle velocità le equazioni del moto si riducono alle equazioni di Laplace e Bernoulli.

Tali equazioni con opportune equazioni al contorno costituiscono la base delle teorie irrotazionali del moto ondoso, sotto le seguenti ipotesi:

• Fluido ideale non viscoso.
• Forze conservative.
• Moto irrotazionale.

Avendo preso in esame la teoria lineare bisogna linearizzare le condizioni della superficie libera.

Posto che il fondo del mare sia fisso e impermeabile è possibile linearizzare l’equazione di Laplace che governa il moto del fluido e la condizione cinematica sul fondo del mare sono entrambi lineari.

Lunedì 22 luglio 13

Condizioni sulla superficie libera

ζ φ ζ φ ζ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂( )ζ= → + + + =z x, y,t 0∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

⎡ ⎤φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1ζ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂t ∂x ∂x ∂x2 ⎣ ⎦

Esse risultano non lineari. Per linearizzarle si fa ricorso agli ordini di grandezza se ho delle grandezze che oscillano, l’ordine di grandezza è l’ampiezza dell’oscillazione. Ad esempio l’altezza della superficie libera varia per H, allora ( )ζ = H.

Lunedì 22 luglio 13

Passando alla velocità posso dire che:

π Hφ = T

( )φ = cH

In natura un’onda con una ripidità Hε = = 0,5L è un’onda ripida, se si considerano i termini in cui compare la ripidità molto piccoli essi diventano trascurabili perciò l’equazione è linearizzabile.

Lunedì 22 luglio 13

La relazione:

φ ζ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞H H= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟O O c⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂z ∂tT L

⎛ ⎞φ ζ φ ζ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞2H H= = = ⎜ ⎟O c O⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂x ∂x ∂y ∂x ∂z⎝ ⎠2L L

Posto che il fondo del mare sia impermeabile, l’equazione di Laplace che governa il moto del fluido e la condizione cinematica sul fondo del mare.

Lunedì 22 luglio 13

Condizione cinematica sul fondo del mare

∂h ∂h+ + =u v w 0∂x ∂y

Ovvero:

φ φ φ∂ ∂h ∂ ∂h ∂+ + = 0∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

Secondo le ipotesi fatte riguardanti gli ordini di grandezza i termini quadratici possono essere trascurati.

Lunedì 22 luglio 13

Il problema sta nella derivazione di soluzioni analitiche ed è causato dalle due condizioni della superficie libera:

ζ φ ζ φ ζ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = 0∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z

⎡ ⎤2φ φ φ φ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞1ζ + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟g 0⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂t ∂x ∂y ∂z2 ⎢ ⎥⎣ ⎦

Allora devo procedere alla linearizzazione perché esse risultano non lineari nelle incognite potenziale velocità e superficie libera.

Lunedì 22 luglio 13

Si linearizza grazie agli ordini di grandezza, in particolare si fa riferimento alla ripidità.

φ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞H H= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟O O c⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂z T L

ζ φ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞H= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟O O⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂t ∂zT

⎛ ⎞φ ζ φ ζ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞2H H= = = ⎜ ⎟O c O⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂x ∂x ∂y ∂y ∂z⎝ ⎠2L L

Queste relazioni mostrano che l’ordine di grandezza dei termini non lineari che appaiono nella prima condizione della superficie libera è pari a H/L volte l’ordine di grandezza de